高中数学必修1集合与函数概念常考题型：函数的单调性.docVIP

函数的单调性【知识梳理】1定义域为I的函数f(x)的增减性2单调性与单调区间如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间【常考题型】题型一、由函数图象说明函数的单调性【例1】(1)函数yf(x)的图象如图所示，其增区间是()A4,4B4，31,4C3,1D3,4(2)画出函数yx22|x|1的图象并写出函数的单调区间(1)解析根据函数单调性定义及函数图象知f(x)在3,1上单调递增 答案C(2)解y，即y， 函数图象如图所示，单调增区间为(，1，0,1，单调减区间为1,0，1，【类题通法】由图象确定函数单调性的方法及注意事项(1)图象从左向右上升，叫函数递增；图象从左向右下降，则函数递减(2)单调区间必须是函数定义域的子集，单调区间之间不能用“”，而应用“，”将它们隔开或用“和”字连接【对点训练】求下列函数的单调区间(1)f(x)3|x|；(2)f(x)|x22x3|.解：(1)f(x)3|x|图象如图所示f(x)的单调递减区间为(，0，单调递增区间为0，)(2)令g(x)x22x3(x1)24.先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)|x22x3|的图象，如图所示由图象易得：函数的递增区间是3，1，1，)；函数的递减区间是(，3，1,1.题型二、函数单调性的证明【例2】求证：函数f(x)在(0，)上是减函数，在(，0)上是增函数证明对于任意的x1，x2(，0)，且x1x2，有f(x1)f(x2).x1x20，x1x20.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(，0)上是增函数对于任意的x1，x2(0，)，且x1x2，有f(x1)f(x2).0x10，x2x10，xx0.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)函数f(x)在(0，)上是减函数【类题通法】利用定义证明函数单调性的步骤【对点训练】利用单调性的定义，证明函数y在(1，)上是减函数证明：设x1，x2是区间(1，)上任意两个实数且x1x2，则f(x1)f(x2)，1x10，x110，x210.0.即f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)y在(1，)上是减函数.题型三、由函数的单调性求参数的取值范围【例3】(1)已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，则a的取值范围是_(2)已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上单调，求实数a的取值范围(1)解析由题意可知解得0a1.又f(x)在(1,1)上是减函数，且f(1a)2a1.即a.由可知，0a0.因为函数f(x)x22ax的图象开口向下，对称轴为直线xa，且函数f(x)在区间1,2上为减函数，所以a1.故满足题意的a的取值范围是(0,1【练习反馈】1下列函数中，满足“对任意x1，x2(0，)，都有0”的是()Af(x)Bf(x)3x1Cf(x)x24x3 Df(x)x解析：选C0f(x)在(0，)上为增函数，而f(x)及f(x)3x1在(0，)上均为减函数，故A，B错误；f(x)x在(0,1)上递减，在1，)上递增，故D错误；f(x)x24x3x24x41(x2)21，所以f(x)在2，)上递增，故只有C正确2函数f(x)|x|，g(x)x(2x)的递增区间依次是()A(，0，(，1 B(，0，(1，)C0，)，(，1 D0，)，1，)解析：选C分别作出f(x) 与g(x)的图象得：f(x)在0，)上递增，g(x)在(，1上递增，选C.3若f(x)在R上是减函数，则f(1)_f(a21)(填“”或“”或“”或“”)解析：f(x)在R上是减函数，对任意x1，x2，若x1f(x2)又1f(a21)答案：4已知函数f(x)x22(1a)x2在(，4上是减函数，则实数a的取值范围为_解析：f(x)x22(1a)x2x(1a)22(1a)2，f(x)的减区间是(，1a又已知f(x)在(，4上是减函数，1a4，即a3.所求实数a的取值范围是(