信息论与编码试卷及答案2.doc

信息论与编码试卷及答案2 （一） 7、某二元信源 一、判断题共 10 小题，满分 20 分. 1. 当随机变量X和Y相互独立时，条件熵H(X|Y)等于信源熵H(X). （ ） 2. 由于构成同一空间的基底不是唯一的，所以不同的基 1?X?0 ?P(X)?1/21/2?，其失真矩阵? ?0a? ，则该信源的Dmax= D?a0? 三、本题共 4 小题，满分 50 分. 1、某信源发送端有2种符号xi(i?1,2),p(x1)?a；接收端 底或生成矩阵有可能生成同一码集.符号 y( j ? 1 ,2) ，转移概率矩阵为 有3 种,3（） 3.一般情况下，用变长编码得到的平均码长比定长编码大得多. （ ） 4. 只要信息传输率大于信道容量，总存在一种信道编译码，可以以所要求的任意小的误差概率实现可靠的通 信 （ ） 5. 各码字的长度符合克拉夫特不等式，是唯一可译码存在的充分和必要条件. （ ） 6. 连续信源和离散信源的熵都具有非负性. （ ） 7. 信源的消息通过信道传输后的误差或失真越大，信宿收到消息后对信源存在的不确定性就越小，获得的信息量就越小. 8. 汉明码是一种线性分组码. （ ） 9. 率失真函数的最小值是0 . （ ） 10.必然事件和不可能事件的自信息量都是0. （ ） 二、填空题共 6 小题，满分 20 分. 1 、 码 的 检 、 纠 错 能 力 取 决 于 . 2、信源编码的目的是的目的是 . 3、把信息组原封不动地搬到码字前k位的(n,k)码就叫做 . 4、香农信息论中的三大极限定理 是、. 5、设信道的输入与输出随机序列分别为X和Y，则 I(XN,YN)?NI(X,Y)成立的 条件 6、对于香农-费诺编码、原始香农-费诺编码和哈夫曼编码，编码方法惟一的是 . iP?1/21/20? ?1/21/41/4?. ? （1） 计算接收端的平均不确 定度H(Y)； （2） 计算由于噪声产生的不 确定度H(Y|X)； （3） 计算信道容量以及最佳入口分布. 2、一阶马尔可夫信源的状态转移 图2-13 图如右图所示， 信源X的符号集为0,1,2. （1）求信源平稳后的概率分布； （2）求此信源的熵； （ 3 ）近似地认为此信源为无记忆时，符号的概率分布为 平 X ) 稳分布.求近似信源的熵H(并与H?进行比较. 4 、设二 元( 7 , 4 ) 线 性分组码的生成矩阵为?1101000?G? 0110100?1110010? . ?1010001? ? （1）给出该码的一致校验矩阵，写出所有的陪集首和与之相对应的伴随式； （2）若接收矢量v?(0001011 )，试计算出其对应的伴随式S并按照最小距离译码准则 试着对其译码. （二） 一、填空题（共15分，每空1分） 1、信源编码的主要目的是 ，信道编码的主要目的是 。 2、信源的剩余度主要两个方面，一是 ，二 是。 XY 3、三进制信源的最小熵为 ，最大熵为。 4、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为 。 5、当时，信源与信道达到匹配。 6、根据信道特性是否随时间变化，信道可以分为 和 。 7、根据是否允许失真，信源编码可分为 和 。 8、若连续信源输出信号的平均功率为?2，则输出信号幅度 的概率密度是 时，信源具有最大熵，其值为值 。 9、在下面空格中选择填入数学符号“?,?,?,?”或“?” （1）当X和Y相互独立时，H（XY）H(X)+H(X/Y) H(Y)+H(X)。 （2）H?H?X1X2? H?X1X2X3?2?X2H3?X?3 （3）假设信道输入用X表示，信道输出用Y表示。在无噪有损信道中，H(X/Y) 0, H(Y/X) 0,I(X;Y)H(X)。 三、（16分）已知信源 ?S?s1s2s3s4s5s6?P?0.20.20.20.20.10.1? （1）用霍夫曼编码法编成二进制变长码；（6分） （2）计算平均码长L;（4分） （3）计算编码信息率R?;（2分） （4）计算编码后信息传输率R;（2分） （5）计算编码效率?。（2分） 四、（10分）某信源输出A、B、C、D、E五种符号，每一个符号独立出现，出现概率分别为1/8、1/8、1/8、1/2、1/8。如果符号的码元宽度为0.5?s。计算： （1）信息传输速率Rt。（5分） 五、(16分)一个一阶马尔可夫信源，转移概率为 P?S|S23|S1 11?,P?S21?3 ,P?S1|S2?1,P?S2|S2?0。 (1) 画出状态转移图。(4分) (2) 计算稳态概率。(4分) (3) 计算马尔可夫信源的极限熵。(4分) (4) 计算稳态下H1,H2及其对应的剩余度。(4分) 六、设有扰信道的传输情况分别如图所示。试求这种信道的信道容量。 七、(16分)设X、Y是两个相互独立的二元随机变量，其取0或1的概率相等。定义另一个二元随机变量Z=XY(一般乘积)。试计算 (1) H?X?,H?Z?; (2) H?XY?,H?XZ?; (3) H?X|Y?,H?Z|X?; (4) I?X;Y?,I?X;Z?; 八、(10分)设离散无记忆信源的概率空间为 ?X?x1x2? P?0.80.2?，通过干扰信道，信道输出端的接收符号? 集为Y?y1,y 2?，信道传输概率如下图所示。 x1 y1 x2 y2 (1) 计算信源X中事件x1包含的自信息量； (2) 计算信源X的信息熵； (3) 计算信道疑义度H?X|Y?； (4) 计算噪声熵H?Y|X?； (5) 计算收到消息Y后获得的平均互信息量。 信息论基础2参考答案 一、填空题（共15分，每空1分） 1、信源编码的主要目的是提高有效性，信道编码的主要目的是提高可靠性。 2、信源的剩余度主要两个方面，一是信源符号间的相关性，二是信源符号的统计不均匀性。 3、三进制信源的最小熵为0，最大熵为log3 2 4、无失真信源编码的平均码长最小理论极限制为信源熵（或H(S)/logr= Hr(S)）。 5、当R=C或（信道剩余度为0）时，信源与信道达到匹配。 6、根据信道特性是否随时间变化，信道可以分为恒参信道和随参信道。 7、根据是否允许失真，信源编码可分为无失真信源编码和限失真信源编码。 8、若连续信源输出信号的平均功率为?2 ，则输出信号幅度2的概率密度是高斯分布或正态分布或f? x? 2?x时， 信源具有最大熵，其值为值1 log2?e?22 。 9、在下面空格中选择填入数学符号“?,?,?,?”或“?” （1）当X和Y相互独立时，H（XY）=H(X)+H(X/Y)=H(Y)+H(X)。 （2）HH?X1X2? H?X1X2X3?2?X?2?H3?X? 3 （3）假设信道输入用X表示，信道输出用Y表示。在无噪有损信道中，H(X/Y) 0, H(Y/X)=0,I(X;Y) ?S?s1s2s3s4s5s6? P?0.20.20.20.20.10.1? （1）用霍夫曼编码法编成二进制变长码；（6分） （2）计算平均码长L;（4分） （3）计算编码信息率R?;（2分） （4）计算编码后信息传输率R;（2分） （5）计算编码效率?。（2分） （1） S10.200 S20.21S1.030.20 S140.21 S0 50.11 S6 0.1 1 编码结果为： S1?00S2?01S3?100S4?101 S5?110S6?111 6 （2）L?Pi?i?0.4?2?0.6?3?2.6码元 i?1 （3）R?logr=2.6 （4）R? H?S? ? 2.53 ?0.973bit2.6 其中，H?S?H?0.2,0.2,0.2,0.2,0.1,0.1?2.53 （5）? H?S?S?logr ? H?0.973 评分：其他正确的编码方案：1，要求为即时码 2，平均码长 最短 四、（10分）某信源输出A、B、C、D、E五种符号，每一个符号独立出现，出现概率分别为1/8、1/8、1/8、1/2、1/8。如果符号的码元宽度为0.5?s。计算： （1）信息传输速率Rt。（5分） （1）R1 t?t? H?X?H?X? ? H?X? 18log18?4?112log2?1log8?1 log2 22 ?31 2log2?2log2?2log2?2bitR?2bitt?s ?4?1060.5bps 五、(16分)一个一阶马尔可夫信源，转移概率为 P?S21 1|S1?3,P?S2|S1?3 ,P?S1|S2?1,P?S2|S2?0。 (1) 画出状态转移图。(4分) (2) 计算稳态概率。(4分) (3) 计算马尔可夫信源的极限熵。(4分) (4) 计算稳态下H1,H2及其对应的剩余度。(4分) 解：(1) 1 (2)由公式P?Si?2 P?Si |Sj ?P?Sj ? j?1 有 ? 2 ?P?S1?PS|SPS?2P?S1?P?S2? ?1i?i?i?13?2 ? P? ?S1 2?P?S2|Si?P?Si?P?S1? i?13?P?S1?P?S2?1? ? P?S?3得?1?4 ?P?S12 ?4 (3)该马尔可夫信源的极限熵为： 22 H?P?Si?P?Sj|Si?logP?Sj|Si? i?1j?1 ?34?23?log2311 3?4?3?log 3?1 2?0.578?1 4?1.599?0.681bit符号?0.472nat符号?0.205hart(4)在稳态下： 2 ?P?x?3 311?i?logP?xi?i?1 ?4?log4?4?log4?0.811bit符号 H2?H?0.205hart符号?0.472nat?0.681bit 对应的剩余度为 ?H10.811 1?1H?1?0.189 0?1?2log?1?1?1? ?2?2log?2? ?2?1? H20.681H?1?0.319 0?1?1?2log?2?1?1? 2log?2? 六、设有扰信道的传输情况分别如图所示。试求这种信道的信道容量。 X Y 解：信道传输矩阵如下 ?1 1?2200?011?P220?Y|X ?1?001 ?22?11?2 2? 可以看出这是一个对称信道，L=4,那么信道容量为 C?log4?H?11? ?2,2,0,0? ? L ?logL?p?yj|xi?logp?yj|xi? j?1 ?log4?2?11 2log 2 ?1bit 七、(16分)设X、Y是两个相互独立的二元随机变量，其取0或1的概率相等。定义另一个二元随机变量Z=XY(一般乘积)。试计算 (1) H?X?,H?Z?; (2) H?XY?,H?XZ?; (3) H?X|Y?,H?Z|X?; (4) I?X;Y?,I?X;Z?; H?X?H?1?2,1? 2?1bit H(2)?H?3?4,1? 4? ?0.8113bit (2) H?XY?H?X?H?Y?1?1?2bit对 H?XZ?H?X?H?Z|X?1?11?12H?1,0?1? 2H?2,2? ?1.5bit对 (3) H?X|Y?H?X?1bit H?Z|X? 112H?1,0?2H?11? ?2,2? ?0.5bit (4) I?X,Y?H?Y?H?Y|X?H?Y?H?Y?0 I?X,Z?H?Z?H?Z|X?0.8113?0.5?0.3113bit 八、(10分)设离散无记忆信源的概率空间为 ?X?x1x2? ?P?0.80.2?，通过干扰信道，信道输出端的接收符号? 集为Y?y1,y2?，信道传输概率如下图所示。 x1 y1 x2 y2 (6) 计算信源X中事件x1包含的自信息量； (7) 计算信源X的信息熵； (8) 计算信道疑义度H?X|Y?； (9) 计算噪声熵H?Y|X?； (10) 计算收到消息Y后获得的平均互信息量。 解： (1) I?x1?log0.8?0.322bit?0.0969hart?0.223nat (2) H?X?H?0.8,0.2?0.722bit?0.5nat?0.217hart符号 (3) H?XY?H?2?3,215,320,1? 20? ?1.404bit符号 ?0.973nat?0.423hartH?Y?H?49/60,11/60?0.687bit?0.476nat?0.207hart符号 H?X|Y?H?XY?H?Y?0.717bit?0.497nat?0.216hart (4) H?Y|X?H?XY?H?X?0.682bit?0.473nat符号?0.205hart符号 (5) I?X;Y?H?X?H?X|Y?0.00504bit符号?0.00349nat符号?0.00152hart (三) 一、 选择题（共10分，每小题2分） 1、有一离散无记忆信源X，其概率空间为 ?X?x1 x2x3x4?P?0.50.250.1250.125?，则其无记忆二?次扩展信源的熵H(X2)=( ) A、1.75比特/符号； B、3.5比特/符号； C、9比特/符号； D、18比特/符号。 2、信道转移矩阵为 ?P(1y/1 x)2 P( 1 y/x)0 ?00P3 y(/?2x4P)2y(x?0 0P? 50y3x? 其中P(yj/xi)两两不相等，则该信道为 3、A、一一对应的无噪信道 B、具有并归性能的无噪信道 C、对称信道 D、具有扩展性能的无噪信道 3、设信道容量为C，下列说法正确的是：（） A、互信息量一定不大于C B、交互熵一定不小于C C、有效信息量一定不大于C D、条件熵一定不大于C 4、在串联系统中，有效信息量的值（） A、趋于变大 B、趋于变小 C、不变 D、不确定 5、若BSC信道的差错率为P，则其信道容量为：（） A、 H?p? p log?1?p ?2?1?B、 ?p?p? ? 一、（11）填空题 （1） 1948年，美国数学家 香农发表了题为“通信的数学理论”的长篇论文，从而创 立了信息论。 （2） 必然事件的自信息是 0 。 （3） 离散平稳无记忆信源X的N次扩展信源的熵等于离散信源X的熵的 N倍 。 （4） 对于离散无记忆信源，当信源熵有最大值时，满足条件为_信源符号等概分布_。 （5） 若一离散无记忆信 源的信源熵H（X） 等于2.5，对信源进 行等长的无失真二 进制编码，则编码 长度至少为 。 （6） 对于香农编码、费诺编码和霍夫曼编码，编码方法惟一的是 香农编码。 （7） 已知某线性分组码的最小汉明距离为3，那么这组码最多能检测出_2_个码元错误， 最多能纠正_1_个码元错误。 （8） 设有一离散无记忆平稳信道，其信道容量为C，只要待传送的信息传输率R_小于_C（大 于、小于或者等于）， 则存在一种编码，当输入序列长度n足够大，使译码错误概率任意小。 （9） 平均错误概率不仅与信道本身的统计特性有关，还与_译码规则_和_编码方 法_有关 二、（9?）判断题 （1） 信息就是一种消息。 （ ?） 性。 （ ?） （3） 概率大的事件自信息量大。 （ ?） （4） 互信息量可正、可负亦可为零。（ ? ） （5） 信源剩余度用来衡量信源的相关性程度，信源剩余度大说明信源符号间的依赖关系较小。（ ?） （6） 对于固定的信源分布，平均互信息量是信道传递概率的下凸函数。 （ ?） （7） 非奇异码一定是唯一可译码，唯一可译码不一定是非奇异码。 （ ? ） （8） 信源变长编码的核心问题是寻找紧致码（或最佳码），霍夫曼编码方法构造的是最佳码。 （ ? ） （9）信息率失真函数R(D)是关于平均失真度D的上凸函数. ( ?) 三、（5?）居住在某地区的女孩中有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高1.6米以上的，而女孩中身高1.6米以上的占总数的一半。 假如我们得知“身高1.6米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？ 解：设A表示“大学生”这一事件，B表示“身高1.60以上”这一事件，则 P(A)=0.25 p(B)=0.5 p(B|A)=0.75（2分） 故p(A|B)=p(AB)/p(B)=p(A)p(B|A)/p(B)=0.75*0.25/0.5=0.375（2分） I(A|B)=-log0.375=1.42bit （1分） 四、（5?）证明：平均互信息量同信息熵之间满足 I(X;Y)=H(X)+H(Y)-H(XY) 证明： I?X;Y?p?xiyj?log XYpxiyjpxi? ?p?xiyj?logp?xi?p?xiyj?logpxiyj?（2分） XY?XY? ?H?X?H?XY? 同理 I?X;Y?H?Y?HYX （1分） 则 ? HYX?H?Y?I?X;Y? 因为 H?XY?H?X?HYX （1分） 故 ? H?XY?H?X?H?Y?I?X;Y? 即 I?X;Y?H?X?H?Y?H?XY? （1分） 五、（18）.黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，求： 1） 黑色出现的概率为0.3，白色出现的概率为0.7。给出这个只有两个符号的信源X的数学模型。假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵H?X?； 2） 假设黑白消息出现前后有关联，其依赖关系为 ，求其熵H?X?。 ， ，3）分别求上述两种信源的冗余度，比较它们的大小并说明其物理意义。 解：1）信源模型为 （1分） （2分） 2）由题意可知该信源为一阶马尔科夫信源。 （2分） 由 （4分） 得极限状态概率 （2分） （3分） 3） ?1?1?H(X)?0.119log22 （1分） H?(X)?0.447log22（1分） ?2?1? ?2?1。说明：当信源的符号之间有依赖时，信源输出消息的不确定性减弱。而信源冗余度正是反映信源符号依赖关系的强弱，冗余度越大，依赖关系就越大。（2分） 六、（18）.信源空间为 x2x3x4x5x6x7?X?x1?P(X)?0.20.190.180.170.150.10.01? 曼码，计算其平均码长和编码效率（要求有编码过程）。 ?，试分别构造二元香农码和二元霍夫? L?p(ai)li?3.14i?17R?H(X)2.61?0.8313.14L 1.一阶齐次马尔可夫信源消息集X?a1,a2,a3， 状态集S?S1,S2,S3，且令Si?ai,i?1,2,3，条件转移概率为 ? ? ?442? P(a?3?，(1)画出该马氏链的状态转移图； j/Si)?30? ? (2)计算信源的极限熵。 解：(1) ?w1?w2?w3?w1?4w1?3w2?3w3?w2?w1?0.4 （2）?2w1?3w2 ?w3? ?w2?0.3 ? w1?w2?w3?1?w3 ?0.3H(X|S1) =H(1/4,1/4,1/2)=1.5比特/符号 H(X|S2)=H(1/3,1/3,1/3)=1.585比特/符号 H(X|S3)=H(2/3,1/3)= 0.918比特/符号 H?3 wHX|S?0.4?1.5?0.3?1.585?0.3?0.918?1.351比特/符号 i?1 i?i ? 三、计算题 某系统（7，4）码 c?(c6c5c4c3c2c1c0)?(m3m2m1m0c2c1位与信息位的关系为： ? c2?m3?m1?m0?c1?m3?m2? m?1 ?c0 ?m2?m1?m 0（1）求对应的生成矩阵和校验矩阵； （2）计算该码的最小距离； （3）列出可纠差错图案和对应的伴随式； （4）若接收码字R=1110011，求发码。 c0)其三位校验 ?1?0 解：1. G? ?0?0 0100 0010 0001 1011 1?0 ?1 1?1? H?1 ?1?1 ?0 0?1 011111101100 0?01? ? 00?1 2. dmin=3 3. 4. RHT=001接收出错 E=0000001 R+E=C= 1110010 (发码) 四、计算题 已知?X,Y?的联合概率p?x,y?为： 求H?X?，H?Y?，H?X,Y?，I?X;Y? X01 01/30 11/31/3 ?1/ 3 解: p(x?0)?2/3 p(x?1)p(y?0)?1/3 p(y?1)?2/ 3 H?X?H?Y?H(1/3,2/3)?0.918 bit/symbol H?X,Y?H(1/3,1/3,1/3)=1.585 bit/symbolI?X;Y?H(X)?H(Y)?H(X,Y)?0.251 bit/symbol ?1/21/31/6? ? 设有，其转移矩阵为?PY|X?1/61/21/3，若信道输入概率为?1/31/61/2? ?PX?0.5 0.250.25?，试确定最佳译码规则和极大似然译码规则，并计算出相应 的平均差错率。 ?1/41/61/12?解：PXY?1/241/81/12 ?1/121/241/8? ?F(b1)?a1 ? 最佳译码规则：?F(b2)?a1，平均差错率为1-1/4-1/6-1/8=11/24； ?F(b)?a 33?F(b1)?a1 ? 极大似然规则：?F(b2)?a2，平均差错率为1-1/4-1/8-1/8=1/2 ?F(b)?a 33? 设信源为? x2?X?x1 ，试求（1）信源的熵、信息含量效率以及冗余度； ? ?PX?1/43/4? （2） 求二次扩展信源的概率