河北省保定市2020届高三第一次模拟考试 理科数学（PDF版）

书书书 犃 狓 狓 狓 犅 狓 狓 犃 犅 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狕 犻 犻 狕 犻 犻 犻 犻 犾 犿 狀 犿 狀 犾 犿 犿 狀 狀 犾 犿 狀 犪 犫 犫 犪 犫 犪 犫 犃 犅 犆 犃 犅 犆 犪 犫 犮 犪 犆 犫 犅 犮 犃 犃 犅 犆 犫 槡槡 页 共 页 第题试学数科理 犗 犗 槡 槡 槡 狓 狔 犪狀 狀 狀 烅 烄 烆 犛 狀 犪狀 狀 犛 犛 犪狀 狀 犛狀 犃 犅 犆 犗 犃 犅 犅 犆 犃 犅 犗 犗 犅 犪 犗 犃 犪 犗 犆 犛 狔 狆 狓 狆 犉 犘 犗 犘 犗 犉 犗 犗 犗 犃 犗 犅 犃 犅 犘 犳 狓 狓 犃 狓 狓 犳 狓 犃 犳 狓 犃 犪 犫 犪 犫 犳 狓 狓 狓 犚 狋 犃 犅 犆 犃 犅 犆 犅 犆 犅 犆 犘 犙 犃 犅 犃 犘 犃 犙 犃 犆 犳 狓 犚 狓 犚 犳 狓 犳 狓 犳 狓 犳 狓 犳 犳 页 共 页 第题试学数科理 犃 犅 犆 犃 犅 犆 犪 犫 犮 犮 槡 犪 犫 犮 犅 犃 犃 犆 犃 犅 犆 犃 犅 犺 犃 犅 犆 犇 犃 犅 犈 犅 犆 犉 犅 犃 犈 犅 犆 犉 犇 犃 犈 犈 犃 犉 犆 犈 犇 犅 犆 犉 犅 犆 犃 犅 犅 犈 犉 犇 槡 狊 犲 犻 狕 犲 狋 犺 犲 犱 犪 狔 犪 狀 犱 犾 犻 狏 犲 犻 狋 狋 狅 狋 犺 犲 犳 狌 犾 犾 犲 犻 狋 犪 犡 犡 页 共 页 第题试学数科理 犆 狓 犪 狔 犫 犪 犫 犉 犮 槡 槡 犕 犕 犇 犾 狔 狓 狀 犆 犃 犅 犘 槡 犿 犃 犅 犘 狓 狔 犉 狓 犿 犲 狓 狓 犿 犿 犉 狓 犳 狓 犉 狓 狓 狓 狓 犪 狓 犪 狓 犳 犪 犿 犅 狓 犗 狔 犆 狓 狔 烅 烄 烆 犕 犆 犘 犗 犘 犗犕 犆 犆 犗 狓 犗 犈 犆 犆 犃 犅 犗 犃 犅 犙 犪 犫 犮 犳 狓 狓 犪 狓 犫 狓 犮 犪 犫 犮 犳 狓 犳 犪 犫 犮 犫 犮 犮 犪 犪 犫 犪 犫 犮 页 共 页 第题试学数科理 数学理科答案 一 选择题 C B C D D C A C B D A A 二 填空题 13 1 14 6 p 15 56 16 102 三 解答题 17 12 分 解 1 证明 因为 a b c成等比数列 所以 2 bac 1 分 而 22222 11 cos 1 2222 acbacacac B acacca 当且仅当a c 时取等号 又因为 B 为三角形的内角 所以 B60 4 分 2 在ABCD中 因为 2 1 cos21 2sin 3 AA 所以 6 sin 3 A 6 分 又因为3 c 1 sin 3 C 所以由正弦定理 sinsin ac AC 解得 3 2a 8 分 法 1 由 6 sin 0 32 AA p 得 3 cos 3 A 由余弦定理 222 2cosabcbcA 得 2 2150bb 解得5b 或3b 舍 10 分 所以 AB 边上的高 65 6 sin5 33 hbA 12 分 法 2 由 6 sin 0 32 AA p 且0 2 A p 所以 C 为锐角 6 分 又因为 1 sin 3 C 所以 2 2 cos 3 C 7 分 6 2 23 15 3 sinsin sincoscossin 33339 BACACAC 10 分 所以 AB 边上的高 5 35 6 sin3 2 93 haB 12 分 法 3 等面积法也可 酌情给分 18 12 分 解 1 因为 AD BC 所以 AD 平面 BCF 因为 EA FC 所以 EA 平面 BCF 2 分 所以平面 ADE 平面 BCF 故 ED 平面 BCF 4 分 2 以 D 为原点 建立空间直角坐标系 如图 因为 BAE DAE 90 所以 EA 平面 ABCD 又因为 EA FC 所以 FC 平面 ABCD 设 AB a BC b 则 D 0 0 0 F 0 a b E b 0 a B b a 0 6 分 DE b 0 a DF 0 a b 设平面 DEF 的法向量为 nx y z 则由 00 0 0 DE nbxaz aybz DF n uuu r r uuu r r 取 x 1 因为 BCb ABa l 则 2 1 nll 8 分 设平面 BEF 的法向量为 mx y z BE uuu r Q 0 a a BF uuu r b 0 b 则由 00 0 0 BE mayaz xyz bxbz BF m uuu r u r uuu r u r 取 1 1 1 m u r 9 分 因为二面角 B EF D 的余弦值为 3 3 所以 2 42 13 3 31 m n m n ll ll u r r u rr 即 2 10ll 由于30D t 出现的频率 i 出现的频率 a 出现的频率 4 分 2 X 分布列为 6 分 其数学期望为 242129 2345 99999 E X 8 分 3 满足字母个数之和为 6 的情况分为两种情况 从含两个字母的两个单词中取一个 再从含 4 个字母的两个单词中取一个 其取法个 数为 11 22 4CC 10 分 从含 3 个字母的 4 个单词中取两个 其取法个数为 2 4 6C 故所求的概率为 112 224 2 9 465 3618 CCC p C 12 分 20 12 分 解 1 依题意得 22 222 13 1 2 2 2 ab c a abc 所以 2 2 a cb 所以椭圆的方程为 22 1 42 xy 2 分 设 M x0 y0 到点 D 的距离为 d 则 2222 0000 1 1 23 2 dxyxx 因为二次函数的对称轴为直线 x 2 所以 该函数在 2 2 上单调递减 所以当 00 22xx 时取得最小值 时取得最大值 所以 M 到点 D 的最短与最长距离分别为1 3 5 分 2 假设存在点 2 Pm 使得ABPD的内切圆恰好为 22 1xy 设1122 A x yB xy 因为直线 AB与圆 22 1xy 相切 1 2 n 2n 6 分 2n 当时 AB 2yx 联立得 22 2 1 42 yx xy 2 34 20 xx 12 4 2 0 3 xx 4 22 0 2 33 AB 7 分 法 1 因为 AO 为 BAP 的角平分线 所以 1 APAB kk 9 分 所以 2 1 0 02 AP m km 2 0 P即 所以直线 BP 的方程为为 720 xy 因为圆心到直线 BP 的距离为 22 2 1 1 5 17 所以此时 BP 不是圆的切线 11 分 2n 同理 当时 BP 也不是圆的切线 综上所述 P 不存在 12 分 2 2 02 2 2 AP m APmk Q法 所以 直线 AP 的方程为 2 220mxy 由原定 O 到直线 AP 的距离为 1 得 2 2 1 2 2 m 解得 m 0 或2 2 8 分 当 m 0 时 P 2 0 此时直线 BP 的效率为 1 7 BP k 所以直线 BP 的方程为720 xy 因为圆心到直线 BP 的距离为 22 2 1 1 5 17 所以此时 BP 不是圆的切线 10 分 2 2m 当时 P 2 2 2 此时直线 BP 的效率为1 BP k 所以直线 BP 的方程为 20 xy 与直线 AB 重合 故舍去 11 分 2n 同理 当时 BP 也不是圆的切线 综上所述 P 不存在 12 分 21 12分 解 1 由 2 2 0 x Fxmex 所以x 2 1分 因为0m 所以在 2 上 F x 递增 在 2 递减 所以函数F x 只有最大值 其最大值为 2 2 2 eFm 无最小值 3分 2 2 32 e 1 x f xxxmx Q 所以ln 1 xaxf a 即 2 2 e 1 31ln a maaaxax 4分 由于 1 0 lnaxax 时 函数为减函数 因为对任意的 1 x 1 0 a 不等式ln 1 xaxf a 恒成立 故只需 2 max 2 e 1 31ln a maaaxaxa 即原式等价于对任意的 1 0 a 2 2 e 1 410 a maaa 恒成立 6分 法1 记 2 2 e 1 41 a h amaaa 则 2 e 2 242 2 e1 aa h amaaam 1 1 0 e 1 e a a Q且21a 当1 0 mm 时 e10 0 a mh a 只需 0 0h 解得 1 2 m 1 0 0 1 2 m 8分 当1m 时 令 0h a 得lnam 或2a 舍去 当1em 时 ln1 0 m 当 1 ln am 时 0h a 2 min ln ln2ln30h ahmmm 解得 3 1 e e m 1 e m 10分 当em 时 则ln1am 又因为 1 0 a 或 因为 1 0 a 所以 1 e1 e a 综上 m的取值范围是 1 0 0 2 12分 法2 当a 1时 显然m 0时恒成立 7分 1 0 a 当 时 2 41 2 e 1 a aa m a 原式等价于 9分 令 2 41 e 1 a aa h a a 2 2 2 2 2 22 24 1 41 2 e 1 2 2 1 41 e 1 2 23 2 3 1 e 1 e 1 1 1 a a aa aaaaa h a a aaaa a aaaaaa aa 分 1 0 0 1 0 ah a h a 又因为 所以 在 上单调递增 2 0 1 1 2 mh m 综上 m的取值范围是 1 0 0 2 12分 22 10分 解 1 法 1 设 P x y 则由条件知 M 2 2 x y 由于 M 点在 C1上 所以 2cos 2 22sin 2 x y a a 2 分 从而2C的参数方程为 4cos 44sin x y a a a为参数 消去参数得到所求的直角坐标方程为 22 4 16xy 4 分 法 2 由 2cos 22sin x y a a 得 2cos 22sin x y a a 即 C1的直角坐标方程为 22 2 4xy 2 分 设 P x y 则由条件知 M 2 2 x y 由于 M 点在 C1上 所以 M 的坐标适合上述方程 即 22 2 4 22 xy 化简得所求的直角坐标方程为 22 4 16xy 4 分 2 因为 222 sinxyyrrq 代入上式得1C的直角坐标方程得 其极坐标方程 为4sinrq 6 分 同理可得曲线2C的极坐标方程为8sinrq 7 分 设 Q r q A 1 r q B 2 r q 则 AB 的中点 Q 的轨迹方程为 11 6sin 2 rr rq 即 AB 的中点 Q 的轨迹极坐标方程为6sinrq 10 分 23 10分 解 1 因为 1a bc 所以 1 1 2 xxcxbxaxxf 1 分 法 1 由上可得 31 1 3 11 31 1 xx f xxx xx 即证明 222 1 bca abc 就行了 6 分 法 1 因为 222 bca abc abc 22