2019_2020学年高中数学第1章统计44.1平均数、中位数、众数、极差、方差4.2标准差学案北师大版.docx

41平均数、中位数、众数、极差、方差 42标准差学 习 目 标核 心 素 养1.会求一组数据的平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差(重点)2方差、标准差在实际问题中的应用(难点)1.通过求一组数据的平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差，培养数学运算素养2通过方差、标准差在实际问题中的应用，提升数据分析素养.一、平均数、中位数、众数1众数的定义一组数据中出现次数最多的数称为这组数据的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个2中位数的定义及求法把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，把处于最中间位置的那个数(或中间两数的平均数)称为这组数据的中位数3平均数的定义如果有n个数x1，x2，xn，那么，叫作这n个数的平均数二、极差、方差、标准差1标准差、方差(1)标准差的求法：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示s.(2)方差的求法：标准差的平方s2叫作方差s2(x1)2(x2)2(xn)2其中，xn是样本数据，n是样本容量，是样本均值(3)方差的简化计算公式：s2(xxx)n2(xxx)2.2极差一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差3数字特征的意义平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度思考：一组数据的众数可以有多个吗？中位数是否也有相同的结论？提示一组数据的众数可能有一个，也可能有多个，但中位数有且只有一个1已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均数，中位数和众数的大小关系是()A平均数中位数众数B平均数中位数众数C中位数众数平均数D众数中位数平均数D可得该组数据的平均数、中位数和众数均为50.2样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本方差为()A.B.C. D2D样本的平均数为1，即(a0123)1，a1，样本方差s2(11)2(01)2(11)2(21)2(31)22.3一次选拔运动员的测试中，测得7名选手中的身高(单位：cm)分布的茎叶图如图所示记录的平均身高为177 cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，则x等于()180 1170 3 x 8 9A.5B6C7 D8D由题意知，101103x8977，解得x8.4某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4则：(1)平均命中环数为_；(2)命中环数的标准差为_(1)7(2)2(1)7.(2)s2(77)2(87)2(77)2(97)2(57)2(47)2(97)2(107)2(77)2(47)24，s2.平均数、中位数、众数的计算【例1】在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名运动员的成绩如表所示：成绩(单位：m)1.501.601.651.701.751.801.851.90人数23234111分别求这些运动员成绩的众数、中位数与平均数解在17个数据中，1.75出现了4次，出现的次数最多，即这组数据的众数是1.75.上面表里的17个数据可看成是按从小到大的顺序排列的，其中第9个数据1.70是最中间的一个数据，即这组数据的中位数是1.70.这组数据的平均数是(1.5021.6031.901)1.69.所以这17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次为1.75,1.70,1.69.中位数、众数、平均数的应用要点中位数、众数反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”，平均数反映了数据的平均水平，我们需根据实际需要选择使用(1)求中位数的关键是将数据排序，一般按照从小到大的顺序排列中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响中位数可能在所给数据中，也可能不在所给数据中当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述数据的集中趋势(2)确定众数的关键是统计各数据出现的频数，频数最大的数据就是众数当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往更能反映数据的集中趋势(3)平均数与每一个样本数据都有关，受个别极端数据(比其他数据大很多或小很多的数据)的影响较大，因此若在数据中存在少量极端数据，平均数对总体估计的可靠性较差，这时往往用众数或中位数去估计总体有时也采用剔除最大值与最小值后所得的平均数去估计总体1(1)16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，则其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是()A平均数B极差C中位数D方差(2)已知一组数据按从小到大排列为1,0,4，x,6,15，且这组数据的中位数是5，那么该组数据的众数是_，平均数是_(1)C(2)65判断是不是能进入决赛，只要判断是不是前8位，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，这个第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数(2)因为中位数为5，所以5，即x6.所以该组数据的众数为6，平均数为5.故填6和5.方差、标准差的计算【例2】甲、乙两机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：99,100,98,100,100,103；乙：99,100,102,99,100,100.(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定解(1)甲(9910098100100103)100，乙(9910010299100100)100.s(99100)2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2(103100)2，s(99100)2(100100)2(102100)2(99100)2(100100)2(100100)21.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又ss，所以乙机床加工零件的质量更稳定1计算标准差的五个步骤(1)算出样本数据的平均数.(2)算出每个样本数据与样本数据平均数的差：xi(i1,2,3，n)(3)算出(2)中xi(i1,2,3，n)的平方(4)算出(3)中n个平方数的平均数，即为样本方差(5)算出(4)中方差的算术平方根，即为样本标准差2标准差(方差)的两个作用(1)标准差(方差)越大，数据的离散程度越大；标准差(方差)越小，数据的离散程度越小(2)在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策在平均值相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性2(1)在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数为：90,89,90,95,93,94,93，去掉一个最高分和一个最低分后，剩下数据的平均值和方差分别为()A92,2 B92,2.8C93,2 D93,2.8(2)已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy_.(1)B(2)96去掉最高分95和最低分89后，剩余数据的平均数为92，方差为s2(9092)2(9092)2(9392)2(9492)2(9392)2(44141)2.8.(2)由平均数得91011xy50，所以xy20.又由(910)2(1010)2(1110)2(x10)2(y10)2()2510，得x2y220(xy)192，(xy)22xy20(xy)192，xy96.故填96.数据的数字特征的综合应用探究问题1在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你“我们公司的收入水平很高”“去年，在50名员工中，最高收入达到了100万，他们年收入的平均数是5.5万”如果你希望获得年薪4.5万元，你是否能够判断自己可以成为此公司的一名高收入者？提示：这里的“收入水平”是指员工收入数据的某种中心点，即可以是中位数、平均数或众数，若是平均数，则需进一步了解企业各类岗位收入的离散情况2极差与方差是怎样刻画数据离散程度的？提示：方差与极差越大，数据的离散程度就越大，也越不稳定，数值越小，离散程度就越小，越稳定【例3】在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：分数5060708090100人数甲组251013146乙组441621212已经算得两个组的平均分都是80分请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由思路探究解答本题可从众数、平均数、方差等几方面综合分析解(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些(2)甲(5026057010801390141006)4 00080(分)，乙(5046047016802901210012)4 00080(分)s2(5080)25(6080)210(7080)213(8080)214(9080)26(10080)2172，s4(5080)24(6080)216(7080)22(8080)212(9080)212(10080)2256.ss，甲组成绩比乙组成绩稳定，故甲组好些(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分其中甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人从这一角度看，甲组的成绩较好(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，乙组成绩集中在高分段的人数多同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人从这一角度看，乙组的成绩较好要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好.像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本例的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言做出结论.3甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：(1)分别求甲、乙两人打靶成绩的平均数、中位数及命中9环以上的次数(含9环)；(2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析：从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些？从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？解(1)由图可知，甲打靶的成绩为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10；乙打靶的成绩为9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.甲的平均数是7，中位数是7.5，命中9环及9环以上的次数是3；乙的平均数是7，中位数是7，命中9环及9环以上的次数是1.(2)由(1)知，甲、乙的平均数相同甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲成绩较好甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲成绩较好从折线图中看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，故甲更有潜力1一组数据中的众数可能不止一个，中位数是唯一的，求中位数时，必须先排序2标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.1思考辨析(1)当样本中的数据都增加相同的量时，平均数不变()(2)一组样本数据的众数只有一个()(3)样本的中位数可以有两个值()(4)数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定()(5)数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定()(6)样本的标准差和方差都是正数()解析(1)，根据平均数的定义可知错误(2)，根据众数定义知众数可以一个，也可以多个(3)，由中位数的定义可知错误(4)，极差与标准差都反映了样本数据的波动性和离散程度(5)，平均数与数据的波动性无关(6)，根据标准差与方差的公式可知答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是()A91.5和91.5B91.5和92C91和91.5 D92和92A将这组数据从小到大排列，得87,89,90,91,92,93,94,96.故平均数91.5，中位数为91.5.3某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的