2020年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（文科数学）参考答案

2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试 文数 参考答案第 1 页 共10页 绝密 启用前 试卷类型 A 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试 文科数学参考答案与评分标准 一 选择题 1 C 2 C 3 D 4 C 5 B 6 D 7 B 8 A 9 B 10 C 11 D 12 B 二 填空题 13 1 4 14 32 15 1 9 16 3 8 r 3 17 本小题满分 12 分 已知数列 n a的首项 1 2 3 a 11 2 nnnn aaaa 0 n an N 1 证明 数列 1 1 n a 是等比数列 2 数列 n n a 的前n项和 n S 解 1 11 2 nnnn aaaa 0 n an N 1 11111 222 n nnn a aaa 1 111 1 1 2 nn aa 4 分 又 1 2 3 a 1 11 1 2a 数列 1 1 n a 是以 1 2 首项 1 2 为公比的等比数列 6 分 2 由 1 知 1 1111 1 2 22 nn n a 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试 文数 参考答案第 2 页 共10页 即 11 1 2n n a 2n n nn n a 9 分 设 23 123 222 n T 2n n 则 23 112 222 n T 1 1 22 nn nn 由 得 2 111 222 n T 111 11 1 11 22 1 1 22222 1 2 n nnnnn nnn 1 1 2 22 n nn n T 又123 1 2 n n n 数列 n n a 的前n项和 2 1 2 22 n n nn n S 12 分 18 本小题满分 12 分 随着经济模式的改变 微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台 已知经销某种 商品的电商在任何一个销售季度内 每售出1吨该商品可获利润0 5万元 未售出的商品 每 1吨亏损0 3万元 根据往年的销售经验 得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图 如图所示 已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品 现以x 单位 吨 100150 x 表示下一个销售季度的市场需求量 T 单位 万元 表示该电商下一个销 售季度内经销该商品获得的利润 1 将T表示为x的函数 求出该函数表达式 2 根据直方图估计利润T不少于 57 万元的概率 3 根据频率分布直方图 估计一个销售季度内市场需求量x的平均数与中位数的大小 保留到小数点后一位 需求量 x t 0 0 025 0 020 0 015 0 010 150 140 130 120 110 100 0 030 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试 文数 参考答案第 3 页 共10页 解解 1 当 130 100 x时 398 0 130 3 05 0 xxxT 1 分 当 150 130 x时 651305 0 T 2 分 所以 150130 65 130100 398 0 x xx T 3 分 2 根据频率分布直方图及 1 知 当 100 130 x 时 由0 83957Tx 得120130 x 4 分 当 130 150 x 时 由6557T 5 分 所以 利润T不少于57万元当且仅当150120 x 于是由频率分布直方图可知市场 需求量 150 120 x的频率为 0 0300 0250 015 100 7 所以下一个销售季度内的利润T不少于 57 万元的概率的估计值为0 7 7 分 3 估计一个销售季度内市场需求量x的平均数为 105 0 1 115 0 2 125 0 3 135 0 25 145 0 15126 5x 吨 9 分 由频率分布直方图易知 由于x 100 120 时 对应的频率为 0 01 0 02 100 30 5 而 100 130 x 时 对应的频率为 10 分 0 01 0 02 0 3 100 60 5 因此一个销售季度内市场需求量x的中位数应属于区间 120 130 于是估计中位数应 为120 0 5 0 1 0 2 0 03 126 7 吨 12 分 19 本小题满分 12 分 如图所示 四棱锥SABCD 中 SA 平面ABCD 90ABCBAD 1ABADSA 2BC M为SB的中点 1 求证 AM平面SCD 2 求点B到平面SCD的距离 A D B C M S 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试 文数 参考答案第 4 页 共10页 证明 证明 1 取SC的中点N 连结MN和DN M为SB的中点 MNBC且 1 2 MNBC 2 分 90ABCBAD 1AD 2BC ADBC且 1 2 ADBC 4 分 ADMN且ADMN 四边形AMND为平行四边形 AMDN 5 分 AM 平面SCD DN 平面SCD AM平面SCD 6 分 2 1ABSA M为SB的中点 AMSB 8 分 SA 平面ABCD SABC 90ABCBAD BCAB BC 平面SAB BCAM AM 平面SBC 由 1 可知 AMDN DN 平面SBC DN 平面SCD 平面SCD 平面SBC 10 分 作BESC 交SC于E 则 BE 平面SCD 在直角三角形SBC中 有 11 22 SB BCSC BE 2 22 3 36 SB BC BE SC 即点B到平面SCD距离为 2 3 3 12 分 三棱锥体积法参照给分 20 本小题满分 12 分 A D B C M S N E 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试 文数 参考答案第 5 页 共10页 已知椭圆 2 2 1 4 x Cy 1 F 2 F分别是椭圆C的左 右焦点 M为椭圆上的动点 1 求 12 FMF 的最大值 并证明你的结论 2 若A B分别是椭圆C长轴的左 右端点 设直线AM的斜率为k 且 11 23 k 求直线BM的斜率的取值范围 解 1 由椭圆的定义可知 12 4MFMF 在 12 FMF 中 由余弦定理 可得 222 1212 12 12 cos 2 MFMFFF FMF MFMF 22 121212 12 2 2 MFMFFFMFMF MFMF 12 1212 2 2 1 MFMF MFMFMFMF 2 12 21 1 2 2 MFMF 4 分 12 0 FMF 12 FMF 的最大值为 2 3 此时 12 MFMF 即点M为椭圆C的上顶点时 12 FMF 取最大值 其最大值为 2 3 5 分 根据椭圆的对称性 当点M为椭圆C的短轴的顶点时 AMB 取最大值 其最大值为 2 3 6 分 2 设直线BM的斜率为 k 00 M xy 则 0 0 2 y k x 0 0 2 y k x 2 0 2 0 4 y k k x 9 分 又 2 2 0 0 1 4 x y 22 00 44xy 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试 文数 参考答案第 6 页 共10页 1 4 k k 11 23 k 13 24 k 故直线BM的斜率的取值范围为 1 3 2 4 12 分 21 本小题满分 12 分 已知函数 1 ex a f x x e为自然对数的底数 其中0a 1 在区间 2 a 上 f x是否存在最小值 若存在 求出最小值 若不存在 请说明理由 2 若 函 数 f x的 两 个 两 个 极 值 点 1212 x x xx 证 明 21 21 ln ln 2 1 2 f xf x xxa 解 解 1 由条件可函数 f x在 0 上有意义 2 2 ex xaxa fx x 令 0fx 得 2 1 4 2 aaa x 2 2 4 2 aaa x 因为0a 所以 1 0 x 2 0 x 所以当 1 xx 时 0fx 当 1 0 xx 上 0fx 所以 f x在 1 x 上是增函数 在 1 0 x是减函数 3 分 由 1 ee xx axa f x xx 可知 当xa 时 0f x 当xa 时 0f x 当0ax 时 0f x 因为 22 1 44 0 22 aaaaaa axa 所以 1 0 xa 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试 文数 参考答案第 7 页 共10页 又函数在 1 0 x上是减函数 且 1 0 2 a xa 所以函数在区间 2 a 上的有最小值 其最小值为 2 e 2 a a f 6 分 2 由 1 可知 当0a 时函数 f x存在两个极值点 1 x 2 x 且 1 x 2 x是方程 2 0 xaxa 的两根 所以 1212 xxx xa 且 12 1xx 11 12 1 1 e 1 e xx a f xx x 2 21 1 exf xx 所以 2 2112 ln ln 1 eln 1 x f xxxx 1 1221 ln ln 1 eln 1 x f xxxx 所以 21122112 212112 ln ln ln 1 ln 1 ln 1 ln 1 1 1 1 f xf xxxxxxx xxxxxx 又 2112 222 111 2 2 1 1 axxxx 9 分 由 1 可知 12 110 xx 设 1 1mx 2 1nx 则0mn 故要证 21 21 ln ln 2 1 2 f xf x xxa 成立 只要证 lnln2mn mnmn 成立 下面证明不等式 lnln2mn mnmn 成立 构造函数 2 1 ln 1 1 t h ttt t 则 2 2 1 0 1 t h t t t 所以 h t在 1 t 上单调递增 1 0h th 即 2 1 ln 1 t t t 成立 令 m t n 即得不等式 lnln2mn mnmn 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试 文数 参考答案第 8 页 共10页 从而 21 21 ln ln 2 1 2 f xf x xxa 成立 12 分 22 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中 直线 1 l cos sin xt yt t为参数 0 2 曲线 1 C 2cos 4 2sin x y 为参数 1 l与 1 C相切于点A 以坐标原点为极点 x轴的非负半轴为 极轴建立极坐标系 1 求 1 C的极坐标方程及点A的极坐标 2 已知直线 2 l 6 R 与圆 2 C 2 4 3 cos20 交于B C两点 记 AOB的面积为 1 S 2 COC的面积为 2 S 求 12 21 SS SS 的值 解 1 法一 由题意可知 1 C的直角坐标方程为 22 4 4xy 将 cos sin x y 代入得 1 C的极坐标方程为 2 8 sin120 2 分 又 1 l的参数方程为 cos sin xt yt t为参数 0 2 得 1 l的极坐标方程为 R 3 分 将 代入得 2 8 sin120 则 2 8sin 4 120 又 0 2 解得 3 此时 2 3 所以点A的极坐标为 2 3 3 5 分 法二 由题意可知 1 C的直角坐标方程为 22 4 4xy 将 cos sin x y 代入 得 1 C的极坐标方程为 2 8 sin120 2 分 因为 1 l与 1 C相切于点A 所以在Rt 1 OC A中 有 22 11 2 3OAOCC A 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试 文数 参考答案第 9 页 共10页 1 1 1 1 sin 2 C A AOC OC 所以 1 6 AOC 4 分 由极坐标的几何意义 可得A 2 3 3 5 分 2 由 2 C的极坐标方程为 2 4 3 cos20 可得 2 C的直角坐标方程为 22 2 3 5xy 所以圆心 2 2 3 0 C 6 分 设 1 3 B 2 3 C 将 6 代入 2 4 3 cos20 得 2 620 所以 12 6 12 2 7 分 又因为 111 1 3 sin 2362 A S 2222 1 3 sin 262 SOC 8 分 所以 22 12121212 212112 2622 16 2 SS SS 10 分 23 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知 2f xxa 1 当1a 时 解不等式 21f xx 2 若存在实数 1 a 使得关于x的不等式 2 1 f xxm a 有实数解 求实 数m的取值范围 解 1 当1a 时 即解不等式221xx 法一 当2x 时 原不等式等价于2 21xx 所以3x 所以不等式 21f xx 的解集为空集 2 分 当2x 时 原不等式等价于221xx 解得 1 3 x 4 分 综上所述 不等式 21f xx 的解集为 1 3 5 分 法二 当 1 2 x 时 不等式221xx 显然成立 2 分 当