D07无锡市2018届高三第一学期期末检测数学试卷.doc

无锡市普通高中2017年秋学期高三期终调研考试试卷数学I卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.）1已知集合，若，则实数 2若复数（，为虚数单位）是纯虚数，则实数 3某高中共有学生2800人，其中高一年级960人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取140人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为 4已知，直线，则直线的概率为 5根据如图所示的伪代码，当输入a的值为3时，最后输出的S的值为 6直三棱柱中，已知，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 7已知变量满足，目标函数的最小值为5，则的值为 8函数的图像向右平移个单位后，与函数的图像重合，则 9已知等比数列满足，且，成等差数列，则的最大值为 10过圆内一点作两条相互垂直的弦和，且，则四边形的面积为 11已知双曲线与椭圆的焦点重合，离心率互为倒数，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的最小值为 12在平行四边形中，为的中点，为平面内一点，若，则 13已知函数，.若存在，使得，则实数的取值范围是 14若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15（本小题满分14分）如图，是菱形，平面，（1）求证：平面；（2）求证：平面16（本小题满分14分）在中，角的对边分别为，C=2A（1）求的值；（2）若，求的周长17（本小题满分14分）如图，点为某沿海城市的高速公路出入口，直线为海岸线，是以为圆心，半径为的圆弧型小路.该市拟修建一条从通往海岸的观光专线，其中为上异于的一点，与平行，设（1）证明：观光专线的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路的单位成本是翻新道路的单位成本的2倍当取何值时，观光专线的修建总成本最低？请说明理由18（本小题满分16分）已知椭圆的离心率为，分别为左，右焦点，分别为左，右顶点，原点到直线的距离为.设点在第一象限，且轴，连接交椭圆于点（1）求椭圆的方程；（2）若三角形的面积等于四边形OBPC的面积，求直线PA的方程；（3）求过点B，C，P的圆方程（结果用表示）.19（本小题满分16分）已知数列满足，是数列的前项的和（1）求数列的通项公式；（2）若，成等差数列，18，成等比数列，求正整数的值；（3）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由20（本小题满分16分）已知函数，其中.（1）求过点和函数的图像相切的直线方程；（2）若对任意，有恒成立，求的取值范围；（3）若存在唯一的整数，使得，求的取值范围.数学II（加试题）21选修4-2：矩阵与变换已知矩阵，若矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为求矩阵22选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆的极坐标方程是，且直线与圆相交，求实数的取值范围23某公司有四辆汽车，其中车的车牌尾号为0，两辆车的车牌尾号为6，车的车牌尾号为5，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车.已知两辆汽车每天出车的概率为，两辆汽车每天出车的概率为，且四辆汽车是否出车是相互独立的.该公司所在地区汽车限行规定如下：（1）求该公司在星期四至少有2辆汽车出车的概率；（2）设表示该公司在星期一和星期二两天出车的车辆数之和，求的分布列和数学期望.24在四棱锥中，是等边三角形，底面是直角梯形，是线段的中点，底面，已知（1）求二面角的正弦值；（2）试在平面上找一点，使得平面.参考答案一、填空题13 26 347 4 521 6 75 8 91024 1019 11答案：8 12答案：6 13答案： 14答案： 二、简答题（本大题共6小题，共90分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15解：（1）证明：因为平面，所以.因为是菱形，所以，因为所以平面.（2）证明：设，取中点，连结，所以，且.因为，所以且，从而四边形是平行四边形，.因为平面，平面，所以平面，即平面.16解：（1）因为，所以.在中，因为，所以，因为，所以，所以.（2）根据正弦定理，所以，又，所以，.，.所以的周长为15.17解：（1）由题意，所以，又，所以观光专线的总长度，因为当时，所以在上单调递减，即观光专线的总长度随的增大而减小.（2）设翻新道路的单位成本为，则总成本，令，得，因为，所以，当时，当时，.所以，当时，最小.答：当时，观光专线的修建总成本最低.18解：（1）因为椭圆的离心率为，所以，所以直线的方程为，又到直线的距离为，所以，所以，所以椭圆的方程为.（2）设，直线的方程为，由，整理得，解得：，则点的坐标是，因为三角形的面积等于四边形的面积，所以三角形的面积等于三角形的面积，则，解得.所以直线的方程为.（3）因为，所以的垂直平分线，的垂直平分线为，所以过三点的圆的圆心为，则过三点的圆方程为，即所求圆方程为.19解：（1）因为，所以当时，当时，由和，两式相除可得，即所以，数列是首项为2，公差为1的等差数列.于是，.（2）因为，30，成等差数列，18，成等比数列，所以，于是，或.当时，解得，当时，无正整数解，所以，.（3）假设存在满足条件的正整数，使得，则，平方并化简得，则，所以，或，或，解得：，或，（舍去），综上所述，或14.20解（1）设切点为，则切线斜率为，所以切线方程为，因为切线过，所以，化简得，解得.当时，切线方程为，当时，切线方程为.（2）由题意，对任意有恒成立，当时，令，则，令得，故此时.当时，恒成立，故此时.当时，令，故此时.综上：.（3）因为，即，由（2）知，令，则当，存在唯一的整数使得，等价于存在唯一的整数成立，因为最大，所以当时，至少有两个整数成立，所以.当，存在唯一的整数使得，等价于存在唯一的整数成立，因为最小，且，所以当时，至少有两个整数成立，所以当时，没有整数成立，所有.综上：.数学（附加题）21解：由矩阵属于特征值的一个特征向量为可得，即；得，由矩阵属于特征值的一个特征向量为，可得，即；得，解得.即，22解：由，得，所以，即圆的方程为，又由，消，得，由直线与圆相交，所以，即.23解：（1）记该公司在星期四至少有两辆汽车出车为事件，则：该公司在星期四最多有一辆汽车出车.答：该公司在星期四至少有两辆汽车出行的概率为.（2）由题意，的可能值为0，1，2，3，4；.答：的数学期望为.24解：（1）