例说1.doc

例说“圆锥曲线的切线方程”的运用湖北省襄阳市第五中学 刘军（邮编：441000）高中教材中自从有了导数，高中阶段就有了曲线的切线的定义，导数在求曲线的切线方程中得到了重要应用.使得在解析几何中难以求得的曲线的切线方程变得容易求得，解析几何中与切线相关的问题的运算变得简捷，本文试通过几个例子来作些说明.引理(1)过圆上一点的圆的切线方程为：引理(2)过椭圆上一点的椭圆的切线的方程为：引理(3) 过双曲线上一点的双曲线的切线的方程为：引理(4) 过抛物线上一点的抛物线的切线的方程为：引理(5) 过抛物线上一点的抛物线的切线的方程为：下面给出引理（2）的证明：当点在第一象限时，由椭圆的方程得，故切线的斜率. 由直线的点斜式方程得切线方程： 即，又，整理得：同理，当点在其它象限时，也可得到椭圆的切线的方程为：当在坐标轴上时，过点椭圆的切线的方程也可由方程给出.所以过椭圆上一点的椭圆的切线的方程为：其它引理可仿此证明.下面通过实例谈谈应用.例一：过圆：外一点引该圆的两条切线，切点分别为.试求过点的直线的方程.解：设点的坐标为点的坐标为则切线的方程为：，则切线的方程为：，切线、切线都过点，所以 ， 由和得直线的方程为 评注：本题若设切线方程为（当切线斜率存在时），可用判别式法或几何法求出斜率，得切线方程，再解方程组求切点坐标，计算过程繁琐，但使用引理（1）给出切线方程，则易求出过点的直线的方程.本题也可用求两圆公共弦所在直线方程的方法求解. 例二：（由2010年重庆文科卷21题改编）已知双曲线的方程为，为椭圆上两点，分别过点的椭圆的切线、交于点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点恰在双曲线上时，求的值.解：由题意知切线的方程为： 切线的方程为： 设点的坐标为，则有得 所以直线的方程为，由 得点的坐标为由 得点的坐标为所以 因为点在双曲线上，所以 所以评注：本题解法使用了椭圆的切线方程直接给出切线和的方程，很容易求出直线 方程，接下来的问题就易解决.若不用引理（2）给出切线和的方程，求直线的方程将是很繁琐的事，本题就不以解决.例三：已知椭圆和圆，直线分别和椭圆、圆切于两点，求的最大值，并求出此时圆的方程. 解：设切点的坐标分别为 由引理（2）知切线的方程为：即 由引理（1）知切线的方程为：，即 由和得：，所以 因为点分别在椭圆和圆上，所以 由、解得 所以 将代入上式并整理得 所以 当且仅当即时，取最大值，此时圆的方程为评注：本题解法使用了椭圆和圆的切线方程直接给出切线的方程，极大地简化求解过程，否则，求椭圆和圆的切线方程的计算过程十分繁杂，即使利用判别式法求出切线方程，还要求出切点的坐标，才能给出的表达式.例四：（由2011年3月湖北八校联考文21题改编）已知曲线的方程为，曲线的准线为直线， 为曲线E上的两点，点分别过作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线上，求证：t与均为定值. 解: 设，,由引理（5）得过点切线方程为，即 过点切线方程为，即令，由得点横坐标为，同理由可得，所以，化简得又=，所以直线AB的方程为令，得，所以，同理，所以评注：直接使用引理（5）给出切线方程，为后续问题的解决提供了