《三角恒等变换》教学案.doc

三角恒等变换教学案第1课时两角和与差的余弦 教学过程一、 问题情境1在实数运算中，有公式a(b+c)=ab+ac；在向量运算中，有公式a(b+c)=ab+ac；在三角运算中，有公式cos(-)=cos-cos吗？如果没有，式子一定不成立吗？二、 数学建构问题1在直角坐标系xOy中，以Ox为始边分别作角， (0)，其终边分别与单位圆交于P1， P2，则向量， 的夹角是多少？的值是多少？2(图1)由图1可得向量， 的夹角是-，=(cos， sin)， =(cos， sin).一方面，由向量数量积的定义，有=|cos(-)=cos(-).另一方面，由向量数量积的坐标表示，有=coscos+sinsin.从而cos(-)=coscos+sinsin， 0.问题2如果， R，上述公式还成立吗？3当-0， 时， -就是， 的夹角，所以cos(-)=coscos+sinsin.对于任意的， ，总可选适当的整数k，使-2k-， ).记1=+2k，则1与的终边相同，且-1-， )，从而|-1|， |-1|就是， 的夹角.因此cos(|-1|)=cos(-1)=cos(-2k)=cos(-)=coscos+sinsin.综上，cos(-)=coscos+sinsin，这就是两角差的余弦公式，记为C(-).问题3cos(-)的展开式是什么？它与cos(-)展开式相等吗？为什么？cos(-)=coscos+sinsin，它们展开式相等.因为余弦函数是偶函数，所以cos(-)=cos(-).问题4能利用两角差的余弦公式求cos(+)吗？4在两角差的余弦公式中，用-代替，就可以得到cos(+)=coscos-sinsin，这就是两角和的余弦公式，记为C(+).思考“用-代替”的换元方法体现在图形上有什么几何意义？能直接利用向量的数量积推出两角和的余弦公式吗？用“-代替”的几何意义就是作出角关于x轴的对称图形.(一) 公式理解 1. 结构特征:左边是两角差的余弦，右边是同名积的和；左边是两角和的余弦，右边是同名积的差. 2. 公式中的， 可以是任意的角(或式子). 3. 当， 中有一个是90的整数倍时，用诱导公式比较简便.(二) 巩固概念问题5请利用两角和(差)的余弦公式证明cos=sin.5cos=coscos+sinsin=sin.三、 数学运用【例1】利用两角和(差)的余弦公式，求cos75， cos15， sin15， tan15.6 处理建议引导学生将75， 15转化为两个特殊角的和或差，正弦需转化为余弦.规范板书解(1) 方法1:cos75=cos(45+30)=cos45cos30-sin45sin30=.方法2:cos75=cos(120-45)=cos120cos45+sin120sin45=.(2) 方法1:cos15=cos(45-30)=cos45cos30+sin45sin30=.方法2:cos15=cos(60-45)=cos60cos45+sin60sin45=.(3) sin15=cos(90-75)=cos75=.(4) tan15=2-.题后反思(1)两角差(和)的余弦公式也适用于形式上不是差(和)角，但可以拆分成两角差(和)的情形；(2)角的拆分可能有多种形式，要根据题目选择适当的拆分.变式化简cos+cos.规范板书解原式=coscos-sinsin+coscos+sinsin=cos.【例2】不查表，求下列式子的值:(1) cos120cos15-sin120sin15； (2) cos58sin77+sin122sin13. 处理建议本例是逆用两角和(差)的余弦公式求值，要引导学生构造公式中的结构.规范板书解(1)原式=cos(120+15)=cos135=-.(2) 原式=cos58cos13+sin58sin13=cos(58-13)=.变式不查表，求cos215-sin215的值.规范板书解cos215-sin215=cos(15+15)=.题后反思 只有式子结构与公式结构完全相同时才能逆用公式，否则需对式子进行变形.【例3】已知sin=， ， cos=-，求cos(+)的值.处理建议由公式C(+)可知，欲求cos(+)，应先计算cos，sin的值.cos， sin是通过sin2x+cos2x=1(x为任意角)来求解的，要注意“”的选取.规范板书解因为， sin=，所以cos=-=-=-.又因为cos=-， ，所以sin=-=-=-，所以cos(+)=coscos-sinsin=-=.题后反思思考:在例3中，你能求出sin(+)的值吗？*【例4】若， 为锐角，且满足cos=， cos(+)=，求cos的值.处理建议先由学生自己分析解题思路，可能是“展开cos(+)，与sin2+cos2=1联立，解方程组”.再引导学生观察发现， +， 三个角之间的关系为=(+)-，用两角差的余弦公式求解.最后由学生比较两种方法的简易度，让学生体会拆角方法的简捷和思路的合理性.规范板书解因为， 为锐角，所以0， 0， 0+.因为cos=， cos(+)=，所以sin=， sin(+)=，所以cos=cos(+)-=cos(+)cos+sin(+)sin=+=.题后反思 在“给式求值”问题中，要注意用已知角来表示所求角.如本题已知角为+和，所求角是，则=(+)-.变式已知cos(2-)=-， sin(-2)=，且， 0，求cos(+)的值.处理建议引导学生寻找已知角与所求角之间的关系，即(2-)-(-2)=+.由， 的取值范围，分别求出2-， -2的正弦值和余弦值，再利用公式即可求解.规范板书解 ， 0， 2-， -2.由cos(2-)=-， sin(-2)=，得sin(2-)=， cos(-2)=， cos(+)=cos(2-)-(-2)=cos(2-)cos(-2)+sin(2-)sin(-2)=+=.四、 课堂练习 1. 化简:cos(30+)-cos(30-)=-sin. 2. 化简:cos65cos115-cos25sin115=-1.提示原式=cos65cos115-sin65sin115=cos(65+115)=cos180=-1. 3. 已知sin=， ， cos=-，是第三象限角，则cos(-)=-.提示因为， sin=，所以cos=-=-=-.又因为cos=-，是第三象限角，所以sin=-=-=-，所以cos(-)=coscos+sinsin=+=-. 4. 已知， cos=，则cos=.提示因为，所以-， 所以sin=-.因此，cos=cos=cos-sin=.五、 课堂小结 1. 运用向量数量积的定义及坐标运算公式推导两角差的余弦公式，在两角差的余弦公式上用赋值法得到两角和的余弦公式. 2. 两角和与差的余弦公式的结构特证. 3. 三角变换时，注意角与角的关系(用已知角表示所求角).第2课时两角和与差的正弦(1) 教学过程一、 问题情境1如何求sin15的值？二、 数学建构问题1上节课中，我们是如何求sin15的值？我们是将sin15变换成cos75，再利用两角和的余弦公式来计算.而sin15=sin(45-30)，有没有两角和(差)的正弦公式？问题2能否用上述方法，将sin(+)转化成某个角的余弦？sin(+)=cos.问题3上述中涉及三个角和的余弦，如何展开才能使结果只含有， 的正弦和余弦？cos=cos=coscos+sinsin=sincos+cossin，即sin(+)=sincos+cossin，这就是两角和的正弦公式，记为S(+).问题4能得到两角差的正弦公式吗？即sin(-)=.2解法一在两角和的正弦公式中，用-代替，就可以得到sin(-)=sincos-cossin，这就是两角差的正弦公式，记为S(-).解法二sin(-)=cos-(-)=cos-+=cos-cos-sin-sin=sincos-cossin.问题5能用同角三角函数的关系，由C()推导出S()？这样做有什么困难？用同角三角函数的关系推导时，会遇到符号确定的困难.问题6sin(-)的展开式是什么？它与sin(-)的展开式相同吗？为什么？sin(-)=sincos-cossina，它与sin(-)的展开式互为相反数.因为正弦函数是奇函数，所以sin(-)=-sin(-).公式理解 1. 结构特征:左边是两角和的正弦，右边是异名积的和；左边是两角差的余弦，右边是异名积的差. 2. 公式中的， 可以是任意的角(或式子). 3. 运用公式要注意角及函数的位置排列顺序. 4. 当， 中有一个是90的整数倍时，用诱导公式比较简便.三、 数学运用【例1】已知sin=-， 是第四象限角，求sin的值.处理建议由学生自己分析解题思路，教师引导学生注意cos的正负.规范板书解因为sin=-， 是第四象限角，所以cos=，所以sin-=sincos-cossin=-=.变式化简:sin+sin.规范板书解原式=sincos-cossin+=2sincos=cos.【例2】已知， sin=，求sin的值.处理建议先由学生自己分析解题思路，可能是“展开sin，与sin2+cos2=1联立，解方程组”.再引导学生观察分析， +之间的关系，根据两角差的正弦公式求解.规范板书解因为， 所以+， .又因为sin=，所以 cos+=，所以sin=sin+-=sin+cos-cos+sin=-=-.题后反思(1)三角变换中要注意角与角的关系，如=-， =+等等.(2)利用平方关系确定cos时，一定要注意+的范围.变式已知， sin=，求sin的值.规范板书解因为， 所以+.又因为sin(+)=，所以 cos+=.(1) 当cos=-时， cos，即(舍去).(2) 当cos=时，sin=sin=sincos-cossin=-=-.【例3】已知cos(+)=， cos=， ， 均为锐角，求sin的值.处理建议先由学生自己分析解题思路，可能是“展开cos(+)，与sin2+cos2=1联立，解方程组”.再引导学生思考:在学习两角和差的余弦公式时，有类似的题目吗？是如何解决的？(将看成是+与的差，即=(+)-，再用两角差的正弦公式求解)规范板书解因为， 均为锐角，所以+(0， ).又因为cos(+)=， cos=，所以sin(+)=， sin=，所以sin=sin=sin(+)cos-cos(+)sin=-=.题后反思 (1)在“给式求值”问题中，要注意用已知角来表示所求角.如本题已知角为+和，所求角是，则=(+)-.(2)在解三角函数问题时，常通过条件缩小角的范围，避免讨论.如将本题的范围改为(0， )，则如何求解呢？(由cos=， (0， )，得)变式已知， 0， cos=， sin=，试求sin(+)的值.处理建议引导学生思考:(1) 本题中的已知角是什么？所求角是什么？两者间有什么关系？(已知角是+， -，所求角是+，两者间的关系是-=+(+)(2) 已知角的和是+(+)，不是+，如何求sin(+)？(先求cos)规范板书解因为， 00，所以tan+tan=3， tantan=-3，所以tan(+)=.变式已知tan与tan是方程x2-3x-3=0的两个根，求sin2(+)-3sin(+)cos(+)-3cos2(+)的值.规范板书解由题可知=(-3)2-4(-3)=120，所以tan+tan=3， tantan=-3，所以tan(+)=.故sin2(+)-3sin(+)cos(+)-3cos2(+)=-3.(例4)*【例4】如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角， ，它们的终边分别与单位圆相交于A， B两点，已知A， B的横坐标分别为， .(1) 求tan(+)的值；(2) 求+2的值.处理建议引导学生根据三角函数的定义，求出tan， tan，从而求出tan(+)和tan(+2)，并通过+2的范围确定+2的大小.规范板书解由题意知cos=， cos=，又， 为锐角，sin=， sin=.因此tan=7， tan=.(1) tan(+)=-3.(2) tan(+2)=tan=-1. ， 为锐角， 0+2， +2=.(变式)变式如图， A， B是单位圆O上的点，且A点坐标为， B在第二象限， C是圆O与x轴正半轴的交点，AOB为正三角形，求tanBOC的值.规范板书解由题可知tanAOC=， tanBOC=tan(AOC+60)=-.四、 课堂练习 1. 已知tan=-2， tan=5，则tan(-)=. 2. 计算:=-.提示原式=tan(45+75)=-. 3. 已知为锐角， cos=，则tan=-3.提示由cos=， 为锐角，得sin=，则tan=2，所以tan=-3. 4. 已知0， 0，且tan， tan是方程3x2+4x-1=0的两根，求+的值.解因为方程3x2+4x-1=0的两根为，所以tan+tan=-， tantan=-，则tan(+)=-1.又0， 0，所以+(0， )， 故+=.五、 课堂小结 1. 运用两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式. 2. 两角和与差的正切公式的结构特征和角的限制. 3. 求角的步骤:先求出某个三角函数值，再根据角的范围求解.第5课时两角和与差的正切(2) 教学过程一、 问题情境已知tan（a+)=2，则tan=.二、 数学建构活动解决问题情境中的问题.解tan=2，解得tan=.问题1本题条件中的角与结论中的角分别是什么？条件中的角是+，结论中的角是.问题2在即时体验2中，我们是如何求cos的？先用条件中的角表示结论中的角，即=-，再用两角差的余弦公式求解.问题3本题还有其他解法吗？tan=tan+-=.三、 数学运用【例1】已知tan=2， tan=3，求tan(+)的值.处理建议先由学生自己分析解题思路，可能的思路有两个:一是由tan=2求出tan，由tan=3求出tan，然后再求tan(+)；二是由-=+，先求出tan，而后再求tan(+).再引导学生比较两种方法的繁简程度.规范板书解 tan+=tan+-=， tan(+)=tan=.题后反思在三角函数“给式求值”问题中，要注意已知角与所求角之间的关系.【例2】证明:tanx-tan=. 处理建议用问题:“本题中涉及几个角？它们有什么关系？”引导学生寻找角与角之间的关系.规范板书证明右边=tan-tan=左边.变式已知sin(2+)=5sin，求证:3tan=2tan(+).规范板书证明由题可知sin(+)+=5sin，则sin(+)cos+cos(+)sin=5，化简得4sin(+)cos=6cos(+)sin，两边同除以cos cos(+)得3tan=2tan(+).【例3】求tan23+tan37+tan23tan37的值. 处理建议引导学生由式中含有两角正切值的和与积，联想到两角和差的正切公式.规范板书解原式=tan(23+37)(1-tan23tan37)+tan23tan37=.题后反思 当题中出现两角正切值的和(差)与积时，要联想到两角和(差)的正切公式的变形:tan+tan=tan(+)(1-tantan)， tan-tan=tan(-)(1+tantan).变式在斜三角形ABC中，求证:tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.处理建议引导学生分析式子的结构，发现式子中含正切值的和与积.规范板书证明在斜三角形ABC中，有A+B+C=，即A+B=-C，且A， B， A+B，所以左边=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC=tan(-C)(1-tanAtanB)+tanC=tanAtanBtanC=右边.题后反思一般地，当角A， B， C满足什么条件时，能使等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC成立？(一般地，当A+B+C=k， kZ时，此结论成立)【例4】如图(1)，两座建筑物AB， CD的高度分别为9m和15m，从建筑物 AB的顶部A看建筑物 CD的张角CAD=45，求建筑物AB与CD的底部之间的距离BD.(例4(1)(例4(2)处理建议引导学生通过作 CD的垂线 AE，将中涉及到的量转移到两个直角三角形中.规范板书解如图(2)，作AECD于E.因为ABCD， AB=9， CD=15，所以DE=9， EC=6.设AE=x， CAE=.因为CAD=45，所以DAE=45-.在RtAEC和RtAED中，有tan=，tan(45-)=.因为tan(45-)=，所以=，解得x=18， x=-3(舍去).答:建筑物 AB与 CD的底部之间的距离 BD为18m.四、 课堂练习 1. 已知tan(-)=， tan=， 则tan=.提示tan+=tan(-)+=. 2. 计算:=.提示原式=.(第3题) 3. 如图，在矩形ABCD中，AB=a， BC=2a，在BC上取一点P，使得AB+BP=PD，求tanAPD的值.解由AB+BP=PD，得a+BP=，解得BP=a，故CP=a.设APB=， DPC=，则tan=， tan=，所以tan(+)=-18，所以tanAPD=tan(-)=-tan(+)=18.五、 课堂小结 1. 三角变换时，要注意角与角的关系，学会“执果索因”. 2. 当条件中出现两角正切值的和(差)时，会用两角和(差)的正切公式的变形解题.第6课时二倍角的三角函数(1) 教学过程一、 问题情境问题我们已经知道函数y=sin2x与y=sinx的图象关系，也知道+的正弦、余弦和正切可用， 的正弦、余弦和正切来表示，那么角的三角函数和角2的三角函数之间有怎样的数量关系？1在S(+)， C(+)， T(+)公式中，令=，就可以得到结果:sin2=2sincos(S2)；cos2=cos2-sin2(C2)；tan2=(T2).二、 数学建构问题1二倍角公式中，角有限制吗？二倍角的正弦、余弦公式中的角是任意角，但二倍角的正切公式中，2+k， +k，kZ.问题2二倍角的余弦公式中，同时出现了sin2， cos2，能否只保留一个？能.cos2=2cos2-1， cos2=1-2sin2.三、 数学运用【例1】已知sin=， ，求sin2， cos2， tan2的值.2 处理建议引导学生先求出cos的值，然后正确运用二倍角公式计算.规范板书解因为sin=， ，所以cos=-.于是，sin2=2sincos=2=-，cos2=1-2sin2=1-2=-，tan2=.题后反思 (1)还有其他方法求tan2吗？(tan=-， tan2=)(2)已知sin，求cos2时，用公式cos2=1-2sin2可以避免讨论.若用sin22+cos22=1求解，则cos2=.哪种是错误答案，如何修正？(cos2=是错的.因为sin=， ，所以， 2，所以cos2=-)(3)已知角的某个三角函数值及范围，可以缩小角的范围.变式已知sin=0.8， ，求sin2， cos2的值.规范板书解因为sin=0.8， ，所以cos=0.6， 所以sin2=2sincos=0.96， cos2=1-2sin2=-0.28.【例2】化简:(1) coscos；(2) cos4-sin4；(3) .处理建议引导学生从公式的结构出发，构造与公式相同的结构，逆用公式.规范板书解(1)原式=cossin=sin=.(2) 原式=cos2-sin2cos2+sin2=cos2-sin2=cos.(3) 原式=tan45=.题后反思 (1)公式变形:sincos=sin2；(2)倍角公式中的倍角是相对的，如4是2的倍角，是的倍角等.变式(1) 计算:-=4；(2)化简:-=tan2.规范板书解(1)原式=4.(2) 原式=tan2.【例3】求证:= .处理建议引导学生思考:(1) 式子左右两边有什么差异？(从角的差异来看，左边角是右边角的二倍；从名称的差异来看，题中涉及正弦、余弦和正切)(2) 三角变换时，从哪个差异入手比较简单？(从角的差异入手)规范板书证明左边=tan2=右边. 原式得证.题后反思 (1)三角变换时，首先要找到角与角之间的关系，如倍角关系、 =(+)-等.(2)当题中出现1+cos， 1-cos时，要想到用倍角公式消1.变式若270360，则=-cos.处理建议引导学生对结构“1+cos2”进行变形，同时要注意开方后“”的选取.规范板书解因为270360，所以1350， cos0，所以，即2， 故cos2=-.以下同例1题的解法二.题后反思 三角函数问题常需根据条件缩小角的范围，以避免讨论.【例2】已知sin=，0，求cos2， cos的值.处理建议引导学生寻找条件中的角与结论中角的关系.关系有两种:一是将条件中的-转化成求解；二是条件中角的两倍与结论中的2的和是，即2+2=.规范板书解法一因为0，所以-.又因为sin=，所以cos=，所以sin=sin-=cos-sin-=， cos=.于是，cos2=1-2sin2=， cos=(cos-sin)=.解法二因为0，所以-.又因为sin=，所以cos-=，所以sin-2=2sin-cos-=2=，即cos2=，cos+=cos-=sin-=.题后反思三角变换时，要注意题中角与角的关系:如是否可以用一(两)个角表示其他角；， 2是否特殊角等.变式设sin=，则sin2=-.处理建议引导学生思考:题中的角+与结论中的角2之间有什么关系？2+-2=规范板书解cos=cos2+=1-2sin2+=，所以sin2=-cos=-.【例3】化简:sin2-+sin2+-sin2.处理建议引导学生分析式中角的关系与结构特征.规范板书解法一原式=+-sin2=sin2+cos2-sin2=.解法二由倍角公式cos2=1-2sin2，得sin2=，于是，原式=+-=-=-=.题后反思(1)二倍角余弦公式的变形(降幂公式):sin2=， cos2=.(2) 三角变换也可从“变结构”入手，常见的结构有1+cos， 1-cos等.变式求证:cos8-sin8=cos2(1-sin22).处理建议引导学生思考:(1)式子的左右两边有什么差异？(结构上的差异:三角函数的次方不同；角上的差异:角与角2有倍角关系)(2)本题从什么差异入手比较简单？(从结构入手，将左边的次数降低)规范板书证明左边=(cos4-sin4)(cos4+sin4)=(cos2-sin2)(cos2+sin2)(cos4+sin4)=cos2(cos2+sin2)2-2sin2cos2=cos21-2sin2cos2=cos2=右边.*【例4】在半圆钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？处理建议引导学生作图，并选择圆心角BOA()为自变量，建立关于的函数，同时注意应用题的书写规范.规范板书(例4)解如图，设BOA=，且为锐角，半圆的半径为R，则面积最大的矩形ABCD必内接于半圆O，且两边长分别为AB=Rsin， DA=2OA=2Rcos，所以这个矩形的面积S=ABDA=Rsin2Rcos=R2sin2.所以当sin2=1(为锐角)，即=45时，矩形ABCD的面积取得最大值R2.此时AD=R， AB=R.答:当这个矩形的两边长与半圆的半径的比是12时，所截矩形的面积最大.题后反思求解与圆有关的最值问题时，常以圆心角为自变量.变式在一个圆的所有内接矩形中，怎样的矩形面积最大？规范板书解设ABCD是O的内接矩形，O半径为R， ACB=，则AB=2Rsin， BC=2Rcos，所以矩形ABCD的面积S=ABBC=4R2sincos=2R2sin2.当sin2=1(为锐角)，即=45时，矩形ABCD的面积最大.二、 课堂练习 1. 已知sin=，则sin2x=.提示sin2x=cos-2x=cos2-x=1-2sin2-x=1-22=. 2. 如果sin2=，那么cos-sin=-.提示(cos-sin)2=1-sin2=，又，所以cos-sin0， 故cos-sin=-. 3. 化简:cos2+cos2+cos2.解法一原式=+=+=.解法二原式=cos2+=cos2+cos2+sin cos+sin2+cos2-sin cos+sin2=.三、 课堂小结 1. sin+cos， sin cos， sin-cos三者之间的转化. 2. 三角变换技巧:变名(化切为弦)；变角(用已知角表示所求角)；变结构(降幂公式).第8课时本章复习 教学过程一、 数学运用【例1】化简:. 处理建议观察分析待化简的式子，可以看到分子较容易处理，它是二倍角余弦公式的逆用.分母相对复杂，从名称看，有弦有切；从角看，两个角与分子中的角都不同，但-， +互余；从结构看，涉及正弦的平方.而后请学生从式子“角”、“结构”上的差异着手，使用不同的公式求解.规范板书解法一原式=(复角化单角)=(化切为弦)=1.(化简繁分式)解法二原式=(将分母化同角)=(化切为弦)=1.(逆用二倍