空间向量的正交分解及其坐标表示

空间向量的正交分解及其坐标表示 1 平面向量基本定理的内容是 如果e1 e2是同一平面内的两个 向量 那么对于这一平面内的任意向量a 有且仅有一对实数 1 2 使 成立 不共线的向量e1 e2叫做这一平面内所有向量的一组 2 在平面内 把一个向量分解成两个互相垂直的向量 叫做把向量 不共线 基底 正交分解 a 1e1 2e2 1 空间向量基本定理如果三个向量a b c 那么对空间任一向量p 存在有序实数组 x y z 使得p 其中 a b c 叫做空间的一个 a b c都叫做 不共面 基底 基向量 xa yb zc 2 空间向量的正交分解及其坐标表示 两两垂直 公共起点O e1 e2 e3 平移 起点 x y z p x y z xe1 ye2 ze3 1 空间的基底是惟一的吗 提示 由空间向量基本定理可知 任意三个不共面向量都可以组成空间的一个基底 所以空间的基底有无数个 因此不惟一 2 空间向量基本定理中 当z 0时 是什么定理 当y z 0时 是什么定理 提示 平面向量基本定理 共线定理 判断三个向量能否作为基底 关键是判断它们是否共面 若从正面判断难以入手 可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断 若 a b c 是空间一个基底 试判断 a b b c c a 能否作为该空间的一个基底 思路点拨 假设不能作为一个基底 看是否存在一对实数 使得a b b c c a 若存在 则假设成立 若不存在 则假设不成立 互动探究若本例条件不变 试判断向量a b a b c能否作为空间的一个基底 解 假设a b a b c共面 则存在实数x y 使c x a b y a b 即c x y a x y b 从而由共面向量知c与a b共面 这与a b c不共面矛盾 a b a b c不共面 即可以作为空间的一个基底 用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为 1 观察图形 充分观察图形特征 2 建坐标系 根据图形特征建立空间直角坐标系 3 进行计算 综合利用向量的加 减及数乘计算 4 确定结果 将所求向量用已知的基向量表示出来 用基底表示向量时 1 若基底确定 要充分利用向量加法 减法的三角形法则和平行四边形法则 以及数乘向量的运算律进行 2 若没给定基底时 首先选择基底 选择时 要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量 再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求 思路点拨 a b c 是一个基底 再利用三角形重心的性质 可求 1 已知a b c是不共面的三个向量 则能构成一个基底的一组向量是 A 2a a b a 2bB 2b b a b 2aC a 2b b cD c a c a c 答案 C 答案 C 答案 1 1 1 1 0 1 1 对于基底 a b c 除了应知道a b c不共面外 还应明确以下三点 1 空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底 2 基底中的三个向量a b c都不是0 这是因为0与任意向量共线 与任意两个向量共面 3 一个基底是由不共面的三个向量构成 是指一个向量组 一个基向量是指基底中的某一个向量 二者是相关联的不同概念 2 空间向量基本定理