人教B版必修二 第二章 §2.3　圆的方程 课件（40张）.pptx

2 3 1圆的标准方程 第二章 2 3圆的方程 学习目标1 掌握圆的定义及标准方程 2 能根据圆心 半径写出圆的标准方程 会用待定系数法求圆的标准方程 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 思考1确定圆的标准方程需要知道哪些条件 知识点一圆的标准方程 答案圆心坐标与圆的半径 思考2在平面直角坐标系中 如图所示 以 1 2 为圆心 以2为半径的圆能否用方程 x 1 2 y 2 2 4来表示 答案能 梳理圆的标准方程 1 方程 x a 2 y b 2 r2称为以点c a b 为圆心 r为半径的圆的方程 叫做圆的标准方程 2 以原点为圆心 r为半径的圆的标准方程为x2 y2 r2 知识点二点与圆的位置关系 答案 oa 2 oc 2 梳理点m x0 y0 与圆c x a 2 y b 2 r2的位置关系及判断方法 思考辨析判断正误 1 方程 x a 2 y b 2 m2一定表示圆 2 确定一个圆的几何要素是圆心和半径 3 圆 x 1 2 y 2 2 4的圆心坐标是 1 2 半径是4 题型探究 命题角度1直接法求圆的标准方程 类型一求圆的标准方程 答案 x 2 2 y2 9 解析设圆心c的坐标为 a 0 a 0 解析 c 2 0 圆的标准方程为 x 2 2 y2 9 2 与y轴相切 且圆心坐标为 5 3 的圆的标准方程为 答案 x 5 2 y 3 2 25 解析 圆心坐标为 5 3 又与y轴相切 该圆的半径为5 该圆的标准方程为 x 5 2 y 3 2 25 解析 反思与感悟 1 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径 因此用直接法求圆的标准方程时 要首先求出圆心坐标和半径 然后直接写出圆的标准方程 2 确定圆心和半径时 常用到中点坐标公式 两点间距离公式 有时还用到平面几何知识 如 弦的中垂线必过圆心 两条弦的中垂线的交点必为圆心 等 跟踪训练1以两点a 3 1 和b 5 5 为直径端点的圆的方程是a x 1 2 y 2 2 10b x 1 2 y 2 2 100c x 1 2 y 2 2 25d x 1 2 y 2 2 25 解析 答案 解析 ab为直径 圆心为ab的中点 1 2 该圆的标准方程为 x 1 2 y 2 2 25 命题角度2待定系数法求圆的标准方程例2求经过点p 1 1 和坐标原点 并且圆心在直线2x 3y 1 0上的圆的方程 解答 圆的标准方程是 x 4 2 y 3 2 25 方法二 直接法 由题意知 op是圆的弦 其垂直平分线为x y 1 0 弦的垂直平分线过圆心 解方法一 待定系数法 设圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 圆的标准方程是 x 4 2 y 3 2 25 即圆心坐标为 4 3 反思与感悟待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 跟踪训练2已知 abc的三个顶点坐标分别为a 0 5 b 1 2 c 3 4 求该三角形的外接圆的方程 解答 故所求圆的标准方程是 x 3 2 y 1 2 25 解方法一设所求圆的标准方程为 x a 2 y b 2 r2 因为a 0 5 b 1 2 c 3 4 都在圆上 所以它们的坐标都满足圆的标准方程 同理可得线段bc的垂直平分线的方程是2x y 5 0 方法二因为a 0 5 b 1 2 故所求圆的标准方程是 x 3 2 y 1 2 25 类型二点与圆的位置关系 例3 1 点p m2 5 与圆x2 y2 24的位置关系是a 点p在圆内b 点p在圆外c 点p在圆上d 不确定 解析 解析由 m2 2 52 m4 25 24 得点p在圆外 答案 答案 解得0 a 1 解析 0 1 反思与感悟 1 判断点与圆的位置关系的方法 只需计算该点与圆心之间的距离 与半径作比较即可 把点的坐标代入圆的标准方程 判断式子两边的大小 并作出判断 2 灵活运用若已知点与圆的位置关系 也可利用以上两种方法列出不等式或方程 求解参数范围 跟踪训练3已知点 1 1 在圆 x a 2 y a 2 4的外部 则a的取值范围是 答案 解析由题意知 1 a 2 1 a 2 4 2a2 2 0 即a1 解析 1 1 类型三与圆有关的最值问题 当直线y kx与圆相切时 斜率k取最大值和最小值 解答 引申探究1 若本例条件不变 求y x的最大值和最小值 解设y x b 即y x b 当y x b与圆相切时 纵截距b取得最大值和最小值 解答 2 若本例条件不变 求x2 y2的最大值和最小值 解x2 y2表示圆上的点与原点距离的平方 由平面几何知识知 它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心到原点的距离为2 解答 解由题意知 x2 y2表示圆上的点到坐标原点的距离的平方 显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时 其平方也相应地取得最大值和最小值 原点 0 0 到圆心 1 0 的距离为d 1 解答 2 x y的最值 解令x y z 并将其变形为y x z 问题转化为斜率为 1的直线在经过圆上的点时 在y轴上的截距的最值 当直线和圆相切时 在y轴上的截距取得最大值和最小值 解答 达标检测 1 若某圆的标准方程为 x 1 2 y 5 2 3 则此圆的圆心和半径长分别为 1 2 3 4 5 答案 2 圆心在y轴上 半径为1 且过点 1 2 的圆的标准方程是a x2 y 2 2 1b x2 y 2 2 1c x 1 2 y 3 2 1d x2 y 3 2 1 1 2 3 4 5 答案 解析 解析方法一 直接法 b 2 圆的标准方程是x2 y 2 2 1 方法二 数形结合法 作图 如图 根据点 1 2 到圆心的距离为1易知 圆心为 0 2 故圆的标准方程是x2 y 2 2 1 1 2 3 4 5 答案 解析 3 已知点a 1 1 b 1 1 则以线段ab为直径的圆的标准方程为 圆的标准方程为x2 y2 2 1 2 3 4 5 答案 4 若实数x y满足 x 5 2 y 12 2 142 则x2 y2的最小值是 解析 1 1 2 3 4 5 5 求下列圆的标准方程 1 圆的内接正方形相对的两个顶点分别为a 5 6 c 3 4 解由题意知 ac为直径 则ac的中点为圆心 解答 圆的标准方程为 x 4 2 y 1 2 26 1 2 3 4 5 2 过两点c 1 1 和d 1 3 圆心在x轴上的圆 解由几何知识知 cd的垂直平分线经过圆心 解答 cd的垂直平分线为y x 2 圆的标准方程为 x 2 2 y2 10 规律与方法 1 判断点与圆的位置关系 1 几何法 主要利用点到圆心的距离与半径比较大小 2 代数法 主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断 点p x0 y0 在圆c上 x0 a 2 y0 b 2 r2 点p x0 y0 在圆c内 x0 a 2 y0 b 2r2 2