材料力学(理工科课件)第十二章 弯曲的几个补充问题()

Additionalremarksforbending 第十二章弯曲的几个补充问题 12 1非对称弯曲 Unsymmetricalbending 12 2开口薄壁杆件的切应力弯曲中心 Shearstressofopenthin wallmembers Flexuralcenter 第十二章弯曲的几个补充问题 Additionalremarksforbending 12 1非对称弯曲 Unsymmetricalbending 一 非对称弯曲 Unsymmetricalbending 横向力 过截面形心 与形心主惯性平面存在一定夹角 在这种情况下 梁弯曲后的轴线不在力的作用平面内 这种弯曲变形称为斜弯曲 二 斜弯曲的分析方法 Analysismethodforunsymmetricalbending 2 叠加 Superposition 对两个平面弯曲进行研究 然后将计算结果叠加起来 Fz Fy y z F j B A 1 分解 Resolution 将外载沿横截面的两个形心主轴分解 于是得到两个正交的平面弯曲 梁在垂直纵向对称面xy面内发生平面弯曲 z轴为中性轴 梁的轴线 梁的轴线 水平纵向对称面 梁在水平纵向对称面xz平面内弯曲 y轴为中性轴 三 梁内任意横截面上的内力分析 Analysisofinternalforceonanycrosssection B A x My Fzx Fxsin 使梁在xz平面内弯曲 y为中性轴 Mz Fyx Fxcos 使梁在xy平面内弯曲 z为中性轴 m m 四 横截面上的应力分析 Stressanalysisofcrosssections 1 与My相应的正应力为 ThebendingnormalstresscorrespondingtoMy 2 与Mz相应的正应力为 ThebendingnormalstresscorrespondingtoMz C点处的正应力 ThenormalstressatpointC 五 横截面上中性轴的位置 Locationofneutralaxisoncrosssection 中性轴上的正应力为零 假设点e z0 y0 为中性轴上任意一点 Mz O e z0 y0 中性轴方程为 中性轴是一条通过横截面形心的直线 theneutralaxisisalinewhichcrossthecentroidofanarea My 中性轴的位置由它与y轴的夹角 确定 由y轴到中性轴逆时针转向为正 横截面上合成弯矩M为 y0 y z O 公式中角度y是横截面上合成弯矩M的矢量与y轴的夹角 中性轴 Mz My 讨论 1 一般情况下 截面的Iz Iy 故中性轴与合成弯矩M所在平面不垂直 此为斜弯曲的受力特征 所以挠曲线与外力 合成弯矩 所在面不共面 此为斜弯曲的变形特征 2 对于圆形 正方形等Iy Iz的截面 有 y 梁发生平面弯曲 planebending 正应力可用合成弯矩M按正应力计算公式计算 梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线 故梁的挠曲线方程仍应分别按两垂直面内的弯曲来计算 不能直接用合成弯矩进行计算 六 最大正应力分析 Analysisofmaximumnormalstress 作平行于中性轴的两直线分别与横截面周边相切于D1 D2两点 D1 D2两点分别为横截面上最大拉应力点和最大压应力点 O D1 D2 对于矩形 工字形等有两个相互垂直的对称轴的截面 梁横截面的最大正应力发生在截面的棱角处 可根据梁的变形情况 直接确定截面上最大拉 压应力点的位置 无需定出中性轴 D2 D1 O 七 强度条件 Strengthcondition 斜弯曲的危险点处于单向应力状态 所以强度条件为 八 斜弯曲的挠度 Deflectionofunsymmetricalbending 分别求出Fy引起的挠度wy和Fz引起的挠度wz 方法 叠加原理 总挠度为w 总挠度与y轴的夹角为y x ABC z y F2 2kN F1 1kN 0 5m0 5m 40 80 z y O ad bc 例题1矩形截面的悬臂梁承受荷载如图所示 试确定危险截面上危险点所在的位置 计算梁内最大正应力的值 解 1 外力分析 梁在F2的作用下将在xOz平面内发生平面弯曲 y为中性轴 故此梁的变形为两个相互垂直平面弯曲的组合 斜弯曲 梁在F1的作用下将在xOy平面内发生平面弯曲 z为中性轴 x ABC z y F2 2kN F1 1kN 0 5m0 5m 2 绘制弯矩图 绘出Mz x 图 绘出My x 图 A截面为梁的危险截面 Mz 1kN m My 1kN m x ABC z y F2 2kN F1 1kN 0 5m0 5m Mz使A截面上部受拉 下部受压 My使A截面前部受拉 后部受压 3 应力分析 D1是最大拉应力点 D2是最大压应力点 两点正应力的绝对值相等 拉 压 拉 压 拉 压 拉 压 4 中性轴的位置 5 绘制总应力分布图 D1 7 02 D2 7 02 拉 压 12 2开口薄壁杆件的切应力弯曲中心 Shearstressofopenthin wallmembers Flexuralcenter 一 非对称截面梁平面弯曲的条件 Conditionsofplanebendingforunsymmetricalbeams 前面讨论的平面弯曲 仅限于梁至少有一个纵向对称面 外力均作用在该对称面内且垂直于轴线 对于非对称截面梁 横截面上有一对形心主惯性轴y z 形心主惯性轴y z与轴线x组成两个形心主惯性平面xOy xOz 1 实体梁 Bodybeams 当横向外力作用在形心主惯性平面的平面内 梁发生平面弯曲 否则将会伴随着扭转变形 但由于实体构件抗扭刚度很大 扭转变形很小 其带来的影响可以忽略不计 2 开口薄壁截面梁 Openthin wallsections 对于开口薄壁截面梁 即使横向力作用于形心主惯性平面内 非对称平面 则梁除发生弯曲变形外 还将发生扭转变形 只有当横向力的作用线平行于形心主惯性平面并通过某个特定点时 梁才只发生平面弯曲 而无扭转变形 这个特定点称为横截面的弯曲中心 Shearcenterorflexuralcenter 用A表示 3 弯曲中心的确定 Determinationoftheshearcenter 1 弯曲中心 Shearcenterorflexuralcenter 切应力合力的作用点就是截面弯曲中心 使杆不发生扭转的横向力作用点 2 弯曲中心的位置 Locationoftheshearcenter b 具有一个对称轴的截面 其弯曲中心一定在这个对称轴上 c 若截面的中线是由若干相交于一点的直线段所组成 则此交点就是截面的弯曲中心 a 具有两个对称轴或反对称轴的截面 其弯曲中心与形心重合 例题3一槽钢制成的梁受方向平行于其腹板的横向荷载作用 钢槽截面简化后的尺寸见图 2 确定横截面上剪力作用线的位置 1 分析横截面上腹板 翼缘两部分切应力t和t1的变化规律 腹板上切应力沿高度按二次抛物线规律变化 2 横截面翼缘上的切应力 沿翼缘厚度用纵向截面AC截出一体积元素C m 在C m的两个截面D m C n上分别有由法向内力元素 在C m的两个截面D m C n上分别有由法向内力元素组成的拉力FN1 FN11 由于翼缘很薄 故可认为 1 11 沿翼缘厚度保持不变 且其值与翼缘中线上的正应力相同 所以在AC截面上一定存在着切向内力元素dFS 因为翼缘横截面也是狭长矩形 故可采用切应力沿壁厚不变及其方向平行于翼缘长度的假设 由于 根据剪应力互等定理 横截面上的切应力和AC上的切应力如图所示 平衡方程 Fx 0 经过整理 即得 由切应力互等定理可知 得横截面上的切应力 式中 FS 为横截面上的剪力 Iz 为整个横截面对其中性轴的惯性矩 h 为截面两翼缘中线间的距离 为从翼缘外端到要求切应力点之间的长度 1沿翼缘长度按线性规律变化 翼缘上的最大剪应力发生在横截面上翼缘与腹板的中线相接处 切应力的指向如图所示 3 确定横截面上剪力作用线的位置 腹板上切向内力元素 dA的合力FR 式中 A 为横截面腹板部分的面积 FR 为腹板上的切向内力元素组成的合力 dA d dy为横截面腹板部分的面积元素 横截面翼缘部分切