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曲边梯形面积与定积分 教学目标 1 知识与技能 了解求简单曲边梯形 轴上方 的面积的一般求法 即 分割以直代曲作和逼近 在 以直代曲 方案比较中建构出定积分的概念 初步理解定积分的几何意义 能利用定积分求曲边梯形的面积 2 过程与方法 在问题解决 求曲边梯形 的过程中 体会 以直代曲 的方法和极限的思想 在方案比较中建构数学知识 初步体会数学的思维过程 学会猜想 比较 验证 3 情感态度与价值观 培养学生主动探求知识 合作交流的意识 培养借助信息技术探究数学问题的意识 感受数学思维的全过程 改善数学学习信念 一 情境创设已知某物体做变速直线运动 设经过ts后的运动速度为v t 单位 m s v t 的图象如图1中曲线所示 试求内物体运动的总路程 由物理学知识可知 s即对应曲线下方的 曲边梯形 的面积 因此 问题即转化为求如何求一曲边梯形的面积 如果说图 2 中 曲边梯形 面积可分解为三个梯形的面积 那么图 3 中 曲边梯形 面积又该如何求呢 求直线和曲线所围成的图形 曲边三角形 的面积s 二 操作探究 活动1方案提出 几何画板演示 基本思想 1 分割 等分成 个小区间 思考 为什么要等分区间 活动2 方案落实 以左端点对应的函数值为矩形的边长为例 把区间 每个区间的长度为 过各区间端点作 轴的垂线 从而得到 个小曲边梯形 它们的面积分别记作 即 2 以直代曲 上的小曲边梯形 以区间左端点 对应的函数值 为一边的长 以 为邻边的长的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积 即 对区间 3 作和 因为每个小矩形的面积是相应的小曲边梯形面积的近似值 所以 个小矩形的面积之和 就是所求曲边三角形面积 的近似值 其中 4 逼近 亦即 时 由 当分割无限变细 即 从而 活动3方案比较 三种方案 即分别以矩形abcd 矩形abef 梯形abde来近似代替相应曲边梯形的面积 具体方案中虽然面积会有差异即 但当 时 其和式均无限趋近于同一结果 即均能用来求曲边梯形的 所对应的函数值 作为小矩形一边的长 和式 近似表示曲边梯形面积 面积 一方面通过电脑操作让学生感受 同时借助公式简单推导从而强化认识 从而可将 以直代曲 的方案加以拓展 即可以取小区间内任意一点 三 概念揭示 对于一般函数 可以采用上述方法求相应曲边梯形的面积 等分成 个小区间 每个小区间长度为 以直代曲 在每个小区间上任取一点 依次为 分割 将区间 求和 逼近 亦即 时 1 概念 称该常数s为函数 在区间 上的定积分 记为 其中 称为被积函数 为积分区间 称为积分下限 为积分上限 非负时 即为 轴上方的曲边梯形的面积 2 定积分的几何意义 当 四 初步应用 例1 试用定积分表示下列曲边梯形的面积 并借助于信息技术求出相应结果 1 计算直线x 4 x 2 y 0 和曲线 1 曲边梯形面
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