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2 1 2椭圆的简单几何性质 二 1 进一步理解椭圆的简单几何性质 2 明确直线与椭圆的位置关系 掌握直线与椭圆的位置关系的判定方法 3 会解决与椭圆有关的简单综合性问题 1 2 1 2 a 相离b 相切c 相交d 以上均有可能解析 直线l过点 1 0 而点 1 0 是椭圆的右焦点 所以直线l与椭圆一定相交 答案 c 1 2 1 2 答案 b 1 直线与椭圆的位置关系剖析 1 直线与椭圆有三种位置关系 相交 直线与椭圆有两个不同的公共点 相切 直线与椭圆有且只有一个公共点 相离 直线与椭圆没有公共点 2 直线与椭圆的位置关系的判断 我们把直线与椭圆的位置关系问题转化为直线和椭圆的公共点问题 而直线与椭圆的公共点问题 又可以转化为它们的方程所组成的方程组的解的问题 而它们的方程所组成的方程组的解的问题又可以转化为一元二次方程解的问题 一元二次方程解的问题可以通过判别式来判断 因此 直线和椭圆的位置关系 可由相应的一元二次方程的判别式来判断 判断方法是将直线方程和椭圆的方程联立 消去一个未知数 得到一个一元二次方程 若 0 则直线与椭圆相交 若 0 则直线与椭圆相切 若 0 则直线与椭圆相离 归纳总结求解直线与椭圆的公共点的问题时 可将直线方程与椭圆方程联立 得到一元二次方程 从而把几何问题转化为代数问题 归纳总结由弦长公式可知 求弦长时无须求出交点坐标 只需将方程联立 整理成关于x 或y 的一元二次方程 根据一元二次方程根与系数的关系求出x1 x2 x1x2 或y1 y2 y1y2 代入弦长公式即可 直线方程斜率存在 且不为0 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 整理得 m 5k2 x2 10kx 5 1 m 0 所以 100k2 20 m 5k2 1 m 20m 5k2 m 1 因为直线与椭圆总有公共点 所以 0对任意k r都成立 因为m 0 所以5k2 1 m恒成立 所以1 m 0 即m 1 又因为椭圆的焦点在x轴上 所以0 m 5 所以1 m 5 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思求弦长的方法 先将直线方程与椭圆方程联立 得到关于x的一元二次方程 再找到根与系数的关系 最后求弦长 不必具体求出方程的根 即不必求出直线与椭圆的交点 这种方法是求弦长问题常采用的方法 但要注意 在直线斜率未知的情况下 应分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 解 1 由 af1 3 f1b ab 4 得 af1 3 f1b 1 因为 abf2的周长为16
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