广东省潮州市2015-2016年高二下期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页 （共 16 页） 2015年广东省潮州市高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 1若集合 A=x|x 1， B=x| 2 x 3，则 AB=（ ） A x|x 1 B x| 1 x 3 C x|x 2 D x| 2 x 3 2复数 =（ ） A 2+i B 2+i C 1 2i D 1+2i 3函数 f（ x） = 的定义域为（ ） A（ 1， +） B（ 1， 1） C 1， +） D（ 1， +） 4下列函数既是奇函数，又在（ 0， 1）上是增函数的是（ ） A y= y= y= y=3x+3 x 5用反证法证明 “ 三边长 a， b， c 的倒数成等差数列，求证 B ”假设正确的是（ ） A角 B 是锐角 B角 B 不是锐角 C角 B 是直角 D角 B 是钝角 6如图是 “集合 ”的知识结构图，如果要加入 “子集 ”，则应该放在（ ） A “集合的概念 ”的下位 B “集合的表示 ”的下位 C “基本关系 ”的下位 D “基本运算 ”的下位 7独立性检验中，假设命题 量 X 与变量 Y 没有关系则在 立的情况下，则 示的意义是（ ） A变量 X 与变量 Y 有关系的概率为 B变量 X 与变量 Y 没有关系的概率为 C变量 X 与变量 Y 有关系的概率为 D变量 X 与变量 Y 没有关系的概率为 99% 8设 z 是复数，下列命题中的假命题是（ ） A若 0，则 z 是实数 B若 z 是虚数，则 z 0 C若 z 是虚数，则 0 D若 z 是纯虚数，则 0 9函数 f（ x） =，若 f（ 1） =a，则 f（ 1） =（ ） A a B 0 C a 2 D 2 a 10若如图框图所给的程序运行结果为 S=254，那么判断框中应填入的条件是（ ） 第 2 页 （共 16 页） A n 7？ B n 7？ C n 7？ D n 7？ 11一个高为 H 容积为 V 的鱼缸的轴截面如图 所示现向空鱼缸内注水，直到注满为止当鱼缸水深为 h 时，水的体积记为 v函数 v=f（ h）的大致图象可能是（ ） A B C D 12设数列 前 n 项和为 义 为数列 “理想数 ”，已知数列 “理想数 ”为 220，那么数列 2， “理想数 ”为（ ） A 202 B 220 C 222 D 440 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知函数 f（ x） = ，若 f（ m） =1，则 m= 14已知集合 a， ， 1=0， a+b， 则 a2+ 15设 三边长分别为 a， b， c，面积为 S，内切圆半径为 r，则 S= （ a+b+c） r，类比这个结论知：四面体 S 四个面的面分别为 积为 V，内切球半径为 R，则 V= 16若函数 f（ x）的定义域内存在实数 x，满足 f（ x） = f（ x），则称 f（ x）为 “局部奇函数 ”例如： f（ x） =x2+x 1 在 R 上存在 x=1，满足 f（ 1） = f（ 1），故称 f（ x） =x2+x 1 为 “局部奇函数 ”设 f（ x） =x+2）在 其定义域内存在 x=a，使 f（ x） =x+2）是 “局部奇函数 ”，则 a= 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答要写出证明过程或解题步骤 . 第 3 页 （共 16 页） 17判断 f（ x） = 在（ 1， 1）上的单调性并证明 18某设备启用后，使用年份 x（年）和所需的维修费用 y（万元）有如下几组统计数据： x 2 3 4 5 6 y 1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程； （ 2）估计该设 备启用后第 10 年（即 x=10）所需要的维修费用大约是多少？ （参考公式： = = ， = ） 19已知函数 f（ x） =a 0， a 1 （ 1）若复数 z=（ a+2i）（ 1+i）（ i 为虚数单位）是纯虚数，求方程 f（ x） = 2 的根； （ 2）若 f（ x） =区间 1， 2上有最大值 1，求不等式 f（ x 1） 0 的解集 20一个三角形数表的前 5 行如图，第 n 行的第二个数为 n 2， n N*） （ 1）求 （ 2）归纳出 与 关系式（不用证明），并求出 n 2）的通项公式 21如图，函数 y= |x|在 x 1， 1的图象上有两点 A， B， ，点 M（ 1， m）（ m 是已知实数，且 m ）是 边 中点 （ 1）写出用 B 的横坐标 t 表示 积 S 的函数解析式 S=f（ t）； （ 2）求函数 S=f（ t）的最大值，并求出相应的 C 点坐标 请考生在第（ 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目 的题号涂黑。把答案填在答题卡上。 选修 4何证明选讲 22如图，圆 O 的直径 0， P 是 长线上一点， ，割线 圆 O 于点 C，D，过点 P 做 垂线，交直线 点 E，交直线 点 F 第 4 页 （共 16 页） （ 1）求证： （ 2）求 F 的值 选修 4标系与参数方程 23在极坐标系中，圆 C 的方程为 =4极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 （ t 为参数） （ 1）写出圆 C 的直角坐标方程以及直线 l 的普通方程； （ 2）求直线 l 被圆 C 所截得的弦长 选修 4等式选讲 24设函数 f（ x） =|2x 4|， g（ x） =|x+1| （ 1）解不等式： f（ x） g（ x）； （ 2）当 x 0， 3，求函数 y=f（ x） +g（ x）的最大值 第 5 页 （共 16 页） 2015年广东省潮州市高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 1若集合 A=x|x 1， B=x| 2 x 3，则 AB=（ ） A x|x 1 B x| 1 x 3 C x|x 2 D x| 2 x 3 【考点】 交集及其运算 【分析】 由 A 与 B，求出两集合的交集即可 【解答】 解： A=x|x 1， B=x| 2 x 3， AB=x| 1 x 3， 故选： B 2复数 =（ ） A 2+i B 2+i C 1 2i D 1+2i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数的 表达式同乘分母的共轭复数，化简求解即可 【解答】 解：复数 = =i+2 故选： A 3函数 f（ x） = 的定义域为（ ） A（ 1， +） B（ 1， 1） C 1， +） D（ 1， +） 【考点】 函数的定义域及其求法 【分析】 根据对数函数的性质以及二次根式的性质得到关于 x 的不等式组，解出即可 【解答】 解：由题意得： ，解得： x 1， 故选： D 4下列函数既是奇函数，又在（ 0， 1）上是增函数的是（ ） A y= y= y= y=3x+3 x 【考点】 函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断 【分析】 运用奇偶性的定义和导数的运用，结合常见函数的奇偶性和单调性，即可得到既是奇函数又是增函数的函数 【解答】 解：由奇函数就可以排除 C、 D 选项，由在（ 0， 1）上是增函数可排除 A 选项， 故选 B 第 6 页 （共 16 页） 5用反证法证明 “ 三边长 a， b， c 的倒数成等差数列，求证 B ”假设正确的是（ ） A角 B 是锐角 B角 B 不是锐角 C角 B 是直角 D角 B 是钝角 【考点】 反证法与放缩法 【分析】 考虑命题的反面，即可得出结论 【解答】 解： 小于的反面是大于等于， “假设 ”应为 B ，即角 B 不是锐角， 故选： B 6如图是 “集合 ”的知识结构图，如果要加入 “子集 ”，则应该放在（ ） A “集合的概念 ”的下位 B “集合的表示 ”的下位 C “基本关系 ”的下位 D “基本运算 ”的下位 【考点】 结构图 【分析】 知识结构图的作用是用图形直观地再现出知识之间的关联，由于子集是集合关系中的一种，由此易得出正确选项 【解答】 解：子集是两个集合之间的包含关系，属于集合的关系，故在知识结构图中，子集应该放在集合的关系后面，即它的下位，由此知应选 C 故选 C 7独立性检验中，假设命题 量 X 与变量 Y 没有关系则在 立的情况下，则 示的意义是（ ） A变量 X 与变量 Y 有关系的概率为 B变量 X 与变量 Y 没有关系的概率为 C变量 X 与变量 Y 有关系的概率为 D变量 X 与变量 Y 没有关系的概率为 99% 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 根据所给的估算概率，得到两个变量有关系的可信度是 1 两个变量有关系的概率是 这里不用计算，只要理解独立性检验的意义即可 【解答】 解： 概率 P（ 两个变量有关系的可信度是 1 即两个变量有关系的概率是 故选： C 8设 z 是 复数，下列命题中的假命题是（ ） A若 0，则 z 是实数 B若 z 是虚数，则 z 0 C若 z 是虚数，则 0 D若 z 是纯虚数，则 0 【考点】 复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 第 7 页 （共 16 页） 【分析】 A由于复数若不是实数，不能比较大小，即可判断出真假； B设 z=a+a， b R）， =a z =a2+可判断出真假 C取 z=1 i，可知 2i，即可判断出真假； D设 z=b R， b 0），则 可判断出真假 【解答】 解： A由于复数若不是实数，不能比较大小，已知 0，则 z 是实数，正确； B设 z=a+a， b R）， =a z =a2+0，正确 C取 z=1 i，可知 2i， C 选项为假命题； D设 z=b R， b 0），则 0 故选： C 9函数 f（ x） =，若 f（ 1） =a，则 f（ 1） =（ ） A a B 0 C a 2 D 2 a 【考点】 正弦函数的奇偶性 【分析】 由条件利用诱导公式求得 a 2，可得 f（ 1） = 值 【解答】 解：由题意可得， f（ 1） =a，可得 a 2， 故 f（ 1） = a， 故选： D 10若如图框图所给的程序运行结果为 S=254，那么判断框中应填入的条件是（ ） A n 7？ B n 7？ C n 7？ D n 7？ 【考点】 程序框图 【分析】 模拟程序的运行可得算法的功能是求 S=21+22+27 的值，根据输出的 S 的值为 254，确定跳出循环的 n 值，从而得判断框的条件 【解答】 解：模拟执行程序，可得 S=0， n=0 不满足判断框内的条件，执行循环体， n=1， S=21 不满足判断框内的条件，执行循环体， n=2， S=21+22 不满足判断框内的条件，执行循环体， n=7， S=21+22+27= =254， 由题意，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出 S 的值为 254 故判断框中应填入的条件是： n 7？ 故选： D 第 8 页 （共 16 页） 11一个高为 H 容积为 V 的鱼缸的轴截面如图所示现向空鱼缸内注水，直到注满为止当鱼缸水深为 h 时，水的体积记为 v函数 v=f（ h）的大致图象可能是（ ） A B C D 【考点】 函数的图象 【分析】 水深 h 越大，水的体积 v 就越大，故函数 v=f（ h）是个增函数，一开始增长越来越快，后来增长越来越慢，图象是先凹后凸的 【解答】 解：由图得水深 h 越大，水的体积 v 就越大，故函数 v=f（ h）是个增函数 据四个选项提供的信息， 当 h O， H，我们可将水 “流出 ”设想成 “流入 ”， 这样每当 h 增加一个单位增量 h 时， 根据鱼缸形状可知，函数 V 的变化，开始其增量越来越大，但经过中截面后则增量越来越小， 故 V 关 于 h 的函数图象是先凹后凸的，曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小， 故选 A 12设数列 前 n 项和为 义 为数列 “理想数 ”，已知数列 “理想数 ”为 220，那么数列 2， “理想数 ”为（ ） A 202 B 220 C 222 D 440 【考点】 数列的求和 【分析】 由题意可知： 2+200， 2， “理想数 ”为，代入即可求得结果 【解答】 解：由条件可得 =220，从而得 2+200， 又因为数列 2， “理想数 ”为 ， = ， = ， =202， 故答案选： A 第 9 页 （共 16 页） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知函数 f（ x） = ，若 f（ m） =1，则 m= 1 或 10 【考点】 函数的值 【分析】 根据分段函数的表达式进行解方程即可 【解答】 解：若 x 0，则由 f（ m） =1 得 f（ m） =，解得 m= 1， 若 x 0，则由 f（ m） =1 得 f（ m） =，解得 m=10， 综上 m= 1 或 m=10， 故答案为： 1 或 10 14已知集合 a， ， 1=0， a+b， 则 a2+1 【考点】 集合的相等 【分析】 根据集合元素的特征和集合相等即可求出 【解答】 解： a， ， 1=0， a+b， b=0， ， a2+， 故答案为： 1 15设 三边长分别为 a， b， c，面积为 S，内切圆半径为 r，则 S= （ a+b+c） r，类比这个结论知：四面体 S 四个面的面分别为 积为 V，内切球半径为 R，则 V= 【考点】 球的体积和表面积 【分析】 根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可 【解答】 解：设四面体的内切球的球心为 O， 则球心 O 到四个面的距离都是 R， 所以四面体的体积等于以 O 为顶点， 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和 则四面体的体积为 故答案为： 第 10 页 （共 16 页） 16若函数 f（ x）的定义域内存在实数 x，满足 f（ x） = f（ x），则称 f（ x）为 “局部奇函数 ”例如： f（ x） =x2+x 1 在 R 上存在 x=1，满足 f（ 1） = f（ 1），故称 f（ x） =x2+x 1 为 “局部奇函数 ”设 f（ x） =x+2）在其定义域内存在 x=a，使 f（ x） =x+2）是 “局部奇函数 ”，则 a= 【考点】 抽象函数及其应用 【分析】 利用局部奇函数的定义，建立方程关系，然后求解即可 【解答】 解：根据局部奇函数的定义， f（ x） =x+2）， f（ x） = f（ x） 可化为 x+2） = x+2） = f（ x） =x+2）在其定义域内存在 x=a，使 f（ x） =x+2）是 “局部奇函数 ”， a+2） = ， 解得 a= ， 故答案为： 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答要写出证明过程或解题步骤 . 17判断 f（ x） = 在（ 1， 1）上的单调性并证明 【考点】 利用导数研究函数的单调性 【分析】 由题意可判断 f（ x） = 在（ 1， 1）上单调递减，利用导数证明 【解答】 解： f（ x） = 在（ 1， 1）上单调递减，证明如下， f（ x） = ， 第 11 页 （共 16 页） f（ x） = = 0， f（ x） = 在（ 1， 1）上单调递减 18某设备启用后，使用年份 x（年）和所需的维修费用 y（万元）有如下几组统计数据： x 2 3 4 5 6 y 1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程； （ 2）估计该设备启用后第 10 年（即 x=10）所需要的维修费用大约是多少？ （参考公式： = = ， = ） 【考点】 线性回归方程 【分析】 （ 1）先做出两组数据的平均数，把平均数和条件中所给的两组数据代入求解 b 的公式，做出 b 的值，再求出 a 的值，写出回归直线的方程 （ 2）把 x=10 代入直线的方程得到 y=10=计使用年限为 10 年时维修的费用这是一个预报值，不是正确数值 【解答】 解：（ 1） = =4， = =5， = = =a=5 4 线性回归方程为 y= （ 2）把 x=10 代入回归方程得到： y=10= 估计使用年限为 10 年时，维修费用为 元 19已知函数 f（ x） =a 0， a 1 （ 1）若复数 z=（ a+2i）（ 1+i）（ i 为虚数单位）是纯虚数，求方程 f（ x） = 2 的根； （ 2）若 f（ x） =区间 1， 2上有最大值 1，求不等式 f（ x 1） 0 的解集 【考点】 函数的最值及其几何意义；对数函数的图象与性质 【分析】 （ 1）根据复数 z=（ a+2i）（ 1+i）（ i 为虚数单位）是纯虚数，可得 a=2，结合 对数的定义，可得答案； （ 2）若 f（ x） =区间 1， 2上有最大值 1，可得 a=2，结合对数函数的单调性解不等式，可得答案； 【解答】 解：（ 1）复数 z=（ a+2i）（ 1+i） =（ a 2） +（ a+2） i 因为复数 z 是纯虚数 第 12 页 （共 16 页） 所以 a 2=0， a+2 0，即 a=2 所以方程 f（ x） = 2 可化为 2 即 x=2 2= ， 故方程的根为 x= （ 2）因为 f（ x） =区间 1， 2上是单调函数，且 f（ 1） = 1， 故 f（ 2） =， 从而 a=2 所以原不等式为 x 1） 0，可化为 x 1） 即 x 1 1，故 x 2 所以原不等式解集为（ 2， +） 20一个三角形数表的前 5 行如图，第 n 行的第二个数为 n 2， n N*） （ 1）求 （ 2）归纳出 与 关系式（不用证明），并求出 n 2）的通项公式 【考点】 归纳推理 【分析】 （ 1） +11=16； （ 2）依据 “中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和 ”则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有 =an+n（ n 2），再由累加法求解 【解答】 解：（ 1） +11=16 （ 2）依题意 =an+n（ n 2） an=n（ n 2）， 当 n 2 时， 1=n 1， ， ， 将上面 n 2 个等式相加得 因为 所以 （ n 2） 21如图，函数 y= |x|在 x 1， 1的图象上有两点 A， B， ，点 M（ 1， m）（ m 是已知实数，且 m ）是 边 中点 （ 1）写出用 B 的横坐标 t 表示 积 S 的函数解析式 S=f（ t）； 第 13 页 （共 16 页） （ 2）求函数 S=f（ t）的最大值，并求出相应的 C 点坐标 【考点 】 分段函数的应用；函数解析式的求解及常用方法；二次函数的性质 【分析】 （ 1）欲求 积 S，关键是求边 长及相应的高，依题意，设 B（ t， t），A（ t， t）（ t 0）， C（ 求出 边 | 上的高 h，再利用三角形的面积公式计算即得； （ 2）先对函数式进行了配方得： S= 3 3（ t ） 2+ ， t （ 0， 1下面结合二次函数的图象与性质求解其最大值即可 【解答】 解：（ 1）依题意，设 B（ t， t）， A（ t， t）（ t 0）， C（ M 是 中点， =1， =m， t， m t 在 ， |2t， 上的高 h=t=2m 3t S= |h= 2t（ 2m 3t） = 3t （ 0， 1 （ 2） S= 3 3（ t ） 2+ ， t （ 0， 1若 ， 即 m 3当 t= 时， ，相应的 C 点坐标是（ 2 ， m） 若 1，即 m 3 时， S=f（ t）在区间（ 0， 1上是增函数， f（ 1） =2m 3，相应的 C 点坐标是（ 1， 2m ） 请考生在第（ 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。把答案填在答题卡上。 选修 4何证明选讲 22如图，圆 O 的直径 0， P 是 长线上一点， ，割线 圆 O 于点 C，D，过点 P 做 垂线，交直线 点 E，交直线 点 F （ 1）求证： （ 2）求 F 的值 第 14 页 （共 16 页） 【考点】 与圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）证明 P、 B、 C、 E 四点共圆、 A、 B、 C、 D 四点共圆，利用四点共圆的性质，即可证明： （ 2）证明 D， C， E， F 四点共圆，利用割线定理，即可求得 F 的值 【解答】 （ 1）证明：连结 圆 O 的直径， 0， P、 B、 C、 E 四点共圆 又 A、 B、 C、 D 四点共圆， （ 2）解： F、 E、 C、 D 四点共圆 F=D=B=2 12=24 选修 4标系与参数方程 23在极坐标系中，圆 C 的方程为 =4极点为坐