（新课标）2020版高考数学总复习 第九章 第七节 抛物线练习 文 新人教A版.docx

第七节抛物线A组基础题组1.抛物线8x2+y=0的焦点坐标为()A.(0,-2)B.(0,2)C.0,-132D.0,132答案C由8x2+y=0,得x2=-18y.所以2p=18,p=116,所以焦点为0,-132.故选C.2.若抛物线y2=2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为()A.14,22B.14,1C.12,22D.12,1答案A设抛物线的顶点为O,焦点为F,P(xP,yP),由抛物线的定义知,点P到准线的距离即点P到焦点的距离,所以|PO|=|PF|,过点P作PMOF于点M(图略),则M为OF的中点,所以xP=14,代入y2=2x,得yP=22,所以P14,22.3.若点A,B在抛物线y2=2px(p0)上,O是坐标原点,若正三角形OAB的面积为43,则该抛物线的方程是()A.y2=233xB.y2=3xC.y2=23xD.y2=33x答案A由题意知ABx轴,由于正三角形OAB的面积是43,故34AB2=43,故AB=4,正三角形OAB的高为23,故可以设点A的坐标为(23,2),代入抛物线方程得4=43p,解得p=33,故所求的抛物线方程为y2=233x,故选A.4.如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则BCF与ACF的面积之比是()A.|BF|-1|AF|-1B.|BF|2-1|AF|2-1C.|BF|+1|AF|+1D.|BF|2+1|AF|2+1答案A设A(x1,y1),B(x2,y2),由抛物线的定义,得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,则SBCFSACF=BCAC=x2x1=|BF|-1|AF|-1.故选A.5.(2018安徽合肥模拟)已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k=()A.13B.23C.23D.223答案D设抛物线C:y2=8x的准线为l,易知l:x=-2,直线y=k(x+2)恒过定点P(-2,0),如图,过A、B分别作AMl于点M,BNl于点N,由|FA|=2|FB|,知|AM|=2|BN|,点B为线段AP的中点,连接OB,则|OB|=12|AF|=|BF|,k0,点B的坐标为(1,22),k=22-01-(-2)=223.故选D.6.过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|=.答案B抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.故选B.7.抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点O为坐标原点,过点O,F的圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36,则抛物线的方程为.答案y2=16x解析设满足题意的圆的圆心为M,根据题意可知圆心M在抛物线上,又因为圆的面积为36,所以圆的半径为6,则|MF|=xM+p2=6,即xM=6-p2,又由题意可知xM=p4,所以p4=6-p2,解得p=8.所以抛物线的方程为y2=16x.8.(2018课标全国理改编,8,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C交于M,N两点,则FMFN=.答案8解析本题主要考查直线与抛物线的位置关系及平面向量的数量积的运算.设M(x1,y1),N(x2,y2).由已知可得直线的方程为y=23(x+2),即x=32y-2,由y2=4x,x=32y-2得y2-6y+8=0.由根与系数的关系可得y1+y2=6,y1y2=8,x1+x2=32(y1+y2)-4=5,x1x2=(y1y2)216=4,F(1,0),FMFN=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=4-5+1+8=8.9.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线的方程;(2)若过M作MNFA,垂足为N,求点N的坐标.解析(1)抛物线y2=2px的准线为x=-p2,于是4+p2=5,p=2,抛物线的方程为y2=4x.(2)由(1)知点A的坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2).F(1,0),kFA=43.MNFA,kMN=-34,FA的方程为y=43(x-1),MN的方程为y=-34x+2,由得x=85,y=45,N的坐标为85,45.10.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC=OA+OB,求的值.解析(1)直线AB的方程是y=22x-p2,与y2=2px联立,化简得4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=5p4.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.(2)由p=4,4x2-5px+p2=0可化简为x2-5x+4=0,又x10)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x答案C以MF为直径的圆过点(0,2),点M在第一象限.由|MF|=xM+p2=5可得M5-p2,2p5-p2.从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为52,122p5-p2,点N的横坐标恰好等于圆的半径,圆与y轴切于点(0,2),从而2=122p5-p2,即p2-10p+16=0,解得p=2或p=8,抛物线方程为y2=4x或y2=16x.故选C.2.(2018课标全国理,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若AMB=90,则k=.答案2解析本题考查抛物线的几何性质及应用.解法一:由题意可知C的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k的直线方程为x=yk+1,设Ay1k+1,y1,By2k+1,y2,将直线方程与抛物线方程联立得x=yk+1,y2=4x,整理得y2-4ky-4=0,从而得y1+y2=4k,y1y2=-4.M(-1,1),AMB=90,MAMB=0,即y1k+2y2k+2+(y1-1)(y2-1)=0,即k2-4k+4=0,解得k=2.解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=4x1,y22=4x2,-得y22-y12=4(x2-x1),从而k=y2-y1x2-x1=4y1+y2.设AB的中点为M,连接MM.直线AB过抛物线y2=4x的焦点,以线段AB为直径的M与准线l:x=-1相切.M(-1,1),AMB=90,点M在准线l:x=-1上,同时在M上,准线l是M的切线,切点为M,且MMl,即MM与x轴平行,点M的纵坐标为1,即y1+y22=1y1+y2=2,故k=4y1+y2=42=2.3.已知抛物线的方程为x2=2py(p0),其焦点为F,点O为坐标原点,过焦点F作斜率为k(k0)的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线的两条切线,设两条切线交于点M.(1)求OAOB;(2)设直线MF与抛物线交于C,D两点,且四边形ACBD的面积为323p2,求直线AB的斜率k.解析(1)设直线AB的方程为y=kx+p2,A(x1,y1),B(x2,y2),由x2=2py,y=kx+p2,得x2-2pkx-p2=0,则x1+x2=2pk,x1x2=-p2,y1y2=x12x224p2=p24,所以OAOB=x1x2+y1y2=-34p2.(2)由x2=2py,知y=xp,所以抛物线在A,B两点处的切线的斜率分别为x1p,x2p,所以直线AM的方程为y-y1=x1p(x-x1),直线BM的方程为y-y2=x2p(x-x2),则可得Mpk,-p2.所以kMF=-1k,所以直线MF与AB互相垂直.所以|AB|=k2+1|x1-x2|=k2+14p2k2+4p2=2p(k2+1).用-1k代替k得,|CD|=2p1k2+1,四边形ACBD的面积S=12|AB|CD|=2p22+k2+1k2=323p2,解得k2=3或k2=13,即k=3或k=33.4.(2018湖北武汉调研)已知抛物线C:x2=2py(p0)和定点M(0,1),设过点M的动直线交抛物线C于A,B两点,抛物线C在A,B处的切线的交点为N.(1)若N在以AB为直径的圆上,求p的值;(2)若ABN的面积的最小值为4,求抛物线C的方程.解析(1)设直线AB:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2-2pkx-2p=0,则x1+x2=2pk,x1x2=-2p.(1)由x2=2py得y=xp,则过A,B点的切线斜率的乘积为x1x2p2=-2p,点N在以AB为直径的圆上,ANBN,即-2p=-1,p=2.(2)易得直线AN:y-y1=x1p(x-x1),直线BN:y-y2=x2p(x-x2),联立,得y-y1=x1p(x-x1),y-y2=x2p(