江苏省常熟市2018_2019学年高二数学下学期期中试题理（含解析）.docx

2018-2019学年第二学期期中试卷高二数学（理科）一、填空题：请把答案填写在答题卷相应的位置上.1.已知，那么_.【答案】8【解析】【分析】由排列数的公式将原式化为关于的一元二次方程，即可求出结果.【详解】因为，所以，即，因为，所以.故答案为8【点睛】本题主要考查排列数的计算，熟记公式即可，属于基础题型.2.设是虚数单位，若复数满足，则_.【答案】【解析】【分析】先将化为，再由复数的除法运算法则，即可得出结果.【详解】因为，所以.故答案为【点睛】本题主要考查复数的除法，熟记除法运算法则即可，属于基础题型.3.在某比赛中，选手需从5个试题中选答3题，若有1题是必答题，则有_种选题方法.【答案】6【解析】【分析】从5个试题中选答3题，有1题必答题，等价于从4个非必答题中选答2题，进而可得出结果.【详解】因为选手需从5个试题中选答3题，若有1题是必答题，所以只需该选手从4个非必答题中选答2题，即有种选题方法.故答案为6【点睛】本题主要考查组合问题，熟记概念即可，属于基础题型.4.若的二项展开式中二项式系数的和为_.【答案】32【解析】【分析】根据的二项展开式中二项式系数之和为，可直接得出结果.【详解】因为的二项展开式中二项式系数之和为，所以的二项展开式中二项式系数的和为.故答案为32【点睛】本题主要考查二项式系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.5.已知随机变量的分布列为，那么实数_.【答案】3【解析】【分析】根据概率之和为1，即可求出结果.【详解】因为随机变量的分布列为，所以，因此.故答案为3【点睛】本题主要考查概率的性质，熟记概率性质即可，属于基础题型.6.若直线与曲线的图象相切，则实数的值是_.【答案】【解析】【分析】先设直线与曲线的切点坐标，对函数求导，表示出在该点处的切线斜率，再由直线斜率，即可求出切点坐标，进而可求出结果.【详解】设直线与曲线的切点为，由得，所以曲线在点处的切线斜率为，又直线与曲线切于点，所以，因此，所以或，因为点在直线上，所以.故答案为【点睛】本题主要考查由直线与曲线相切求参数，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.7.设是虚数单位，若复数满足，则的最大值为_.【答案】3【解析】【分析】先设复数所对应坐标为，根据得到所满足关系式，再由表示点到原点的距离，进而可求出结果.【详解】设复数所对应坐标为，由得，即，所以表示圆上的点到原点的距离，因此，（其中为圆的半径）.故答案为3【点睛】本题主要考查复数的几何意义，熟记复数与复平面内的点一一对应，即可求解，属于基础题型.8.在实数中：要证明实数，相等，可以利用且来证明.类比到集合中：要证明集合，相等，可以利用_来证明.【答案】且【解析】【分析】集合之间的是“包含”和“包含于”的关系。集合相等，说明二者互为子集。【详解】说明集合和集合元素完全相同，既互为子集的关系本题正确结果：且【点睛】本题考查合情推理中类比推理，属于基础题。9.从0，1，2，9这10个自然数中，任取2个不同的数，则这2个数恰好有一个是偶数的概率_.【答案】【解析】【分析】先求出“从10个数中取出2个不同的数”所包含的基本事件总数，再求出“这2个数恰好有一个是偶函数”所包含的基本事件个数，基本事件个数比即是所求概率.【详解】“从0，1，2，9这10个自然数中，任取2个不同的数”共有个基本事件；“这2个数恰好有一个是偶函数”共有个基本事件，所以所求概率为.故答案为【点睛】本题主要考查古典概型，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.10.从集合中随机抽取3个数，其中最小数为，则_.【答案】【解析】【分析】先由题意确定的所有可能取值，再分别求出对应的概率，进而可求出结果.【详解】由题意可得的所有可能取值为，则，所以，.故答案为【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望，熟记概念即可，属于常考题型.11.观察下列等式：，按此规律，_（）.【答案】【解析】【分析】通过观察式子构成规律，总结规律，得到结论。详解】，本题正确结果：【点睛】本题考查归纳推理，关键是找到所给条件的一般性规律，从而得到结论。12.的展开式中，含的项的系数为_.【答案】54【解析】【分析】先求出展开式中，含的项的系数，进而可根据题中条件求出结果.【详解】因为展开式的通项为，令，则，即展开式中，含的项的系数为，所以的展开式中，含的项的系数为.故答案为54【点睛】本题主要考查求指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于常考题型.13.“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，则此数列的前56项和为_.【答案】4084【解析】【分析】先利用次二项式系数对应杨辉三角形的第行，求出杨辉三角形的前项和，再结合杨辉三角形去除所有为1的项后，由最左侧一列的特征，根据等差数列求解即可.【详解】次二项式系数对应杨辉三角形的第行，如，系数分别为1,2,1，对应杨辉三角形的第3行；令，就可以求出该行的系数之和，第一行为，第二行为，第三行为，以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列；则杨辉三角形的前项和为；若去除所有为1的项，则剩下的每一行的个数为1,2,3,4，可以看成是以1为首项，以1为公差的等差数列，则；由此可得，当，再加上第11行的第一项，所有项的个数为56，由于最左侧为2,3,4,5，是以2为首项，1为公差的等差数列，故第11行的第一项为12，又杨辉三角形的前12项的和为，则此数列的前56项和为.故答案为4084【点睛】本题主要考查杨辉三角形，熟记杨辉三角形的特征即可，属于常考题型.14.设函数，若对任意的，在区间内总有两个不同的零点，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】先将问题转化为方程在区间内总有两个不同的实根，令，分别求出其在给定区间的值域，根据题意，得到两值域之间的关系，进而可求出结果.【详解】因为在区间内总有两个不同的零点，所以方程在区间内总有两个不同的实根，令，则，由得或所以当时，单调递减；当时，单调递增；即在上单调递减，在上单调递增，所以，又，令，因为，所以，因为对任意的，在区间内总有两个不同的零点，所以有，因此，解得.故答案为【点睛】本题主要考查函数零点问题，通常可将函数零点转化为方程的根，利用导数的方法以及集合之间的关系即可求解，属于常考题型.二、解答题：请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15.已知复数（，是虚数单位）.（1）若是纯虚数，求的值；（2）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点在第四象限，求的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）化简z12m(2m1)i，若z是纯虚数，只需12m0且2m10即可；（2）求得12m(2m1)i，得2z=36m(2m1)i，只需即可.试题解析：（1）z12m(2m1)i 因为z是纯虚数，所以12m0且2m10， 解得m （2）因为是z的共轭复数，所以12m(2m1)i 所以2z12m(2m1)i212m(2m1)i36m(2m1)i 因为复数2z在复平面上对应的点在第一象限，所以 解得m，即实数m的取值范围为(，)点睛:形如的数叫复数,其中a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部.当时复数为实数, 当时复数为虚数,当时复数为纯虚数.16.已知函数.（1）求函数在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】（1）（2）最小值为，最大值为.【解析】【分析】（1）先对函数求导，求出其在点处的切线斜率，进而可得出切线方程；（2）对函数求导，用导数方法判断函数在上的单调性，即可得出结果.【详解】解：（1）由函数，所以 ，直线斜率，切点，则直线方程为.（2）令，得，所以，列表0-0+-3极小值因此在区间上的最小值为，最大值为.【点睛】本题主要考查求曲线在某点处的切线方程以及函数在给定区间的最值问题，熟记导数的几何意义、会用导数的方法研究函数的单调性、最值等，即可求解，属于常考题型.17.从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，分别按下列要求，各有多少种不同选法？（写出必要的过程，用数字作答）（1）男、女同学各2名；（2）男、女同学分别至少有1名；（3）在（2）的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出.【答案】（1）1440 .（2）2880.（3）2376【解析】(1)先组合再排列，.(2)本小题可按有男同学的人数分成三类，男1女3，男2女2，男3女1.先组合后再排列.（3）本小题可采用排除法来做就是在(II)的条件下除去男同学甲与女同学乙同时选出的个数即可.（1）（种）4分（2）（种）8分（3）（种）（或（种）18.如图，某地有南北街道5条，东西街道5条，现在甲、乙、丙3名邮递员从该地西南角的邮局出发，送信到东北角的地，要求所走路程最短，设图中点，是交叉路口，且路段由于修路不能通行.（1）求甲从到共有多少种走法？（用数字作答）（2）求甲经过点的概率；（3）设3名邮递员恰有名邮递员经过点，求随机变量的概率分布和数学期望.【答案】（1）52种（2）（3）见解析【解析】【分析】（1）先求出从到的所有走法(不考虑路况)，再减去走路段的走法，即可得出结果；（2）先求出甲经过点的所有走法：分两步进行，第一步求出从到的所有走法（不含路段），第二步求从到的走法，结果相乘即可求出甲经过点的所有走法；再根据（1）的结果，即可得出所求概率；（3）先确定随机变量可能的取值，分别求出其对应的概率，即可求出分布列，得出数学期望.【详解】解：（1）由题意可得：.答：甲有52种不同走法.（2）因为甲从到的所有走法（不含路段）共有种；从到的走法共有种，所以甲经过点的有种不同走法，记“甲经过点”为事件，所以.答：甲经过点的概率是.（3）随机变量可能的取值为0，1，2，3.；0123从而 .答：随机变量的数学期望是.【点睛】本题主要考查计数原理、古典概型以及离散型随机变量的分布与期望，熟记概念以及概率计算公式即可，属于常考题型.19.已知数列是等差数列，且，是展开式的前三项的系数.（1）求的值；（2）求展开式的中间项；（3）当时，用数学归纳法证明：.【答案】（1）（2）（3）见证明【解析】【分析】（1）先写出展开式的通项，得到，根据数列是等差数列，列出等式，即可得出结果；（2）根据（1）的结果，确定中间项为第5项，进而可求出结果；（3）根据数学归纳法的一般步骤，直接证明即可.【详解】解：（1）展开式的通项为，依题意，由可得（舍去）或（2）所以展开式的中间项是第五项为：.（3）证：由（1），当时，结论成立；当时，；设当时，则时， ，由，可知，即.综上，当时，成立.【点睛】本题主要考查二项展开式以及数学归纳法，只需熟记二项式定理以及数学归纳法的一般步骤即可，属于常考题型.20.设函数（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在时恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数，求证：函数的极大值小于1.【答案】（1）见解析；（2）（3）见证明【解析】【分析】（1）先对函数求导，分别讨论和，即可得出结果；（2）先将函数在时恒成立，转化为在上恒成立，再设，利用导数方法求出的最大值，即可得出结果；（3）先由题意得到，对求导，利用导数的方法研究其单调性，即可求出其极大值，得出结论.【详