2019_2020学年高中数学第2章概率2.6正态分布讲义苏教版.docx

2.6正态分布学 习 目 标核 心 素 养1.了解正态密度曲线及正态分布的概念，认识正态密度曲线的特征(重点、难点)2.会根据标准正态分布求随机变量在一定范围内取值的概率，会用正态分布解决实际问题(重点)1.通过对概念的学习，培养数学抽象素养2.借助利用正态分布解决实际问题，发展数学建模、直观想象素养.1正态密度曲线(1)正态密度曲线的函数表达式是P(x)e，xR，这里有两个参数和，其中是随机变量X的均值，2是随机变量X的方差，且0，R.不同的和对应着不同的正态密度曲线(2)正态密度曲线图象具有如下特征：当x时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线；正态曲线关于直线x对称；越大，正态曲线越扁平；越小，正态曲线越尖陡；在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1.2正态分布(1)正态分布：若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b，P(aXb)恰好是正态密度曲线下方和X轴上(a，b上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X服从参数为和2的正态分布，简记为XN(，2)N(0,1)称为标准正态分布(2)正态变量在三个特殊区间内取值的概率若XN(，2)时，落在区间(，)上的概率约为68.3%，落在区间(2，2)上的概率约为95.4%，落在区间(3，3)上的概率约为99.7%.由于落在(3，3)内的概率为0.997，落在该区间之外的概率仅为0.003，属小概率事件，因而认为X极大可能取(3，3)内的值3中心极限定理在独立地大数量重复试验时，就平均而言，任何一个随机变量的分布都将趋近于正态分布，这就是中心极限定理思考1：函数，(x)e，xR中的参数和反映了随机变量的什么特征？提示参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数可以用样本的标准差去估计思考2：正态密度曲线随x的变化如何变化？提示当x时，曲线下降(减函数)，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近1正态分布密度函数为，(x)e，x(，)，则总体的均值和标准差分别是()A0和8B0和4C0和2D0和C由条件可知0，2.2把一条正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到一条新的曲线b，下列说法中不正确的是_(填序号)曲线b仍然是正态曲线；曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等；以曲线b为正态分布的总体的方差比以曲线a为正态分布的总体的方差大2；以曲线b为正态分布的总体的均值比以曲线a为正态分布的总体的均值大2.正态曲线向右平移2个单位，不发生变化，故错误3已知XN(1.4,0.052)，则X落在区间(1.35,1.45)中的概率为_0683XN(1.4,0.052)，1.4，0.05，P(1.35X1.45)P(1.40.05X0)和N(2，)(20)的密度函数图象如图所示，则有_12，12；12；12，12，12.(2)设随机变量服从正态分布N(0,1)，则下列结论正确的是_P(|a)P(a)P(a)(a0)；P(|a)2P(a)1(a0)；P(|a)12P(a)(a0)；P(|a)1P(|a)(a0)思路探究(1)根据，对密度曲线特征的影响进行比较；(2)结合N(0,1)的图象特征逐一检验(1)(2)(1)由两密度曲线的对称轴位置知：12；由曲线的陡峭程度知：10有以下命题：正态密度曲线关于直线x对称；正态密度曲线关于直线x对称；正态密度曲线与x轴一定不相交；正态密度曲线与x轴一定相交；正态密度曲线所代表的函数是偶函数；曲线对称轴由确定，曲线的形状由决定；当一定时，越大，曲线越“扁平”，越小，曲线越“尖陡”其中正确的是_(填序号)根据正态分布曲线的性质可得，由于正态密度曲线是一条关于直线x对称，在x处处于最高点，并由该点向左、右两边无限延伸，逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x轴的上方，曲线形状由决定，而且当一定时，比较若干个不同的对应的正态曲线，可以发现越大，曲线越“扁平”，越小，曲线越“尖陡”故正确利用正态分布的对称性解题【例2】设随机变量XN(2,9)，若P(Xc1)P(Xc1)(1)求c的值；(2)求P(4x8)思路探究(1)利用对称性求c的值；(2)利用正态曲线在三个特殊区间内的概率求解解(1)由XN(2,9)可知，密度函数关于直线x2对称(如图所示)，又P(Xc1)P(Xc1)，故有2(c1)(c1)2，c2.(2)P(4x8)P(223x223)0.954.正态总体在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.(2)熟记P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值(3)注意概率值的求解转化：P(Xa)1P(Xa)；P(Xa)P(Xa)；若b，则P(Xb).2若随机变量XN(0,1)，查标准正态分布表，求：(1)P(X1.26)；(2)P(X1.26)；(3)P(0.511.26)1P(X1.26)10.896 20.103 8.(3)P(0.51X1.2)P(X1.2)P(X0.51)0.884 90.695 00.189 9.(4)P(X2.1)P(X2.1)1P(X2.1)10.982 10.017 9.正态分布的实际应用探究问题1若某工厂生产的圆柱形零件的外直径N(4,0.25)，那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？提示零件外直径的均值为4，标准差0.5.2某工厂生产的圆柱形零件的外直径N(4,0.25)，若零件的外直径在(3.5,4.5内的为一等品试问1 000件这种的零件中约有多少件一等品？提示P(3.54.5)P()0.682 6，所以1 000件产品中大约有1 0000.682 6683(件)一等品3某厂生产的圆柱形零件的外直径N(4，0.25)质检人员从该厂生产的1 000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？提示由于圆柱形零件的外直径N(4,0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25)在区间(430.5,430.5)，即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7(2.5,5.5)这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的【例3】设在一次数学考试中，某班学生的分数XN(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数思路探究将P(X90)转化为P(X)，然后利用对称性及概率和为1，得到2P(X)0.682 61，进而求出P(X90)的值，同理可解得P(X130)的值解110，20，P(X90)P(X11020)P(X)，P(X)P(X)P(X)2P(X)0.682 61，P(X)0.158 7，P(X90)1P(X)10.158 70.841 3.540.841 345(人)，即及格人数约为45人P(X130)P(X11020)P(X)，P(X)P(X)P(X)0.682 62P(X)1，P(X)0.158 7，即P(X130)0.158 7.540.158 79(人)，即130分以上的人数约为9人1本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3区间，由特殊区间的概率值求出2解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(，(2，2，(3，3三个区间内的概率在此过程中用到归纳思想和数形结合思想3某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X(单位：分)近似服从正态分布XN(50,102)，求他在(30,60分内赶到火车站的概率解XN(50,102)，50，10.P(30X60)P(30X50)P(50X60)P(2X2)P(X)0.954 40.682 60.818 5.即他在(30,60分内赶到火车站的概率是0.818 5.1本节课的重点是正态曲线及正态分布下的概率计算问题，难点是正态分布的应用2要掌握正态分布的以下三个问题(1)利用正态曲线的特征研究和.(2)正态分布下的概率求值问题(3)正态分布的应用3利用正态曲线的对称性解题，应注意以下知识的应用：(1)曲线与x轴之间的面积为1；(2)正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对称的区间上的概率相等；(3)P(xa)1P(Xa)；P(Xa)P(Xa)；若b，则P(Xb).1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)正态变量函数表达式中参数，的意义分别是样本的均值与方差()(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量()(3)正态曲线是一条钟形曲线()(4)离散型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线描述，连续型随机变量的概率分布用分布列描述()解析(1)因为正态分布变量函数表述式中参数是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计(2)因为离散型随机变量最多取有限个不同值而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值(3)由正态分布曲线的形状可知该说法正确(4)因为离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，连续型随机变量的概率分布规律用分布密度曲线(函数)描述答案(1)(2)(3)(4)2设随机变量X服从正态分布，且相应的函数为(x)e，则()A2，3