控制工程-矩阵论南京邮电大学研究生课程论文

编号:66南京邮电大学研究生课程论文矩 阵 论 学生姓名：*学 号：121605*专业班级： 控制工程 手机号码：18805*矩阵函数在线性定常系统状态转移矩阵求解中的应用摘要：控制系统的运动是系统性能定量分析的重要内容。“运动”是物理学上的一个概念，它是通过求系统方程的解、来分析研究的。由于状态方程是矩阵微分（差分）方程，输出方程式为矩阵代数方程，因此求系统方程的解主要是求状态方程的解。而求状态方程的解的关键是求状态转移矩阵。本文主要介绍了矩阵对角化标准型，约当标准型，凯莱-哈密顿定理及矩阵函数知识在线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵求解中的应用。关键词：状态转移矩阵，约当标准型，凯莱-哈密顿定理，矩阵函数目录一、 矩阵论的发展历史.1二、 矩阵函数的定义及其计算.12.1矩阵函数的定义.12.2矩阵函数的计算.22.2.1利用Hamilton-Clayey定理.22.2.2利用待定系数法.32.2.3利用相似对角化法.3三、 矩阵函数的应用.43.1问题的提出.43.2问题的求解.53.2.1 矩阵指数的基本性质.53.2.2状态转移矩阵的几种计算方法.6四、 应用小结.9五、 总结与感悟.9六、 参考文献.10一、矩阵论的发展历史矩阵作为一种重要的代数工具，其出现的历史可以追溯至公元前，然而矩阵真正成为一个独立的概念并被加以研究的历史开始于19世纪50年代。 在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。1850年，英国数学家西尔维斯特(SylveSter，1814-1897)在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程组时，由于无法使用行列式，所以引入了矩阵的概念。1855年，英国数学家凯莱(Caylag，1821-1895)在研究线性变换下的不变量时，为了简洁、方便，引入了矩阵的概念。1858年，凯莱在矩阵论的研究报告中，定义了两个矩阵相等、相加以及数与矩阵的数乘等运算和算律，同时，定义了零矩阵、单位阵等特殊矩阵，更重要的是在该文中他给出了矩阵相乘、矩阵可逆等概念，以及利用伴随阵求逆阵的方法，证明了有关的算律，如矩阵乘法有结合律，没有交换律，两个非零阵乘积可以为零矩阵等结论，定义了转置阵、对称阵、反对称阵等概念。 1878年，德国数学家弗罗伯纽斯(Frobeniws，1849一1917)在他的论文中引入了矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子等概念，证明了两个矩阵等价当且仅当它们有相同的不变因子和初等因子，同时给出了正交矩阵的定义,1879年，他又在自己的论文中引进矩阵秩的概念。 矩阵的理论发展非常迅速，到19世纪末，矩阵理论体系已基本形成。到20世纪，矩阵理论得到了进一步的发展。目前，它己经发展成为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科有大量应用的数学分支。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。二、矩阵函数的定义及其计算2.1矩阵函数的定义设幂级数的收敛半径是R，且当时，幂级数收敛于，即如果，满足,则称收敛矩阵幂级数的和为矩阵函数，记为，即根据这个定义，可以得到在形式上和数学分析中一些函数类似的矩阵函数。如，分别称为矩阵指数函数、矩阵正弦函数、矩阵余弦函数，它们均绝对收敛。2.2矩阵函数的计算 以上利用收敛矩阵幂级数的和定义了矩阵函数，在具体应用中，要求将所代表的具体矩阵求出来，即求出矩阵函数的值。下面将介绍几种求矩阵函数的方法：2.2.1利用Hamilton-Cayley定理利用Hamilton-Cayley定理找出矩阵方幂之间的关系，然后化简矩阵幂级数，求出矩阵函数的值。例1：已知，求。解：A的多项式，由Hamilton-Cayley定理知：，即 ，即 ，故 =+ =+ =2.2.2利用待定系数法利用矩阵的Jordan标准型求解矩阵函数的方法比较复杂，他需要求Jordan标准型J和交换矩阵P。根据最小多项式求矩阵函数的一般方法：（1） 求出最小多项式，或者特征多项式，；（2） 形式上写出待定多项式 ；（3） 求解关于c0，c1，cm-1的线性方程组 ，这里为的k阶导数在点的值。（4） 求出，即可得。从推导的过程看，似乎不仅最小多项式可用于矩阵函数的计算，一般的化零多项式也可以，其中以特征多项式最为方便。2.2.3利用相似对角化计算设是可对角化的矩阵，则存在n阶可逆矩阵P，使得则有 = =从而 三、矩阵函数的应用3.1问题的提出线性系统有线性定常系统和线性时变系统，最为基本的是线性定常系统。而线性定常系统根据有无初始输入，分为线性定常齐次方程和线性定常非齐次方程。本文只给出线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵的求解。线性定常系统齐次方程的解亦即系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。线性定常系统齐次状态方程为 其中，是维状态向量；为系数矩阵。设初始时刻，系统的初始状态。仿照标量微分方程求解的方法求方程的解。设方程的解为的向量幂级数形式，即= 式中，为维向量。式代入方程得 既然式是方程的解，则式对任意的都成立。因此，式的等式两边的同次幂项的系数应相等，有 .当时，由式可得到 将式和式代入式，得到齐次状态方程的解 上边右边括号内的级数是矩阵指数函数，记成，即 所以式可写成 .如果初始时刻，初始状态为，则齐次状态方程的解为 由上式可知，系统在状态空间的任一时刻的状态，可视为系统的初始状态通过矩阵指数函数的转移而得到的。因此，矩阵指数函数又称为状态转移矩阵。从上面的分析看，求状态方程的解，关键是求矩阵指数。3.2.问题求解3.2.1 矩阵指数的基本性质 在介绍求矩阵指数的方法之前，先介绍的一些主要性质和几个特殊的指数函数：（1） ，该无穷级数在有限时间时绝对收敛的（2）（3）（4）（5） 若，则； 若，则（6） 若为非奇异矩阵，通过非奇异变换成对角阵，即,则有 (7) 若为对角阵，则3.2.2状态转移矩阵的几种计算方法1. 根据的定义直接计算2. 拉普拉斯变换法对于线性定常系统的齐次状态方程两边求拉普拉斯变换，得，即，有因此，若初始时刻，初始状态为，则对上式进行拉普拉斯变换，得 3. 非奇异线性变换（1） 矩阵经线性变换化为对角线矩阵求 当矩阵的个特征值互异或者虽有重根但是仍有个独立的特征向量时，经过线性变换，将化为对角形矩阵，即 此时，系统的状态转移矩阵 由于 所以矩阵的状态转移矩阵（2） 矩阵经线性变换化为约当形矩阵求 当矩阵的个特征值均相同，且为时，经过线性变换，可化为约当形矩阵则 所以，系统的状态转移矩阵为4. 应用凯莱-哈密顿定理首先介绍一下凯莱-哈密顿定理：矩阵满足自身的特征方程，即矩阵的特征多项式是的零化多项式。即根据凯莱-哈密顿定理，有于是上式表明，是，的线性组合。显然有则依次类推，可得，均是，的线性组合。那么，就化成一个的最高幂次为的项幂级数的形式，即(1) 的特征值互异应用凯莱-哈密顿定理，和均是特征多项式的零根。因此，那么，于是，(2) 的特征值均相同设的特征值为，待定系数的计算公式如下(3) 的个特征值有重特征值和互异特征值当的个特征值有重特征值和互异特征值时，待定系数可以根据综合得出，然后求出状态转移矩阵。四.应用小结本文在给出线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵的求解时，用到的矩阵论知识主要有矩阵的特征多项式，特征值，特征向量，矩阵逆，矩阵乘法，幂级数等一些基础知识。其次，在给出求解状态转移矩阵的四种方法中，其中利用线性变换将矩阵化成对角线形，约当形；应用凯莱-哈密顿定理，再根据矩阵指数函数的性质对矩阵函数进行求解，从而计算出状态转移矩阵。通过这些矩阵论知识的应用，使得复杂的线性定常系统状态转移矩阵的求解变得方便了许多，对解决本专业问题有很大的意义。五、总结与感悟矩阵论还有很多的应用，比如可以用来求矩阵的秩，对于阶数偏大的矩阵，即使用初等变换的方法，也是计算量很大的，而把矩阵分解后可以使计算简单。矩阵论的分解又是一个重要部分。再如，在线性代数中求矩阵的n次幂是很常见的，若是一板一眼的进行矩阵相乘，当n较大时计算量可想而知，况且，当n逐渐增大或是非纯数据间的运算的情况下，根本就没有计算的可能，此时，矩阵分解方法的应用可以令问题变得简单而易懂。判断矩阵的正定性需要不断的计算行列式，计算量大而复杂，矩阵分解可以使之更简单直接。 矩阵的分解作用很广泛，在不同的领域都发挥着其独特的作用，只要应用得好，肯定可以使原有的问题简单而易于理解。我们知道，矩阵理论就其理论来说，对于除了数学本专业的人而言，意义是不大的。纯理论的学习是枯燥而乏味的，只有和是具体问题的结合才会显出它的强大生命力。单看一个定理还是推论，我们会觉得它是简单而几乎没有意义的，甚至不知道怎么去理解它以及存在的意义，当运用到实际的领域，一方面我们可以更好的了解相关的知识，重要的是解决了具体的问题。这应该就是学习的乐趣所在。在测量平差的秩亏网平差中，解求未知数的估计值时候和奇异值分解结合起来，不仅可以使得运算更加简单化，并且得到的结果更利于理解，算法也更容易应用于编程。 这门课程给我们的是一个工具的作用，在学习的过程中要结合实际问题尤其是自己的专业方向来想问题，把矩阵的思想和算法用到对专业问题的解决中，才是学习的目的。六、参考文献【1】王孝武主编.现代控制理论基础M.2版.北京：机械工业出版社,2006.【2】郑大钟线性系统理论M.2版.北京：清华大学出版社，2002【3】刘豹，唐丙生.现代控制理论M.2版.北京：机械工业出版社，2005【4】施颂椒，陈学中，杜秀华.现代控制理论基础M.北京：高等教育出版社， 2007【5】王枞.控制系统理论及应用M.北京：北京邮电大学出版社，2005.【6】王显正，莫锦秋，王旭永.控制理论基础M.2版.北京：科学出版社，2007.【