2016年江苏省连云港市高考数学模拟试卷（3月）含答案解析

第 1 页（共 21 页） 2016 年江苏省连云港市高考数学模拟试卷（ 3 月份） 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 . 1设集合 A=x| 2 x 0， B=x| 1 x 1，则 A B= 2若复数 z=（ 1+ 2 i）（ i 是虚数单位）是纯虚数，则实数 m 的值为 3将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为 1 的概率是 4如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图若一个月以 30 天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于 150 个的天数为 5执行如图所示的流程图，则输出的 k 的值为 6设公差不为 0 的等差数列 前 n 项和为 S3= 等比数列，则 于 7如图，正三棱柱 ， ， 若 E， F 分别是棱 的点，则三棱锥 A 体积是 第 2 页（共 21 页） 8已知函数 f（ x） =2x+）（ 0， | ）的最小正周期为 ，且它的图象过点（ ， ），则 的值为 9已知 f（ x） = ，不等式 f（ x） 1 的解集是 10在平面直角坐标系 ，抛物线 p 0）的焦点为 F，双曲线 =1（ a 0， b 0）的两条渐近线分别与抛物线交于 A、 B 两点（ A， B 异于坐标原点）若直线 ，则双曲线的渐近线方程是 11在 ， A=120， 若点 D 在边 ，且 =2 ， ， 则 长为 12已知圆 O： x2+，圆 M：（ x a） 2+（ y a+4） 2=1若圆 M 上存在点 P，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A， B，使得 0，则实数 a 的取值范围为 13已知函数 f（ x） =x b（ a， b 均为正数），不等式 f（ x） 0 的解集记为 P，集合Q=x| 2 t x 2+t，若对于任意正数 t， PQ ，则 的最大值是 14若存在两个正实数 x、 y，使得等式 x+a（ y 2 =0 成立，其中 e 为自然对数的底数，则实数 a 的取值范围为 二、解答题：本大题共 6 小题，满分 90 分 明过程或演算步骤 . 15已知 为锐角， + ） = （ 1）求 + ）的值； （ 2）求 2+ ）的值 16如图，在三棱锥 P ，平面 平面 M， N 分别为 （ 1）求证： 平面 （ 2）若 C，求证： 平面 第 3 页（共 21 页） 17如图，某城市有一块半径为 1（单位：百米）的圆形景观，圆心为 C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路 规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆 C 相切的小道 ： A， B 两点应选在何处可使得小道 18在平面直角坐标系 ，点 C 在椭圆 M： + =1（ a b 0）上，若点 A（ a，0）， B（ 0， ），且 = （ 1）求椭圆 M 的离心率； （ 2）设椭圆 M 的焦距为 4， P， Q 是椭圆 M 上不同的两点线段 垂直平分线为直线l，且直线 l 不与 y 轴重合 若点 P（ 3， 0），直线 l 过点（ 0， ），求直线 l 的方程； 若直线 l 过点（ 0， 1），且与 x 轴的交点为 D求 D 点横坐标的取值范围 19对于函数 f（ x），在给定区间 a， b内任取 n+1（ n 2， n N*）个数 ，得 a= 1 xn=b，记 S= |f（ ） f（ |若存在与 n 及 i n， i N）均无关的正数 A，使得 S A 恒成立，则称 f（ x）在区间 a， b上具有性质 V （ 1）若函数 f（ x） = 2x+1，给定区间为 1， 1，求 S 的值； （ 2）若函数 f（ x） = ，给定区间为 0， 2，求 S 的最大值； （ 3）对于给定的实数 k，求证：函数 f（ x） =区间 1， e上具有性质 V 第 4 页（共 21 页） 20已知数列 前 n 项和为 对任意正整数 n 都有 1） p 为常数，p 0） （ 1）求 p 的值； （ 2）求数列 通项公式； （ 3）设集合 1， 且 数列 前 n 项和分别为 n，若 证：对任意 n N， 第 5 页（共 21 页） 2016 年江苏省连云港市高考数学模拟试卷（ 3 月份） 参考答案与试题 解析 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 . 1设集合 A=x| 2 x 0， B=x| 1 x 1，则 A B= x| 2 x 1 【考点】 并集及其运算 【分析】 由 A 与 B，求出两集合的并集即可 【解答】 解： 集合 A=x| 2 x 0， B=x| 1 x 1， A B=x| 2 x 1 故答案为： x| 2 x 1 2若复数 z=（ 1+ 2 i）（ i 是虚数单位）是纯虚数，则实数 m 的值为 2 【考点】 复数的基本概念 【分析】 根据纯虚数的概念 ，确定复数的实部和虚部满足的条件即可 【解答】 解： z=（ 1+ 2 i） =2+m+（ m 1） i， 复数 z=（ 1+ 2 i）（ i 是虚数单位）是纯虚数， 2+m=0， 即 m= 2， 故答案为： 2 3将一骰子连续抛掷两次，至少有一次向上的点数为 1 的概率是 【考点】 古典概型及其概率计算公式 【分析】 本题是一个等可能事件的概率，将一颗骰子掷两次，共有 6 6 种结果，满足条件的事件是至少出现一次 1 点向上的结果有 5+5+1 种结果，得到 概率 【解答】 解：由题意知本题是一个等可能事件的概率， 将一颗骰子掷两次，共有 6 6=36 种结果， 满足条件的事件是至少出现一次 1 点向上的结果有 5+5+1=11 种结果， 至少出现一次点数 1 的概率是 ， 故答案为： 4如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图若一个月以 30 天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于 150 个的天数为 9 第 6 页（共 21 页） 【考点】 用样本的频率分布估计总体分布 【分析】 根据频率分布直方图，求出对应的频率与频数即可 【解答】 解：根据频率分布直方图，得： 日销售量不少于 150 个的频率为（ 50= 则估计这家面包店一个月内日销售量不少于 150 个的天数为： 30 故答案为： 9 5执行如图所示的流程图，则输出的 k 的值为 5 【考点】 循环结构 【分析】 模拟执行程序，依 次写出每次循环得到的 S， k 的值，当 S=27 时满足条件 S 16，退出循环，输出 k 的值为 5 【解答】 解：由题意，执行程序框图，可得 k=1， S=1， S=3， k=2 不满足条件 S 16， S=8， k=3 不满足条件 S 16， S=16， k=4 不满足条件 S 16， S=27， k=5 满足条件 S 16，退出循环，输出 k 的值为 5 故答案为： 5 6设公差不为 0 的等差数列 前 n 项和为 S3= 等比数列，则 于 19 第 7 页（共 21 页） 【考点】 等差数列与等比数列的综合 【分析】 设等 差数列 公差为 d（ d 0），由等比数列的中项的性质，运用等差数列的求和公式，可得 d=2由 S3=用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求值 【解答】 解：设等差数列 公差为 d（ d 0）， 由 等比数列，可得： 1有（ 2a1+d） 2=4d）， 可得 d=2 由 S3=得 3d=（ a1+d） 2， 即有 9 解得 ， d=2， 即有 d=1+9 2=19 故 答案为： 19 7如图，正三棱柱 ， ， 若 E， F 分别是棱 的点，则三棱锥 A 体积是 8 【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 用三棱柱的体积减去三棱锥 三棱锥 A 体积 【解答】 解：取 点 D，连结 平面 平面 面 面 C， 面 平面 等边三角形， ， 平面 E， F 是 中点， = = =8 ， V =V 2 2 =8 故答案为： 8 第 8 页（共 21 页） 8已知函数 f（ x） =2x+）（ 0， | ）的最小正周期为 ，且它的图象过点（ ， ），则 的值为 【考点】 由 y=x+）的部分图象确定其解析式 【分析】 根据最小正周期为 ，利用周期公式即可求出 的值，利用图象经过点（ ， ），结合其范围即 可求出 的值 【解答】 解：依题意可得： =，解得： =2， 又图象过点（ ， ）， 故 2 （ ） += ，解得： ） = ， 因为 | ， 所以 = 故答案为： 9已知 f（ x） = ，不等式 f（ x） 1 的解集是 x| 4 x 2 【考点】 一元二次不等式的解法 【分析】 由不等式 f（ x） 1 可得 ，或 分别求出 、 的解集，再取并集，即得所求 第 9 页（共 21 页） 【解答】 解： 已知 f（ x） = ，故由不等式 f（ x） 1 可得 ，或 解 可得 4 x 0，解 可得 0 x 2 综上可得，不等式的解集为 x| 4 x 2， 故答案为 x| 4 x 2 10在平面直角坐标系 ，抛 物线 p 0）的焦点为 F，双曲线 =1（ a 0， b 0）的两条渐近线分别与抛物线交于 A、 B 两点（ A， B 异于坐标原点）若直线 ，则双曲线的渐近线方程是 y= 2x 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 求得抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程，代入抛物线的方程可得 A， B，再由 A，B， F 共线，可得 = ，即有 b=2a，进而得到双曲线的渐近线方程 【解答】 解：抛物线 p 0）的焦点为 F（ ， 0）， 双曲线 =1（ a 0， b 0）的渐近线方程为 y= x， 代入抛物线的方程，可得 A（ ， ）， B（ ， ）， 由 A， B， F 三点共线，可得： = ，即有 b=2a， 则双曲线的渐近线方程为 y= 2x 故答案为： y= 2x 11在 ， A=120， 若点 D 在边 ，且 =2 ， ，则 长为 3 【考点】 解三角形；向量在几何中的应用 【分析】 画出图形，结合图形，利用 =2 ，得出 =2（ ），再利用平面向量的数量积求出 | |即可 【解答】 解：如图所示： 第 10 页（共 21 页） ， 20， ，点 D 在边 ， =2 ， = ， = ， =2（ ）， 3 =2 + ， 两边平方得 9 2=4 2+4 + 2， 又 ， 9 （ ） 2=4 2+4 | | 4 42， 化简得 | |2 2| | 3=0， 解得 | |=3 或 | |= 1（不合题意舍去）， 故答案为： 3 12已知圆 O： x2+，圆 M：（ x a） 2+（ y a+4） 2=1若圆 M 上存在点 P，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A， B，使得 0，则实数 a 的取值范围为 【考点】 圆的切线方程 【分析】 由题意画出图形，利用两点间的距离关系求出 距离，再由题意得到关于 a 的不等式求得答案 【解答】 解：如图， 圆 O 的半径为 1，圆 M 上存在点 P，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A， B，使得 0， 则 0，在 ， ， 又圆 M 的半径等于 1，圆心坐标 M（ a， a 4）， |PO| 1， |PO|1， ， 由 ，解得： 2 故答案为： 第 11 页（共 21 页） 13已知函数 f（ x） =x b（ a， b 均为正数），不等式 f（ x） 0 的解集记为 P，集合Q=x| 2 t x 2+t，若对于任意正数 t， PQ ，则 的最大值是 【考点】 空集的定义、性质及运算；交集及其运算 【分析】 根据不等式解集对应的关系，得到 2 P，然后利用基本不等式进行求解即可 【解答】 解： 不等式 f（ x） 0 的解集记为 P，集合 Q=x| 2 t x 2+t，对于任意正数 t， PQ ， 2 P，即 f（ 2） 0， 则 4a 2 b 0，即 1 2a ； 又由题意知， 的最大值必是正数， 则 =（ ） 1 （ ） （ 2a ） =2 + 2 = ， 即 的最大值是 故答案为： 14若存在两个正实数 x、 y，使得等式 x+a（ y 2 =0 成立，其中 e 为自然对数 的底数，则实数 a 的取值范围为 a 0 或 a 【考点】 函数恒成立问题 【分析】 根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可 【解答】 解：由 x+a（ y 2 =0 得 x+a（ y 20， 即 1+a（ 2e） 0， 即设 t= ，则 t 0， 则条件等价为 1+a（ t 2e） ， 第 12 页（共 21 页） 即（ t 2e） 有解， 设 g（ t） =（ t 2e） g（ t） = 为增函数， g（ e） = =1+1 2=0， 当 t e 时， g（ t） 0， 当 0 t e 时， g（ t） 0， 即当 t=e 时，函数 g（ t）取得极小值，为 g（ e） =（ e 2e） e， 即 g（ t） g（ e） = e， 若（ t 2e） 有解， 则 e，即 e， 则 a 0 或 a ， 故答案为： a 0 或 a 二、解答题：本大题共 6 小题，满分 90 分 明过程或演算步骤 . 15已知 为锐角， + ） = （ 1）求 + ）的值； （ 2）求 2+ ）的值 【考点】 两角和与差的正切函数；二倍角的正弦 【分析】 （ 1）利用同角的三角函数的关系式进行求解 （ 2）利用两角和差的正弦公式进行转化求解 【解答】 解（ 1） 为锐角， 0 x ， + ， + ） = + ） = = 则 + ） = =2； 第 13 页（共 21 页） （ 2） + ） =2+ ） 1=2 （ ） 2 1= ， 2+ ） = ， ， + ， + ） = + ， 即 0 ，则 0 2 ，则 ， 则 2+ ） = + = 16如图，在三棱锥 P ，平面 平面 M， N 分别为 （ 1）求证： 平面 （ 2）若 C，求证： 平面 【考点】 直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定 【分析】 （ 1）根据中位线定理可得 而 平面 （ 2）由三线合一可得 有面面垂直得出 平面 得 而 平面 【解答】 证明：（ 1） M， N 分别 为 中点， 平面 面 平面 （ 2） C， M 是 点， 又 平面 平面 面 面 B， 面 平面 面 又 面 平面 M=M， 平面 第 14 页（共 21 页） 17如图，某城市有一块半径为 1（单位：百米）的圆形景观，圆心为 C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的 道路最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆 C 相切的小道 ： A， B 两点应选在何处可使得小道 【考点】 基本不等式在最值问题中的应用；在实际问题中建立三角函数模型 【分析】 分别由两条道路所在直线建立直角坐标系 A（ a， 0）， B（ 0， b）（ 0 a 1，0 b 1），求得直线 方程和圆的方程，运用直线和圆 相切的条件： d=r，求得 a， b 的关系，再由两点的距离公式和基本不等式，解不等式可得 最小值，及此时 A， B 的位置 【解答】 解：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系 设 A（ a， 0）， B（ 0， b）（ 0 a 1， 0 b 1）， 则直线 程为 + =1，即 bx+ 因为 圆 C：（ x 1） 2+（ y 1） 2=1 相切，所以 =1， 化简得 2（ a+b） +2=0，即 （ a+b） 2， 因此 = = = ， 因为 0 a 1， 0 b 1，所以 0 a+b 2， 于是 （ a+b） 又 （ a+b） 2 （ ） 2， 解得 0 a+b 4 2 ，或 a+b 4+2 ， 因为 0 a+b 2，所以 0 a+b 4 2 ， 所以 （ a+b） 2（ 4 2 ） =2 2， 当且仅当 a=b=2 时取等号， 所以 小值为 2 2，此时 a=b=2 答：当 A， B 两点离道路的交点都为 2 （百米）时，小道 短 第 15 页（共 21 页） 18在平面直角坐标系 ，点 C 在椭圆 M： + =1（ a b 0）上，若点 A（ a，0）， B（ 0， ），且 = （ 1）求椭圆 M 的离心率； （ 2）设椭圆 M 的焦距为 4， P， Q 是椭圆 M 上不同的两点线段 垂直平分线为直线l，且直线 l 不与 y 轴重合 若点 P（ 3， 0），直线 l 过点（ 0， ），求直线 l 的方程； 若直线 l 过 点（ 0， 1），且与 x 轴的交点为 D求 D 点横坐标的取值范围 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）设 C（ m， n），由向量共线的坐标表示，可得 C 的坐标，代入椭圆方程，可得a， b 的关系，再由离心率公式计算即可得到所求值； （ 2） 由题意可得 c=2， a=3， b= = ，可得椭圆方程，设直线 方程为 y=k（ x+3），代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件：斜率之积为 1，解方程 可得 k，进而得到所求直线方程； 设直线 方程为 y=kx+m，代入椭圆方程可得，运用韦达定理和中点坐标公式，再由两直线垂直的条件，求得 4m=5+9由中点在椭圆内，可得 k 的范围，再由直线 l 的方程可得 D 的横坐标的范围 【解答】 解：（ 1）设 C（ m， n），由 = ， 可得（ a， a） = （ m， n ）， 可得 m= a， n= a，即 C（ a， a）， 即有 + =1，即为 c2= 则 e= = ； 第 16 页（共 21 页） （ 2） 由题意可得 c=2， a=3， b= = ， 即有椭圆方程为 + =1， 设直线 方程为 y=k（ x+3）， 代入椭圆方程可得（ 5+94145=0， x1+ ， 中点 H 为（ ， ）， 由题意可得直线 l 的斜率为 = ， 解得 k=1 或 ， 即有直线 l 的方程为 y= x 或 y= x ； 设直线 方程为 y=kx+m， 代入椭圆方程可得，（ 5+9845=0， 可得 x1+ ， 即有 中点为（ ， ）， 由题意可得直线 l 的斜率为 = ， 化简可得 4m=5+9点坐标即为（ ， ）， 由中点在椭圆内，可得 + 1， 解得 k ， 由直线 l 的方程为 y= x 1， 可得 D 的横坐标为 k，可得范围是（ ， 0） （ 0， ） 19对于函数 f（ x），在给定区间 a， b内任取 n+1（ n 2， n N*）个 数 ，得 第 17 页（共 21 页） a= 1 xn=b，记 S= |f（ ） f（ |若存在与 n 及 i n， i N）均无关的正数 A，使得 S A 恒成立，则称 f（ x）在区间 a， b上具有性质 V （ 1）若函数 f（ x） = 2x+1，给定区间为 1， 1，求 S 的值； （ 2）若函数 f（ x） = ，给定区间为 0， 2，求 S 的最大值； （ 3）对于给定的实数 k，求证：函数 f（ x） =区间 1， e上具有性质 V 【考点】 利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （ 1）推导出 f（ ） f（ =f（ f（ ），从而 S= |f（ ） f（ =f（ f（ =f（ 1） f（ 1），由此能求出 S 的值 （ 2）由 =0，得 x=1，由导数性质得 f（ x）在 x=1 时，取极大 值 设 ， m N， m n 1，由此能求出 S= 的最大值 （ 3） ， x 1， e，根据当 k k 1 和 1 k 种情况进行分类讨论，利用导数性质能证明对于给定的实数 k，函数 f（ x） =在 1， e上具有性质 V 【解答】 解：（ 1） 函数 f（ x） = 2x+1 在 区间 1， 1为减函数， f（ ） f（ f（ ） f（ =f（ f（ ）， S= |f（ ） f（ |=f（ f（ +f（ f（ +f（ 1） f（ =f（ f（ =f（ 1） f（ 1） =4 （ 2）由 =0，得 x=1， 当 x 1 时， f（ x） 0， f（ x）在（ ， 1）为增函数， 当 x 1 时， f（ x） 0， f（ x）在（ 1， +）为减函数， f（ x）在 x=1 时，取极大值 设 1 ， m N， m n 1， 则 S= 第 18 页（共 21 页） =|f（ f（ 0） |+|f（ f（ 1） |+|f（ ） f（ |+|f（ ） f（ ）|+|f（ 2） f（ 1） | =f（ f（ 0） +f（ f（ 1） +|f（ ） f（ |+|f（ ） f（ ）|+f（ 1） f（ 2） =f（ f（ 0） +|f（ ） f（ |+f（ ） f（ 2） ， |f（ ） f（ | f（ 1） f（ +f（ 1） f（ ） ，当 时取等号， S f（ f（ 0） +f（ 1） f（ ） +f（ 1） f（ ） +f（ ） f（ 2） =2f（ 1） f（ 0） f（ 2） = S 的最大值为 证明：（ 3） ， x 1， e， 当 k ， k 0 恒成立，即 f（ x） 0 恒成立， f（ x）在 1， e上为增函数， S= =f（ f（ +f（ f（ +f（ f（ 1） =f（ f（ =f（ e） f（ 1） =k+ 存在正数 A=k+ ，都有 S A， f（ x）在 1， e上具有性质 V 当 k 1 时， k 0 恒成立，即 f（ x） 0 恒成立， f（ x）在 1， e上为减函数， S= |f（ ） f（ |=f（ f（ +f（ f（ +f（ 1） f（ =f（ f（ =f（ 1） f（ e） = 存在正数 A= ，都有 S A， f（ x）在 1， e上具有性质 V 当 1 k ，由 f（ x） =0，得 x= ，由 f（ x） 0，得 1 ； 由 f（ x） 0，得 x e， f（ x）在 1， ）上为增函数，在 ， e上为减函数， 设 ， m N， m n 1， 则 S= |f（ ） f（ |