2.3.1离散型随机变量的数学期望.docx

2.3.1 离散型随机变量的数学期望一、单选题1马老师从课本上抄录一个随机变量的概率分布列如下表,请小牛同学计算的均值,尽管“!”处无法完全看清,且两个“?”处字迹模糊,但能肯定这两个“?”处的数值相同.据此,小牛给出了正确答案E等于()x123P(=x)?!?A1 B2C4 D6【答案】B【解析】【分析】由题意，设“?”对应的概率为a，则“!”处对应的概率为1-2a，根据数学期望的公式，即可求解.【详解】由题意，设“?”对应的概率为a，则“!”处对应的概率为1-2a，则E=1a+2(1-2a)+3a=2，故选B.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列，及其概率的计算问题，其中解答中熟记分布列的性质和数学期望的计算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2由以往的统计资料表明,甲、乙两运动员在比赛中得分情况为: 现有一场比赛,派哪位运动员参加较好?()A甲 B乙 C甲、乙均可 D无法确定【答案】A【解析】【分析】分别计算甲乙两名运动员得分的期望和方差，比较大小即可得出结果.【详解】由分布列可得E1=00.2+10.5+20.3=1.1,E2=00.3+10.3+20.4=1.1,则E1=E2;D1=(0-1.1)20.2+(1-1.1)20.5+(2-1.1)20.3=0.4,D2=(0-1.1)20.3+(1-1.1)20.3+(2-1.1)20.4=0.69,则D1D2,即甲比乙得分稳定，选甲参加较好.【点睛】本题主要考查样本的均值与方差，在选择运动员的问题上，期望一致的情况下，优选方差较小的，即发挥稳定的选手，属于基础题型.3设随机变量XB(n,p),且EX=1.6,DX=1.28,则()An=4,p=0.4 Bn=8,p=0.2Cn=5,p=0.32 Dn=7,p=0.45【答案】B【解析】【分析】由随机变量服从二项分布可得方程组EX=np=1.6DX=np1-p=1.28,解方程组即可得出结果.【详解】因为随机变量XB(n,p)，EX=1.6,DX=1.28，所以有EX=np=1.6DX=np1-p=1.28，解之得n=8,p=0.2.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望与方差，因为本题中随机变量服从二项分布，因此由公式即可得出结果，属于基础题型.4随机变量的取值为0,1,2.若P(=0)=15,E=1,则D等于()A15 B25 C35 D45【答案】B【解析】【分析】结合期望的公式可先求出P(=1)，P=2，再由方差公式即可求出结果.【详解】设P(=1)=p, 则由题意可得P=2=1-P=0-P=1=45-p，又E=1，所以E=015+1p+245-p=1,所以p=35，即P=1=35，所以P=2=15，所以D=0-1215+1-1235+(2-1)215=25.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望与方差，属于基础题型.5设一随机试验的结果只有A和A,且P(A)=m,令随机变量=1,A发生,0,A不发生,则的方差D等于()Am B2m(1-m)Cm(m-1) Dm(1-m)【答案】D【解析】【分析】由题意可知服从两点分布，由两点分布的方差公式即可得出结果.【详解】由题意可得，服从两点分布，因此D=P(1-P)=m(1-m).【点睛】本题主要考查随机变量的方差，属于基础题型.二、填空题6在一个均匀小正方体的六个面中,三个面上标以数字0,两个面上标以数字1,一个面上标以数字2,将这个小正方体抛掷2次,则向上一面上的数字之积的均值是_.【答案】49【解析】【分析】结合题意，分别计算出x=0,1,2,4对应的概率，列表，计算期望，即可。【详解】P(x=0)=33+232+13236=2736，P(x=1)=2236=19P(x=2)=2236=19，P(x=4)=136，列表x0124P27361919136所以EX=02736+119+219+4136=49【点睛】本道题考查了数学期望计算方法，列表，计算概率，计算期望，属于中等难度的题目。7某人共有五发子弹，他射击一次命中目标的概率是12,击中目标后射击停止，射击次数X为随机变量，则EX=_.【答案】3116【解析】【分析】由题意X=1,2,3,4,5，利用独立事件同时发生的概率公式求出每个随机变量对应的概率，可得分布列，根据期望公式可计算期望.【详解】Px=1=12,Px=2=122=14，P(x=3)=(12)3=18,P(x=4)=(12)4=116，Px=5=1241=116，列表X12345P121418116116所以EX=112+214+318+4116+5116=3116【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望8甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球,2个白球,乙袋装有1个红球,5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个小球,记抽取到红球的个数为X,则随机变量X的均值EX=_.【答案】56【解析】【分析】结合题意，分别计算x=0,1,2对应的概率，计算期望，即可。【详解】P(x=0)=C21C51C61C61=518，P(x=1)=C41C51+C21C61C61=1118，P(x=2)=C41C11C61C61=19列表：X012P518111819所以EX=0518+11118+219=56【点睛】本道题考查了数学期望计算方法，结合题意，即可，属于中等难度的题。9设p为非负实数,随机变量X的分布列为则EX的最大值为_,DX的最大值为_.【答案】32 1 【解析】【分析】根据所给的分布列的性质，写出关于概率p的不等式组，解出p的范围，再表示出期望和方差，根据p的范围，即可求出结果.【详解】由题意012-p1,0pP(2).从做对题数的均值考察,两人水平相当;从至少完成2题的概率考察,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验操作能力较强.【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列、数学的期望及其应用，其中解答中认真审题，得出随机变量,的分别，利用期望的公式，准确求解期望是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.11甲、乙二人各有6张扑克牌,每人都是3张红心,2张草花,1张方片.每次两人从自己的6张牌中任意抽取一张进行比较,规定:两人花色相同时甲胜,花色不同时乙胜.(1)此规定是否公平?为什么?(2)若又规定:当甲取红心、草花、方片而获胜所得的分数分别为3,2,1,否则得0分,求甲得分的均值.【答案】（1）此规定不公平； （2）1.【解析】【分析】(1)根据互斥事件的概率公式，分别求得甲胜和乙胜的概率，即可得到答案.(2)设甲获胜所得分数为随机变量,求得随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.【详解】(1)设甲取红心、草花、方片的事件分别为A,B,C,乙取红心、草花、方片的事件分别为A,B,C,则事件A,A,B,B,C,C相互独立,而事件AA,BB,CC两两互斥,由题知P(A)=P(A)=12,P(B)=P(B)=13,P(C)=P(C)=16,则甲取胜的:P(AA+BB+CC)=P(AA)+P(BB)+P(CC)=P(A)P(A)+P(B)P(B)+P(C)P(C)=14+19+136=718,乙取胜的概率为1-718=1118.甲取胜的概率乙取胜的概率,此规定不公平.(2)设甲获胜所得分数为随机变量,则取值为0,1,2,3.则的分布列为0123P11181361914故甲得分的均值E=01118+1136+219+314=1.【点睛】本题主要考查了互斥事件的概率的计算，及随机变量的分布列与期望的求解，其中解答中认真审题，合理利用互斥事件的概率计算公式，以及求得随机变量的分布列，利用期望的公式计算求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量与,且,的分布列为 (1)求a,b的值.(2)计算,的均值与方差,并以此分析甲、乙的技术状况.【答案】（1）a=0.3,b=0.4；（2）见解析【解析】【分析】（1）由离散型随机变量的分布列性质，即概率之和为1，可直接求出a,b；（2）利用离散型随机变量的分布列的性质，求出E，E，D，D，比较大小，即可分析出甲乙的技术状况.【详解】(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a+0.1+0.6=1,所以a=0.3.同理0.3+b+0.3=1,b=0.4.(2)E=10.3+20.1+30.6=2.3,E=10.3+20.