高中数学第二章第四节2.4等比数列课件必修5.ppt

等比数列 1 一 温故知新 1 等差数列定义 2 等差数列单调性 an an d d为常数 d 0单调递增d 0单调递减d 0常数列 用什么方法如推出的呢 图像怎样 二 课题引入 如果一个数列从第 项起 每一项与它的前一项的 等于 一个常数 那么这个数列就叫做这个常数叫做等数列的 1 等比数列定义 二 比 同 等比数列 公比 等差数列定义 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差公差通常用字母d表示 公比通常用字母q表示 比 等比数列 由于等比数列的每一项都有可能作分母 故a1 0且q 0 等差数列 由于等差数列是作差故a1d没有要求 判断数列是等差数列的方法 判断数列是等比数列的方法 或an 1 an d n 1 an an 1 d n 2 等比数列通项公式推导 等差数列通项公式推导 设公差为d的等差数列 an 则有 an a1 n 1 d n 2 等差数列 an 的首项为a1 公差为d的通项公式为 an a1 n 1 d n n 设公比为q的等比数列 an 则有 q q q 首项为a1 公比为q的等比数列的通项公式 an a1qn 1 a1 0且q 0n n n 2 等比数列 等差数列 常数列都是等差数列 但常数列却不一定是等比数列 如0 0 0 0 等差数列通项公式 等比数列通项公式 首项为a1 公差为d的通项公式为 an a1 n 1 d n n 首项为a1 公比为q的的通项公式 an a1qn 1 a1 0且q 0 n n 等比数列的通项公式 an a1qn 1 n n q 0 特别地 等比数列 an 中 a1 0 q 0 an 0 an amqn m 若数列 an 的首项是a1 1 公比q 2 则用通项公式表示是 an 2n 1 上式还可以写成 可见 表示这个等比数列的各点都在函数的图象上 如右图所示 01234n an87654321 1 2 4 8 16 2 2 2 4 4 4 5 5 5 5 3 1 an 2n an an an 5 练习 等比中项 观察如下的两个数之间 插入一个什么数后者三个数就会成为一个等比数列 1 1 9 2 1 4 3 12 3 4 1 1 3 2 6 1 如果在a与b中间插入一个数g 使a g b成等比数列 那么g叫做a与b的等比中项 例题讲解 在等比数列中 课堂小结 2 等比数列的通项公式及推导方法 1 等比数列的定义 3 等比数列的有关性质 4 学习的思想方法 类比方法 1 定义 2 公比 差 3 等比 差 中项 4 通项公式 5 性质 若m n p q q不可以是0 d可以是0 等比中项 等差中项 等差数列 等比数列 等比数列 2 执教 徐玲华 1 定义 2 公比 差 3 等比 差 中项 4 通项公式 5 性质 若m n p q q不可以是0 d可以是0 等比中项 等差中项 等差数列 等比数列 例题讲解 分析 可由等比数列的知识求解 例2 根据下面的框图 写出所打印数列的前5项 并建立数列的递推公式 这个数列是等比数列吗 a1 1 n 1输出 a1 1 n 1 1 2 a2 a1 1 2 输出 a2 a1 1 2 n 2 1 3 a3 a2 1 2 输出 a3 a2 1 2 n 3 1 4 a4 a3 1 2 输出 a4 a3 1 2 n 4 1 5 a5 a4 1 2 输出 a5 a4 1 2 n 5 1 6结束 解 若打印出来的数依次记为a1 a2 a3 由图可知 于是 可得递推公式 因此这个数列是等比数列 其通项公式是an 例 一个等比数列的第 项和第 项分别是 和 求它的第 项和第 项 分析 要求第 项和第 项 必先求公比q 可利用方程的思想进行求解 解 用 an 表示题中公比为q的等比数列 由已知条件 有 解得 因此 答 这个数列的第1项与第2项分别是 例 结论 如果是项数相同的等比数列 那么也是等比数列 证明 设数列的公比为p 的公比为q 那么数列的第n项与第n 1项分别为与 即与 因为它是一个与n无关的常数 所以是一个以pq为公比的等比数列 特别地 如果是等比数列 c是不等于 的常数 那么数列也是等比数列 探究 对于例 中的等比数列与 数列也一定是等比数列吗 是 2 在等比数列中 求该数列前七项之积 3 在等比数列 an 中 求a8 1 在等比数列 an 中 已知 求 练习 1 若等比数列 an a4 1 a7 8 则a6与a10的等比中项是 16 2 若等比数列 an 中 若已知a2 4 a5 求an 若已知a3a4a5 8 求a2a6的