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平面向量的数量积的物理背景及其含义 问题提出 1 向量的模和夹角分别是什么概念 向量的夹角 返回 2 我们研究了向量的哪些运算 这些运算的结果是什么 3 我们是怎样引入向量的加法运算的 我们又是按照怎样的顺序研究这种运算的 平面向量数量积的物理背景及其含义 问题1 如图所示 一物体在力f的作用下产生位移s 力f所做的功w 请同学们分析这个公式的特点 w 功 是量 f 力 是量 s 位移 是量 是 f s cos 矢 矢 标 f与s的夹角 w f s cos 问题2 你能用文字语言来表述功的计算公式吗 如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量 其结果又该如何表述 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积 平面向量的数量积的定义 说明 问题3 向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同 影响数量积大小的因素有哪些 并完成下表 正 负 0 线性运算的结果是向量 两向量的数量积是一个数量 而不是向量 它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦 这个数值的大小不仅和向量与的模有关 还和它们的夹角有关 数量积符号由cos 的符号所决定 平面向量数量积的几何意义 投影一定是正数吗 说明 2 投影也是一个数量 不是向量 1 平面向量的数量积的运算性质 问题5 设a与b都是非零向量 若a b 则a b等于多少 反之成立吗 a ba b 0 问题6 当a与b同向时 a b等于什么 当a与b反向时 a b等于什么 特别地 a a等于什么 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b a a a2 a 2或 a 问题7 a b 与 a b 的大小关系如何 为什么 a b a b 问题8 对于向量a b 如何求它们的夹角 a b a b a ba b 0 判断两向量垂直的依据 特别地 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 平面向量的数量积的运算性质 设向量a b为两非零向量 e是与b同向的单位向量 类比实数的乘法运算律 数量积的运算律 关于向量的数量积运算 平面向量的数量积运算律 数量积运算不满足结合律 交换律 分配律 问题 我们学过了实数乘法的那些运算律 这些运算律对向量是否也适用 例题 问题 o n m a b b a c 证明 问题 当 0时 向量与 与的方向的关系如何 此时 向量与 与的夹角与向量与的夹角相等吗 问题 例2 72 一 辨析 1 若a 0 则对任一向量b 有a b 0 2 若a 0 则对任一非零向量b 有a b 0 3 若a 0 a b 0 则b 0 4 若a b 0 则a b中至少有一个为0 对任意向量a有 a a常记作a2 练习 练习 小结 1 向量的数量积是一种向量的乘法运算 它与向量的加法 减法 数乘运算一样 也有明显的物理背景和几何意义 同时还有一系列的运算性质 但与向量的线性运算不同的是 数量积的运算结果是数量而不是向量 2 实数的运算性质与向量的
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