三角函数在实际生活中的应用

三角函数在实际生活中的应用目录摘要：1关键词：11引言11.1三角函数起源22三角函数的基础知识22.1下列是关于三角函数的诱导公式32.2两角和、差的正弦、余弦、正切公式42.3二倍角的正弦、余弦、正切公式53.三角函数与生活53.1火箭飞升问题53.2电缆铺设问题63.3救生员营救问题63.4足球射门问题73.5食品包装问题83.6营救区域规划问题83.7住宅问题93.8最值问题104 总结11AbstractTrigonometric function in the course of historical development of continuous improvement, has formula, rich thoughts, flexible, permeability is strong and so on。 The characteristic is not only an important part of scientific research, or in mathematics learning to key and difficult. In a word it in teaching and other fields has important role. In this paper, we will make a brief discussion about the application of trigonometric functions in solving practical problems.Keywords：mathematics trigonometric function Application of trigonometric function 摘要：三角函数在历史的发展过程中不断完善，具有公式多、思想丰富、变化灵活、渗透性强等特点，不仅是科学研究的重要组成部分，还是数学学习中得重点难点，总之它在教学和其他领域中具有重要的作用。本文将对一些关于三角函数在解决实际问题中的应用做简单的讨论。关键词：数学 三角函数 三角函数的应用1引言三角函数是高中学习的一类基本的、重要的函数，他是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型。三角函数是高中数学重要的基础知识之一，有着广泛的实际背景和应用空间三角函数包括三角函数的概念及关系、诱导公式、三角函数的图象和性质、正弦型函数的图象及应用、三角恒等变换、解三角形它不但在生活中的很多方面都有很广的应用，如：潮汐和港口水深、气象方面有气温的变化，天文学方面有白昼时间的变化，地理学方面有潮汐变化，物理方面有各种振动波，生理方面有人的情绪、智力、体力等测量山高测量树高,确定航海行程问题,确定光照及房屋建造合理性等。在数学的很多问题研究方面都有着广泛的应用。三角函数是对函数概念的深化，也是沟通代数，几何，与平面向量等的一种工具。其中三角函数在导数的应用也颇为广泛。1.1三角函数起源“三角学”，来自拉丁文 。现代三角学一词最初见於希腊文。最先使用这个词的是皮蒂斯楚斯，他在1595年出版一本著作三角学:解三角学的简明处理，创造了这个新词。它是由(三角学)及(测量)两字构成的，原意为三角形的测量，或者说解三角形。当时三角学还没有形成一门独立的科学，而是依附于天文学。因此解三角形构成了古代三角学的实用基础。后来阿拉伯数学家专门的整理和研究三角学，但是他们并没有创立起一门独立的三角学。最后是德国数学家雷基奥蒙坦纳斯，真正把三角学作为数学的一个独立学科进行阐释。“正三角函数包含于最早被称为三角学，“三角学”一词来自拉丁文Trigonometry ，原意是三角形。与其他科学一样，三角学也是解决实际问题中发展起来的。近代三角学是从欧拉的无穷分析引论开始的。欧拉用小写的拉丁字母a、b、c表示三角形的三边，进一步简化了三角公式。欧拉还引用sinz、cosz、tanz等表示z角的三角函数的简写符号，这是三角函数的现代形式。 由于上述数学家及19世纪许多数学家的努力，形成了现代的三角函数符号与手拿教学的完整理论。2三角函数的基础知识在直角三角形ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，C为直角。则定义以下运算方式： sin A=A的对边长/斜边长，sin A记为A的正弦；sin Aa/c cos A=A的邻边长/斜边长，cos A记为A的余弦；cos Ab/c tan A=A的对边长/A的邻边长， tan Asin A/cos Aa/ b tan A记为A的正切； 当A为锐角时sin A、cos A、tan A统称为“锐角三角函数”。 Sin Acos B sin Bcos A 在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为，设OP=r，P点的坐标为(x,y)。 该直角三角形中，对边为y 临边为x 斜边为r，运算方法见表一表1基本函数英文表达式语言描述正弦函数Sinesin =y/r角的对边比斜边余弦函数Cosinecos =x/r角的邻边比斜边 正切函数Tangenttan =y/x角的对边比邻边余切函数Cotangentcot =x/y角的邻边比对边正割函数Secantsec =r/x角的斜边比邻边余割函数Cosecantcsc =r/y角的斜边比对边2.1下列是关于三角函数的诱导公式公式一：P（x，y），直线OP的反向延长线OE交圆O于F点，则F点的坐标为F(x, y)由此可得到下列公式：公式二：公式三：公式四： 公式五：由于 ，由公式四及公式五可得：公式六： 公式五、公式六可以概括如下： 的正弦（余弦）函数值，分别等于 的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把 看成锐角的符号。2.2两角和、差的正弦、余弦、正切公式 2.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 3.三角函数与生活实际生活中，三角函数可以用来模拟很多周期现象，如物理中简谐振动、生活中的潮汐现象，都可以建立三角函数的模型利用三角函数的性质解决有关问题；很多最值问题也可以转化为三角函数来解决，房地产、航海、测量、国防中都能找到三角函数的影子。因而三角函数解决实际问题应用极广，解决实际问题有一定的优越地位。3.1火箭飞升问题一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从地面处的雷达站测得的距离是，仰角是后，火箭到达点，此时测得的距离是，仰角为。（1） 火箭到达点时距离发射点有多远？ （2）火箭从点到点的平均速度是多少？ 解：（1）在中，（km） 火箭到达点时距发射点约 （2） 在中， （3） 答：火箭从点到点的平均速度约为3.2电缆铺设问题ACDB如图，一条河宽a 千米，两岸各有一座城市的直线距离是b 千米，今需铺设一条电缆连与，已知地下电缆的修建费是c万元/千米，水下电缆的修建费是d万元/千米，假定河岸是平行的直线（没有弯曲），问应如何铺设方可使总施工费用达到最少？分析：设电缆为时费用最少，因为河宽为定值，为了表示的长，不妨设解：设， 总费用为=问题转化为求的最小值及相应的值，而表示点与点斜率-ac倍，有图可得在单位圆周上运动，当直线与圆弧切于点时，u取到最小值。然后通过三角函数的边角关系求出直线的斜率，再求出此时的最小值u即可，可以根据实际问题带入求值。3.3救生员营救问题ABCD如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的点处发现海中的点有人求救，便立即派三名救生员前去营救1号救生员从点直接跳入海中；2号救生员沿岸边（岸边看成是直线）向前跑到点，再跳入海中；3号救生员沿岸边向前跑300米到离点最近的点，再跳入海中救生员在岸上跑的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒若，三名救生员同时从点出发，请说明谁先到达营救地点解：（1）在中， 在中， 1号救生员到达B点所用的时间为（秒）， 2号救生员到达B点所用的时间为（秒）， 3号救生员到达B点所用的时间为（秒） ，号救生员先到达营救地点3.4足球射门问题GEPCFBAD在训练课上，教练问左前锋，若你得球后，沿平行于边线的直线助攻到前场（如图，设球门宽米，球门柱到的距离米），那么你推进到距底线多少米时，为射门的最佳位置？（即射门角最大时为射门的最佳位置）？请你帮助左前锋回答上述问题。分析：此题关键在于求解射门时最大射门角，此时就是最佳位置。若直接在非特殊中利用边来求的最值，显得比较繁琐，注意到，而后两者都在中，故可应用直角三角形的性质求解。 解：如图，设，, , =。若令，则=，当,即时，取到最小值，从而可知时，取得最大值，即时，有最大值。故当点距底线为米时，为射门的最佳位置。依图像知，在白天的915时这个时间段可供冲浪爱好者进行冲浪运动。3.5食品包装问题某糖果厂为了拓宽其产品的销售市场，决定对一种半径为的糖果的外层包装进行设计。问能否设计出一个封闭的圆锥形状的外包装，其体积最小和所用材料达到最省？如果能，如何设计这个圆锥的底面半径和高？此时所用的外包装体积是多少？用料是多少？分析：要求该圆锥的全面积和体积，需要知道它的下底面半径、母线及高，这些变量之间的关系可以通过一个“角”把它们联系起来。PABCO解：如图，设OAC=，则OC=1，下底面半径AC=R=cot,母线长l=，高h=Rtan2，（0，）。则=Rl+R2=R(+R)=R2(+1) =cot2(+1)=; V=R2h=R2 Rtg2=R3tg2=ctg3=当且仅当tg2=1tg2,即tg=时，能使和V同时取到最小值，此时R=，h=2，即当圆锥的下底面半径和高分别为、2时能同时满足条件，外包装用料是8，体积是。3.6营救区域规划问题如图，在南北方向直线延伸的湖岸上有一港口，一机艇以千米/小时的速度从出发，分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后先按直线前进，以后又改成正东，但不知最初的方向和何时改变方向。如何去营救，用图示表示营救的区域。分析：要表示出一个区域，一般可在直角坐标系中表示，所以应首先建立直角坐标系；题中涉及到方向问题，所以不妨用方向角作为变量来求解。解：以A为原点，过A的南北方向直线为y轴建立直角坐标系，如图：设机艇的最初航向的方位角为，设OP方向前进m到达点P，然后向东前进到达点Q发生故障而抛锚。则,令点Q的坐标为（x,y），则 0，。机艇中途东拐，。又x+y=m(sin+cos)+n=msin(+)+nm+n=30,x+y30 满足不等式组和的点Q（x,y）所在的区域，按对称性知上图阴影区域所示。3.7住宅问题在某小区内，有一块地，这块地有这样三种情况：（1）是半径为10米的半圆；（2）是半径为10米，圆心角为的扇形；（3）是半径为10米，圆心角为的扇形；在这块地里种块矩形的草皮，具体见下图，应如何设计，使得此面积最大？面积的最大值是多少。分析：第一种情况，如图所示：连结，设，则， ADBFECO这时 此时，点A、D分别位于点O的左右方处时S取得最大值100。ADBFECO分析2：第二种情况，连结，设，则， 当且仅当时，即时，ADBECO分析3：如图所示：连结OB,设，则，当且仅当时，即时，3.8最值问题如图，是一块边长为的正方形地皮， 其中 是一半径为的扇形小山，其余部分都是平地。一开发商想在平地上建一个，使矩形的一个顶点P在弧上，相邻两边落在正方形的边上，求矩形停车场面积的最大值和最小值。解：设, ,延长RP交AB于M，易得PQ=MB=ABAM=10090，RP=RMPM=10090，从而令 ，则，故当时，有最小值；当时，有最大值涉及到角与边之间的相互关系，可以用边为变量建立函数关系，求解过程一般可以利用三角函数的相关知识，如正弦、余弦定理、数形结合、三角函数的有界性、基本不等式、函数单调性等。4 总结三角函数的发展已经趋于完善，虽然一些不常用的函数接近舍弃，但其余的三角函数仍然在实际生活中发挥着重要的作用。国防、铁路建设、房地产建设、竞技比赛以及安全问题上都可以广泛应用，极大地方便了我们的日常生活。参考文献1史彩