数学人教版九年级上册24.1.4圆周角.doc

24.1.4 圆周角【教学目标】知识与技能 1.了解圆周角的定义，圆周角与圆心角的关系，会在具体情景中辨别圆周角 2.掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的计算和证明. 3.理解圆内接多边形等有关概念. 4.掌握圆内接四边形性质定理，并能应用性质进行计算.过程与方法 1.在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论、转化的数学思想解决问题. 2.学习中经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角定理的探索过程，培养合情推理能力，发展逻辑思维能力、推理论证能力和用几何语言表达的能力. 3.学习中注重培养自己的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力,进一步提高学生的应用能力和思维能力.情感、态度与价值观 1.引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心. 2.充分发挥学生的主体作用，养成善于合作交流、勇于探索的自主学习的好习惯，激发学生的探究的热情. 3.通过营造民主、和谐的课堂氛围，让学生在愉快的学习中不断获得成功的体验，同时培养学生的合作意识. 24.1.4圆周角（第一课时）【教学目标】知识与技能 1.了解圆周角的定义，会在具体情景中辨别圆周角 2.掌握圆周角定理及推论，并能灵活运用这些知识进行简单的计算和证明.过程与方法 1.在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论、转化的数学思想解决问题. 2.学习中经历操作、观察、猜想、分析、交流、归纳等数学活动，体验圆周角定理的探索过程，培养合情推理能力，发展逻辑思维能力、推理论证能力和用几何语言表达的能力.情感、态度与价值观 1.引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心. 2.通过营造民主、和谐的课堂氛围，让学生在愉快的学习中不断获得成功的体验，同时培养学生的合作意识.【重点难点】 重点： 圆周角的概念以及圆周角定理和推论.难点 圆周角定理的证明中采用的分类思想及由“一般到特殊”的数学思想方法.【教学准备】 教师准备：多媒体课件15 学生准备：预习课本P85-87【教学过程】教学导入导入一：（课件1展示） 足球训练场上教练在球门前划了一个圆圈进行无人防守的射门训练如图，甲、乙两名运动员分别在C、D两处，他们争论不休，都说在自已所在的位置对球门AB的张角大，如果你是教练，请评一评他们两个人谁的位置对球门AB的张角大？为什么？ 过渡语通过这节课的学习，我们将能够理论说明甲、乙两人谁说的正确.导入二：复习提问：1. 什么是圆心角？2. 圆心角与其所对的弦、弧的关系是什么？ 3.上图中的DAC与DCB是不是圆心角？它们有什么特点？ 师生活动：学生回答，教师由此导出课题.【设计意图】通过具体生活情境出发，使学生意识到数学与生活密不可分，激发学生学习兴趣，在实际问题中画出图形，建立数学模型，通过观察角的特点，很自然的导出新课.二、新知构建过渡语上图中的DAC与DCB顶点在圆周上，那么顶点在圆周的角叫圆周角吗？归纳概念：（课件2展示） 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交，我们把这样的角叫做圆周角. 观察下列图形中的角都是圆周角吗？（1） （2） （3） （4） (5)师生活动：学生抢答，教师点评，强调圆周角必须满足两个条件.共同探究1：动手操作：1. 画O，在O上任意画弧AB,分别画出弧AB所对的圆心角和圆周角.2. 你能画出几个弧AB所对的圆心角和圆周角？ （一个圆心角，无数个圆周.）3. 分别测量所画圆心角和圆周角的度数，它们之间有什么关系？师生活动：学生独立操作，教师在巡视过程中帮助有困难的学生. 猜想：同弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.你能证明你的猜想吗？思路一：教师引导完成.思考：1.在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？ (三种：圆心在角的一边上、角内、角外) 2.当圆心在圆周角的一边上时，如何证明所发现的结论？ 师生活动：学生独立完成证明过程，并展示成果，教师点评. 3.当圆心不在圆周角的一边上时，如何证明所发现的结论？师生活动：教师引导学生思考：另外两种情况的证明，能否转化为第一种情况？教师课 件演示，学生思考回答，共同完成证明过程. 4.归纳你用到的数学方法和得出的结论.（课件3展示）证明：（1）如图（1）圆心O在BAC的一条边上时.（2）如图（2）圆心O在BAC的内部上时.作直径AD，则由（1）可得BAD=BOD,CAD=COD,BAC=BAD+CAD=(BOD+COD)=BOC.（3） 如图（3）圆心O在BAC的外部上时.作直径AD，则由（1）可得CAD=COD,BAD=BOD,BAC=CAD-BAD=(COD-BOD)=B0C.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.数学思想方法：分类思想、化归思想、由特殊到一般的数学方法.思路二： 自主学习课本第86页. 思考：1.在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？ (三种：圆心在角的一边上、角内、角外.) 2.根据三种位置关系，如何证明你的猜想？ （证明（1）后，用化归思想，把（2）、（3）转化成（1）的证明.) 3.在证明猜想的过程中用到了哪些数学思想方法？ （分类思想、化归思想、有特殊到一般的方法.) 师生活动：学生小组合作交流，共同探究，教师巡视过程中帮助有困难的学生，学生板书过程，教师点评. （证明过程同思路一）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.数学思想方法：分类思想、化归思想、由特殊到一般的数学方法.【设计意图】以学生活动为核心，经历观察、猜想、证明、归纳的过程，让学生通过合作探索，学会运用分类讨论的数学思想研究问题，培养学生思维的深刻性同时让学生学会由特殊到一般的数学方法，启发学生创造性的解决问题.共同探究2：思考：1.同弧所对的圆周角是否相等？ 2.如果改为等弧，那么所对的圆周角还是否相等？为什么？ 3.半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？ 4.90的圆周角所对的弦是什么？ 师生活动：学生独立思考后小组交流结果，并在小组内解决自己未解决的问题，教师及时帮助有困难的学生，学生一一展示后，教师点评.（课件4展示） 圆周角定理的推论： 1.同弧或等弧所对的圆周角相等. 2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90的圆周角所对的弦是直径. 【设计意图】通过问题形式探究圆周角定理的推论，感受类比思想，体会知识的内在联系，形成知识系统，同时让学生体会运用定理解决特殊性问题,提高学生分析问题解决问题的能力.共同探究3例4讲解：（课件5展示） 如图所示，O的直径AB为10cm，弦AC为6cm,ACB的平分线交O于点D，求BC,AD,BD的长. 师生活动：师生共同分析已知条件、所求和解题思路. 欲求BC的长，由BC所在的ABC中AB为O的直径，可知ACB=90.又AB和AC已知，在RtABC中，由勾股定理可求BC的长.由CD平分ACB得ACD=BCD，连接OD，可得AOD=BOD=90，进而由勾股定理可求AD、BD的长.学生解答，一学生板书过程，教师组织学生共同点评. 解：连接OD.AB是直径，ACB=ADB=90，在RtABC中，BC=8(cm).CD平分ACB，ACD=BCD，AOD=BOD.AD=BD,又在RtABD中，AD2+BD2=AB2，AD=BD=AB=10=5（cm）.【设计意图】应用圆周角定理及推论解决问题，巩固所学的内容，规范书写过程，培养学生分析问题、解决问题的能力及严谨的学习态度.【知识拓展】 1.圆周角定理包含两个独立的条件，可以分开使用，即“同弧或等弧所对的圆周角相等”以及“在同圆或等圆中，同一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半”. 2.定理中的圆周角与圆心角是通过它们所对的同一条弧联系在一起的，故不能把“同一条弧”这一前提条件省略. 3.若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，则结论不一定成立.三、课堂小结 1.圆周角的概念： 2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 3.推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90圆周角所对的弦是直径. 4.本节课数学思想方法：分类思想、化归思想、有特殊到一般的数学方法.4、 检测反馈1.如图，点A、B、C都在O上，若C=34，则AOB的度数为（ ）A.34 B.56 C.60 D.68解析：C=34与AOB是所对的圆周角和圆心角，由圆周角定理可得AOB=2C=68.故选D. OCBA 第1题图 第2题图 第3题图2.如图，O的直径CD过弦EF的中点G，EOD=40,则DCF等于（ ）A.80 B.50 C.40 D.20解析：因为O的直径CD过弦EF的中点G，由垂径定理可得=，由圆周角定理得DCF=EOD，DCF=20故选D3.如图，点A、B、C、D在O上，若C=60，则D=_，AOB=_解析：由同弧所对的圆周角相等可得D=C=60，由圆周角定理可得AOB=2D=120.故填60、120.4.如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？ 解析：在圆中，常作直径所对的圆周角，构造直角后利用三角形的性质求解.解：BD=CD.理由如下：连结AD，AB是O的直径，ADB=90，即ADBC又AC=AB，ABC是等腰三角形，BD=CD.五、板书设计24.14 圆周角（第一课时） 归纳概念 圆周角：共同探究1 圆周角定理：共同探究2 推论：共同探究3 例4 六、布置作业（一）教材作业 必做题教材第89页习题24.1的5、6题.选做题教材第89页习题24.1的14、17题.（二）课后作业【基础巩固】1. 如图所示，在O中，ABC=50，则AOC等于（ ） A.50 B.80 C.90 D.100 第1题图 第2题图2. 如图所示，AB是O的直径,CD是O的弦,ABD=58,则BCD等于()A.16B.32 C.58 D.643.如图所示，四边形ABCD是O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则BPC的度数是（ ）A.45 B.60 C.75 D.90 第3题图 第4题图4.如图，O中，弦AB、CD相交于点P，A=40，APD=75，则B=( )A.15 B.40 C.75 D.355.如图所示，AB是O的直径，点C、D是圆上两点，AOC=100，则D=_. AOBDC 第5题图 ADBOC第6题图6.如图所示，ABC内接于O,AD是O的直径，ABC=30，则CAD=_.7.如图所示，CDAB于点E，若B60，则A_. 第7题图 8.如图所示,ABC内接于O,BAC=120,AB=AC,BD为O的直径,AD=6,求BC的长. 9.如图所示，AB为O的直径，AB=AC,BC交O于点D，AC交O于点E,BAC=45（1）求EBC的度数；（2）求证：BD=CD 10.如图所示，A、P、B、C是半径为8的O上的四点，且满足BAC=APC=60.(1)求证：ABC是等边三角形；(2)求圆心0到BC的距离OD. 【能力提升】11.如图所示，在O中，CBO=45，CAO=15，则AOB的度数是_ 12.如图所示，以O的直径BC为一边作等边ABC,交O于D、E.求证：BD=DE=EC. 【拓展探究】13. 如图（1），已知ABC是等边三角形，以BC为直径的O分别交AB、AC于点D、E.（1）求证：DOE是等边三角形；（2）如图（2），若A=60，ABAC，则（1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由. 【答案与解析】1.D解析：由圆周角定理可得，AOC=2ABC=100.故选D.2.B.解析：AB是O的直径,ADB=90.ABD=58,A=90-ABD=32,BCD=A=32.故选B.3.A解析：连接OB，OC，四边形ABCD为正方形，BOC=90，P=BOC=45故选A.4.D解析：APD=75，BPD=105，由圆周角定理可知A=D，B=180-BPD-D=35，故选D5.40解析：因为AOC=100，所以BOC=180-100=80，由圆周角定理可得D=BOC，所以D=40.故填40.6.60解析：AD是O的直径，ACD=90；CDA=ABC=30，CAD=90-CDA=60故填60.7.30解析：CDAB，B=60C=30A=C=30故填30.8.解：连接CD，BD为O的直径，BAD=BCD=90，DBC=DAC=120-90=30，BDC=60AB=AC， =BDA=ADC=30在BDC和DBA中，DCB=BAD，DBC=BDA,BD=DB，BDCDBA（AAS）BC=AD=69.（1）解：AB是O的直径，AEB=90又BAC=45，ABE=45又AB=AC，ABC=C=67.5EBC=22.5（2）证明：连接AD，AB是O的直径，ADB=90ADBC又AB=AC，BD=CD10.(1)证明： ABC=APC,BAC=APC=60，ABC=BAC=60，ABC是等边三角形.(2)解：连OB，则OB=8，OBD=30.又ODBC于D, OD=OB=4.11.60解析：连接OC，OB=OC=OA，CBO=45，CAO=15，OCB=OBC=45，OCA=OAC=15，ACB=OCB-OCA=30，AOB=2ACB=60故填6012.证明：如图，连接OD、OEABC是等边三角形，B=60又OB=OD，OBD是等边三角形，BOD=60同理，EOC是等边三角形，则EOC=60BC是O的直径，DOE=180-BOD-EOC=60，=，BD=DE=EC13.解：（1）BAC是等边三角形，B=C=60OD=OB=OE=OC，OBD和OEC都是等边三角形BOD=COE=60DOE=60ODE是等边三角形（2）结论（1）仍成立证明：连接CD，BC是直径，BDC=90ADC=90A=60，ACD=30DOE=2ACD=60OD=OE，ODE是等边三角形教学反思成功之处不足之处再教设计 本节课以生活实例导入新课，让学生感受生活中处处有数学，激发学生学习兴趣.探究圆周角定理是本节课的重点和难点，学生亲身经历由特殊到一般的知识的形成过程，体会了数形结合思想在数学中的应用，既提高了学生分析问题、解决问题的能力，又让学生体验到学习中的快乐.探究活动由动手操作后，通过观察作出猜想，由教师引导，环环相扣把难点突破，在此过程中渗透了“分类” 、“化归”等数学思想，同时培养了学生分析问题、解决问题的能力以及严谨的学习态度.在整节课中，突出了学生的主体作用，课堂上学生思维活跃，参与意识强，取得了很好的效果.本节课是圆的性质中重要的一节，它是关于角度、弦、弧之间有关计算和证明的基础，教学设计中注重学生参与活动，培养学生通过小组合作，经历知识的形成过程，从而提高分析问题、解决问题的能力，可是在探究推论的过程中，只看到部分学生参与意识强，忽略了学习能力较差的学生参与情况，同时忽略了与上个课时圆心角之间的联系，在以后教学中注意人人学有价值的数学. 本节课的重难点是探究圆周角定理和推论，以及应用定理解决有关问题，在教学设计中，应注重知识的形成过程和学生学习能力的培养，尤其圆周角定理的证明，给学生足够的时间，让学生体会应用分类思想、化归思想解决数学问题的重要性，同时掌握由特殊到一般的证明方法.让学生自主探究、合作交流形式突破重难点，通过创设问题情景，营造民主、和谐的课堂氛围，让学生真正在数学课堂上享受学习数学的快乐，这样课堂才能真正成为学生的主战场.课后习题解答练习：教材第88页1. 解：图（3）是圆周角.图（1）（2）的顶点没有在圆上，图（4）（5）中角的两边没有与圆相交.2. 解：1=4，2=7，3=6，5=8.理由如下：同弧所对的圆周角相等.3. 证明：在O中，由题意知BOC=2BAC,AOB=2BOC,AOB=2BOC=22BAC=4BAC.由题意知AOB=2ACB.2ACB=4BAC,即ACB=2BAC.4.解：方法有多种，如对折两次，找到直径的交点，或利用“90的圆周角所对的弦是直径”，进而确定圆心.备课资料：1.本节课的重点是进一步让学生熟悉圆内部元素的性质，然后借助图形位置关系分析圆的性质，体会数形结合思想.在设计上使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的形成过程，逐步达到培养学生抽象概括能力和激发求知欲望，让学生在轻松愉悦中突破难点，强化重点.由于知识的形成来源于真实的自主探究，只有放手探究，学生的潜力与智慧才会充分表现，学生也才会表现真实的思维和真实的自我，有了上一个课时探究圆心角的性质为基础，所以给学生更大的探究空间，让学生在教师的引导下，合作交流，真正理解和掌握知识，易于突破难点.2.本节课是在圆的有关知识的基础上对圆周角与圆心角的关系的探索，圆周角定理及其推论为角的计算，证明角相等，证明弧、弦相等等问题提供了简便的方法，但圆周角定理的证明要用到完全归纳法，学生对分类证明的必要性难以理解，这是本节的难点，所以在这个环节的设计上，通过问题形式降低难度，给学生充分的思考时间和合作交流时间，让学生经历探索过程，同时培养学生学习能力和数学思维.经典例题A，B是圆O上的两点，AOB=60，C是圆O上不与A、B重合的任一点，求ACB的度数是多少？解析：由于AOB的度数一定，所以我们常常会认为点C在圆O上任意一点时，ACB的度数都是相等的.这是没有看透题目的本质，导致解题过程出现漏洞.本题中AOB=60，所以对应的劣弧的度数为60，对应的优弧的度数应为300.注意数学中的分类思想.解：分两种情况:（1）当C点在劣弧AB上时，如图所示，A，B是圆O上两点，AOB=60，所以弧AB的度数为60，优弧AOB的度数为300，又因为ACB的度数是优弧AOB的度数的一半，所以ACB=150.（2）当点C在优弧ADB上时，ACB=AOB=30.综上所述ACB为30或150. 24.1.4 圆周角 （第二课时）【教学目标】知识与技能 1.理解圆内接多边形和多边形的外接圆的概念. 2.掌握圆内接四边形的性质，并会用此性质进行有关的计算和证明. 3.进一步掌握圆周角定理及推论，并会综合运用知识进行有关的计算和证明.过程与方法 1.通过圆内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力. 2.学习中注重培养自己的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力,进一步提高学生的应 用能力和思维能力.情感、态度与价值观1. 充分发挥学生的主体作用，养成善于合作交流，勇于探索的自主学习的好习惯，激发学生的探究的热情.2. 通过探索圆内接四边形性质及应用，渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点. 【重点难点】重点：圆内接多边形的概念及圆内接四边形的性质.【难点】 圆内接四边形性质的探究过程及应用. 【教学准备】 教师准备：多媒体课件1-4 学生准备：预习教材P87-88【教学过程】1、 教学导入导入一：（课件1展示） 在这个圆形人工湖边上造4个休息厅，（即A、B、C、D），用仪器测得圆周角A=90，B=45，能求出另两个角C和D的度数吗？需要哪些数据可以求该圆形人工湖的直径？导入二： 复习提问：1.什么是圆心角、圆周角？ 2.同弧所对的圆周角和圆心角有什么关系？ 3.圆周角定理的推论是什么？ 师生活动：学生回答，教师点评后，导出新课.【设计意图】通过欣赏生活实际情景图片，提出与本节课有关的问题，让学生体会数学与生活密切相关.复习与本节课知识有关的知识，为本节课新知识的学习打下铺垫.二、新知构建过渡语我们复习了和圆有关的角，今天让我们一起学习和圆有关的图形-四边形吧.基本概念 师生活动：自主学生课本87页圆内接四边形概念.然后小组交流，解决疑问，学生展示，教师点评归纳.（课件2展示） 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆如图中的四边形ABCD叫做O的内接四边形，而O叫做四边形ABCD的外接圆 【设计意图】学生自学后通过小组合作交流，掌握圆内接四边形基本概念的学习，培养学生自主学习的能力和合作精神.共同探究1： 思考：圆内接四边形的4个角之间有什么关系？思路一： 教师引导操作、归纳： 1.在圆内画圆不同的内接四边形ABCD，用量角器分别度量一组对角的和. 2.观察所得数据，你发现了什么？ 3.作出猜想：圆内接四边形的对角互补. 4.你能证明自己的猜想吗？ 师生活动：教师引导学生画出图形、写出已知、求证，学生思考后，小组交流答案，及时纠错，学生板书后教师点评，规范书写过程.（课件3展示）已知：四边形ABCD内接于O.求证：A+C=180，B+D=180.证明：如图所示，连接OB，OD. A所对的弧为弧BCD，C所对的弧为弧BAD， 又弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角， A+C=180. 同理B+D=180. 圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补.思路二： 教师引导观察思考： 1.圆内接四边形的四个内角是O的什么角？ 2.探究圆周角之间的问题，常和什么知识联系？ （同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半） 3. 如何构造与圆周角有关的圆心角？ （连接OB,OD） 4.两个圆心角之间有什么关系？ （和为周角 360） 5.你能得到圆周角A与C之间的数量关系吗？ 6.圆内接四边形另一组对角B与D有同样的数量关系吗？ 7.得出结论，写出你的证明过程.（课件4展示）同思路一.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.【设计意图】在教师的引导下，通过层层深入分析已知条件，有圆周角和圆心角之间的关系，探究出圆内接四边形性质，提高学生分析问题、解决问题的能力，同时培养学生将语言叙述转化为几何语言的能力，以及严谨的学习态度.【知识拓展】 1.圆内接四边形的外角等于它的内对角. 2.圆内接四边形性质是解决有关角的计算和证明常用的结论.3、 课堂小结1.圆内接四边形的有关概念.2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.检测反馈1.若ABCD为圆内接四边形，则下列 哪个选项可能成立（ ）A.ABCD 1234 B.ABCD 2134 C.ABCD 3214 D.ABCD 4332 解析：根据圆内接四边形对角互补，四个角度所占的份数满足对角和相等，只有B符2+3=1+4，符合性质，故选B.2.如图，四边形ABCD内接于O，若BOD=138，则它的一个外角DCE等于( )A69 B42 C48 D.38 第2题图 第3题图解析：BOD=138，A=BOD=69，BCD=180-A=111，DCE=180-BCD=69故选A3.已知如图，在圆内接四边形ABCD中，B=30，则D=_解析:圆内接四边形ABCD中，B=30，D=180-30=150故填1504.如图，四边形ABCD内接于O，AB是O的直径，BCD=120，BC=CD(1)求证：CDAB；(2)求SACD：SABC的值 解：（1）AB是O的直径，ACB=90，BCD=120，ACD=30，DAB=180-BCD=60，BC=CD，弧BC=弧CD，DAC=BAC=60=30，B=90-BAC=60，B+BCD=180，CDAB；（2）连结OA、OB，DOC=2DAC=60，ODC为等边三角形，而B=60，OBC为等边三角形，ABCD，SADC=SODC，而SOBC=SODC，SABC=2SOBC，SACD：SABC=1：25、 板书设计 24.1.4圆周角（第二课时）基本概念共同探究 圆内接四边形性质六、布置作业（一）教材作业 必做题教材第89页习题24.1的7题.选做题教材第89页习题24.1的16题. （二）课后作业【基础巩固】1.如图，四边形ABCD内接于O，BOD=80，那么BCD的度数是( )A.80 B.100 C.140 D.160 第1题图 第2题图 2.如图，ABCD是O的内接四边形，延长BC到E已知BCD：ECD=3：2，那么BOD等于( )A.120 B.136 C.144 D.1503. 圆内接四边形ABCD的内角A：B：C=2：3：4，则D= 度 第3题图 第4题图4.如图，ABCD为圆内接四边形，E为DA延长线上一点，若C=45，AB=，则点B到AE的距离为_5.如图，在O中A、P、B、C是O上四个点，已知APC=60，CPB=50，求ACB的度数为 6.如图，四边形ABCD内接于O，ABBC，BD平分ABC，AB=3，BC=4.求DC的长. 【能力提升】7.如图，四边形ABCD内接于O，并且AD是O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交O外一点E求证：BC=EC 8.如图所示，在O中，AB是直径，CD是弦，ABCD.(1)P是优弧CAD上一点(不与C、D重合)，求证：CPD=COB；(2)点P在劣弧CD上(不与C、D重合)时，CPD与COB有什么数量关系？请证明你的结论。 【拓展探究】9.如图1，已知ABC，AB=AC，以边AB为直径的O交BC于点D，交AC于点E，连接DE(1)求证：DE=DC(2)如图2，连接OE，将EDC绕点D逆时针旋转，使EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC的延长线于点G试探究线段DF、DG的数量关系【答案与解析】1.C解析：A=BOD=80=40，又四边形ABCD内接于圆，在四边形ABCD中，A+C=180，BCD=180-A=180-40=140.故选C2.C解析：BCD：ECD=3：2，BCD与ECD为邻补角，则BCD=108，ECD=72，由圆内接四边形的对角互补知，A=180-BCD=72，由圆周角定理知，BOD=2A=144故选C3.90解析：圆内接四边形的对角互补，A：B：C：D=2：3：4：3，设A=2x，则B=3x，C=4x，D=3x，2x+3x+4x+3x=360，x=30，D=90故填90.4.1解析：过点B作BFAE于点F；ABCD为圆内接四边形，若C=45，DAB+C=180，EAB+BAD=180EAB=C=45，AF=BF，AB=，BF=1，点B到AE的距离为15.解：在O中A、P、B、C是O上四个点，APC=60，CPB=50，ABC=APC=60，BAC=CPB=50ACB=180-（ABC+BAC）=706.解：连接AC，ABBC，ABC=90，AC=5，BD平分ABC，ABD=CBD=45，DA=DC，四边形ABCD内接于O，ADB=180-ABC=90,ACD是等腰直角三角形，DC=.7.证明：连接ACAD是O的直径，ACD=90=ACE四边形ABCD内接于O，D+ABC=180，又ABC+EBC=180，EBC=DC是弧BD的中点，1=2，1+E=2+D=90，E=D，EBC=E，BC=EC 8.（1）证明：连接OD，AB是直径，ABCD，COB=DOB=COD.又CPD=COD，CPD=COB.（2）CPD与COB的数量关系是：CPD+COB=180.证明：CPD+CPD=180，CPD=COB，CPD+COB=180.9.（1）证明：四边形ABDE内接于O，B+AED=180，DEC+AED=180，DEC=B，AB=AC，C=B，DEC=C，DE=DC（2）证明：四边形ABDE内接于O，A+BDE=180，EDC+BDE=180，A=EDC，OA=OE，A=OEA，OEA=CEF，A=C