南通市、泰州市2017届数学一模(含参考答案).doc

2017年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分 1函数的最小正周期为2设集合A=1，3，B=a+2，5，AB=3，则AB=3复数z=（1+2i）2，其中i为虚数单位，则z的实部为4口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为5如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为6若实数x，y满足则z=3x+2y的最大值为7抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：学生第1次第2次第3次第4次第5次甲6580708575乙8070758070则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为8如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，则三棱锥D1A1BD的体积为cm39在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y=0为双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为10九章算术中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为升11在ABC中，若+2=，则的值为12已知两曲线f（x）=2sinx，g（x）=acosx，相交于点P若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为13已知函数f（x）=|x|+|x4|，则不等式f（x2+2）f（x）的解集用区间表示为14在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且ABAC，则线段BC的长的取值范围为二、解答题：本大题共6小题，共计90分15如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角，其终边与单位圆交于点A以OA为始边作锐角，其终边与单位圆交于点B，AB=（1）求cos的值；（2）若点A的横坐标为，求点B的坐标16如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PAPD求证：（1）直线PA平面BDE；（2）平面BDE平面PCD17如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（ab0）的离心率为，焦点到相应准线的距离为1（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值18如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪（1）当EFP=时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由19已知函数f（x）=ax2xlnx，aR（1）当时，求函数f（x）的最小值；（2）若1a0，证明：函数f（x）有且只有一个零点；（3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围20已知等差数列an的公差d不为0，且，（k1k2kn）成等比数列，公比为q（1）若k1=1，k2=3，k3=8，求的值；（2）当为何值时，数列kn为等比数列；（3）若数列kn为等比数列，且对于任意nN*，不等式恒成立，求a1的取值范围南通市2017届高三第一次调研测试数学（附加题）选做题本题包括四小题，请选2题作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修4-1：几何证明选讲21已知圆O的直径AB=4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE=2CD，求OCE的面积选修4-2：矩阵与变换22已知向量是矩阵A的属于特征值1的一个特征向量在平面直角坐标系xOy中，点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P（3，3），求矩阵A选修4-4：坐标系与参数方程23在极坐标系中，求直线被曲线=4sin所截得的弦长选修4-5：不等式选讲24求函数的最大值必做题共2小题，满分20分）25如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ=BB1（0）（1）若，求AP与AQ所成角的余弦值；（2）若直线AA1与平面APQ所成的角为45，求实数的值26在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2=2py（p0）上的点M（m，1）到焦点F的距离为2，（1）求抛物线的方程；（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求EAB面积的最小值2017年江苏省南通市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1函数的最小正周期为【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】根据函数y=Asin（x+）的周期等于，得出结论【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：2设集合A=1，3，B=a+2，5，AB=3，则AB=1，3，5【考点】并集及其运算【分析】由交集的定义，可得a+2=3，解得a，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求【解答】解：集合A=1，3，B=a+2，5，AB=3，可得a+2=3，解得a=1，即B=3，5，则AB=1，3，5故答案为：1，3，53复数z=（1+2i）2，其中i为虚数单位，则z的实部为3【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案【解答】解：z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=3+4i，z的实部为3故答案为：34口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为0.17【考点】概率的基本性质【分析】利用对立事件的概率公式，可得结论【解答】解：摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，摸出蓝球的概率为10.480.35=0.17故答案为0.175如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为5【考点】程序框图【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案【解答】解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：56若实数x，y满足则z=3x+2y的最大值为7【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=3x+2y得y=x+z平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点A时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大由，解得A（1，2），代入目标函数z=3x+2y得z=31+22=7即目标函数z=3x+2y的最大值为7故答案为：77抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：学生第1次第2次第3次第4次第5次甲6580708575乙8070758070则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为20【考点】极差、方差与标准差【分析】根据题意，分别求出甲、乙的平均数与方差，比较可得S甲2S乙2，则乙的成绩较为稳定；即可得答案【解答】解：根据题意，对于甲，其平均数甲=75，其方差S甲2= （6575）2+（8075）2+（7075）2+（8575）2+（7575）2=50；对于乙，其平均数乙=75，其方差S乙2= （8075）2+（7075）2+（7575）2+（8075）2+（7075）2=20；比较可得：S甲2S乙2，则乙的成绩较为稳定；故答案为：208如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，则三棱锥D1A1BD的体积为cm3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】三棱锥D1A1BD的体积=，由此能求出结果【解答】解：在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，三棱锥D1A1BD的体积：=（cm3）故答案为：9在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y=0为双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线的渐近线方程得到a，b关系，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：直线2x+y=0为双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线，可得b=2a，即c2a2=4a2，可得=故答案为：10九章算术中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为升【考点】等差数列的通项公式【分析】设最上面一节的容积为a1，利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出结果【解答】解：设最上面一节的容积为a1，由题设知，解得故答案为：11在ABC中，若+2=，则的值为【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理【分析】根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出的值【解答】解：在ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，由+2=，得accosB+2bccosA=bacosC，由余弦定理得：（a2+c2b2）+（b2+c2a2）=（b2+a2c2），化简得=2，=，由正弦定理得=故答案为：12已知两曲线f（x）=2sinx，g（x）=acosx，相交于点P若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】联立两曲线方程，可得tanx=，a0，设交点P（m，n），分别求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为1，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到a的值【解答】解：由f（x）=g（x），即2sinx=acosx，即有tanx=，a0，设交点P（m，n），f（x）=2sinx的导数为f（x）=2cosx，g（x）=acosx的导数为g（x）=asinx，由两曲线在点P处的切线互相垂直，可得2cosm（asinm）=1，且tanm=，则=1，分子分母同除以cos2m，即有=1，即为a2=1+，解得a=故答案为：13已知函数f（x）=|x|+|x4|，则不等式f（x2+2）f（x）的解集用区间表示为【考点】绝对值不等式的解法【分析】令g（x）=f（x2+2）f（x）=x2+2+|x22|x|x4|，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可【解答】解：令g（x）=f（x2+2）f（x）=x2+2+|x22|x|x4|，x4时，g（x）=2x22x+40，解得：x4；x4时，g（x）=2x240，解得：x或x，故x4；0x时，g（x）=00，不合题意；x0时，g（x）=2x0，不合题意；x时，g（x）=2x2+2x40，解得：x1或x2，故x2，故答案为：14在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且ABAC，则线段BC的长的取值范围为，【考点】直线和圆的方程的应用【分析】画出图形，当BCOA时，|BC|取得最小值或最大值，求出BC坐标，即可求出|BC|的长的取值范围【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且ABAC，如图所示当BCOA时，|BC|取得最小值或最大值由，可得B（，1）或（，1），由，可得C（1，）或（1，）解得BCmin=，BCmax=故答案为：，二、解答题：本大题共6小题，共计90分15如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角，其终边与单位圆交于点A以OA为始边作锐角，其终边与单位圆交于点B，AB=（1）求cos的值；（2）若点A的横坐标为，求点B的坐标【考点】任意角的三角函数的定义【分析】（1）由条件利用余弦定理，求得cos的值（2）利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标【解答】解：（1）在AOB中，由余弦定理得，AB2=OA2+OB22OAOBcosAOB，所以， =，即 （2）因为， 因为点A的横坐标为，由三角函数定义可得，因为为锐角，所以 所以，即点16如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PAPD求证：（1）直线PA平面BDE；（2）平面BDE平面PCD【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（1）连结OE，说明OEPA然后证明PA平面BDE（2）证明OEPDOEPC推出OE平面PCD然后证明平面BDE平面PCD【解答】证明：（1）连结OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC中点又因为E为PC的中点，所以OEPA 4分又因为OE平面BDE，PA平面BDE，所以直线PA平面BDE 6分（2）因为OEPA，PAPD，所以OEPD 8分因为OP=OC，E为PC的中点，所以OEPC 10分又因为PD平面PCD，PC平面PCD，PCPD=P，所以OE平面PCD 12分又因为OE平面BDE，所以平面BDE平面PCD 14分17如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（ab0）的离心率为，焦点到相应准线的距离为1（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程【分析】（1）由已知条件可得，然后求解椭圆的方程（2）由题意知OP的斜率存在当OP的斜率为0时，求解结果；当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx联立方程组，推出OQ2=2k2+2然后求解即可【解答】解：（1）由题意得，2分解得，c=1，b=1所以椭圆的方程为 4分（2）由题意知OP的斜率存在当OP的斜率为0时，所以 6分当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx由得（2k2+1）x2=2，解得，所以，所以 9分因为OPOQ，所以直线OQ的方程为由得，所以OQ2=2k2+2 12分所以综上，可知 14分18如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪（1）当EFP=时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）当EFP=时，由条件得EFP=EFD=FEP=可得FNBC，四边形MNPE为矩形即可得出（2）解法一：设，由条件，知EFP=EFD=FEP=可得，四边形MNPE面积为=，化简利用基本不等式的性质即可得出解法二：设BE=tm，3t6，则ME=6t可得PE=PF，即，NP=3T+，四边形MNPE面积为=，利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：（1）当EFP=时，由条件得EFP=EFD=FEP=所以FPE=所以FNBC，四边形MNPE为矩形3分所以四边形MNPE的面积S=PNMN=2m25分（2）解法一：设，由条件，知EFP=EFD=FEP=所以， 8分由得所以四边形MNPE面积为=12分当且仅当，即时取“=”14分此时，（*）成立答：当时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为m2 16分解法二：设BE=tm，3t6，则ME=6t因为EFP=EFD=FEP，所以PE=PF，即所以， 8分由得所以四边形MNPE面积为=12分=当且仅当，即时取“=” 14分此时，（*）成立答：当点E距B点m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为m2 16分19已知函数f（x）=ax2xlnx，aR（1）当时，求函数f（x）的最小值；（2）若1a0，证明：函数f（x）有且只有一个零点；（3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值【分析】（1）当时，求出函数的导数，得到极值点，然后判断单调性求解函数的最值（2）由f（x）=ax2xlnx，得当a0时，函数f（x）在（0，+）上最多有一个零点，当1a0时，f（1）=a10，推出结果（3）由（2）知，当a0时，函数f（x）在（0，+）上最多有一个零点说明a0，由f（x）=ax2xlnx，得，说明函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+）上单调递增要使得函数f（x）在（0，+）上有两个零点，只需要通过函数h（x）=2lnx+x1在（0，+）上是增函数，推出0a1验证当0a1时，函数f（x）有两个零点证明：lnxx1设t（x）=x1lnx，利用导数求解函数的最值即可【解答】解：（1）当时，所以，（x0） 2分令f（x）=0，得x=2，当x（0，2）时，f（x）0；当x（2，+）时，f（x）0，所以函数f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增所以当x=2时，f（x）有最小值4分（2）由f（x）=ax2xlnx，得所以当a0时，函数f（x）在（0，+）上单调递减，所以当a0时，函数f（x）在（0，+）上最多有一个零点6分因为当1a0时，f（1）=a10，所以当1a0时，函数f（x）在（0，+）上有零点综上，当1a0时，函数f（x）有且只有一个零点 8分（3）由（2）知，当a0时，函数f（x）在（0，+）上最多有一个零点因为函数f（x）有两个零点，所以a0 9分由f（x）=ax2xlnx，得，令g（x）=2ax2x1因为g（0）=10，2a0，所以函数g（x）在（0，+）上只有一个零点，设为x0当x（0，x0）时，g（x）0，f（x）0；当x（x0，+）时，g（x）0，f（x）0所以函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+）上单调递增要使得函数f（x）在（0，+）上有两个零点，只需要函数f（x）的极小值f（x0）0，即又因为，所以2lnx0+x010，又因为函数h（x）=2lnx+x1在（0，+）上是增函数，且h（1）=0，所以x01，得又由，得，所以0a1 13分以下验证当0a1时，函数f（x）有两个零点当0a1时，所以因为，且f（x0）0所以函数f（x）在上有一个零点又因为（因为lnxx1），且f（x0）0所以函数f（x）在上有一个零点所以当0a1时，函数f（x）在内有两个零点综上，实数a的取值范围为（0，1） 16分下面证明：lnxx1设t（x）=x1lnx，所以，（x0）令t（x）=0，得x=1当x（0，1）时，t（x）0；当x（1，+）时，t（x）0所以函数t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增所以当x=1时，t（x）有最小值t（1）=0所以t（x）=x1lnx0，得lnxx1成立20已知等差数列an的公差d不为0，且，（k1k2kn）成等比数列，公比为q（1）若k1=1，k2=3，k3=8，求的值；（2）当为何值时，数列kn为等比数列；（3）若数列kn为等比数列，且对于任意nN*，不等式恒成立，求a1的取值范围【考点】数列与不等式的综合；等比数列的性质【分析】（1）由已知得：a1，a3，a8成等比数列，从而4d2=3a1d，由此能求出的值（2）设数列kn为等比数列，则，推导出，从而，进而由此得到当时，数列kn为等比数列（3）由数列kn为等比数列，a1=d，得到，恒成立，再证明对于任意的正实数（01），总存在正整数n1，使得要证，即证lnn1n1lnq+ln由此能求出a1的取值范围【解答】解：（1）由已知可得：a1，a3，a8成等比数列，所以，2分整理可得：4d2=3a1d因为d0，所以 4分（2）设数列kn为等比数列，则又因为，成等比数列，所以整理，得因为，所以a1（2k2k1k3）=d（2k2k1k3）因为2k2k1+k3，所以a1=d，即6分当时，an=a1+（n1）d=nd，所以又因为，所以所以，数列kn为等比数列综上，当时，数列kn为等比数列8分（3）因为数列kn为等比数列，由（2）知a1=d，an=a1+（n1）d=na1因为对于任意nN*，不等式恒成立所以不等式，即，恒成立10分下面证明：对于任意的正实数（01），总存在正整数n1，使得要证，即证lnn1n1lnq+ln因为，则，解不等式，即，可得，所以不妨取，则当n1n0时，原式得证所以，所以a12，即得a1的取值范围是2，+） 16分南通市2017届高三第一次调研测试数学（附加题）选做题本题包括四小题，请选2题作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修4-1：几何证明选讲21已知圆O的直径AB=4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE=2CD，求OCE的面积【考点】与圆有关的比例线段【分析】由相交弦定理，得CD，DE中点H，则OHDE，利用勾股定理求出OH，即可求出OCE的面积【解答】解：设CD=x，则CE=2x因为CA=1，CB=3，由相交弦定理，得CACB=CDCE，所以13=x2x=2x2，所以2分取DE中点H，则OHDE因为，所以6分又因为，所以OCE的面积 10分选修4-2：矩阵与变换22已知向量是矩阵A的属于特征值1的一个特征向量在平面直角坐标系xOy中，点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P（3，3），求矩阵A【考点】特征值与特征向量的计算【分析】设，根据矩阵变换，列方程组，即可求得a、b、c和d的值，求得A【解答】解：设，因为向量是矩阵A的属于特征值1的一个特征向量，所以所以4分因为点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P（3，3），所以所以8分解得a=1，b=2，c=2，d=1，所以10分选修4-4：坐标系与参数方程23在极坐标系中，求直线被曲线=4sin所截得的弦长【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】极坐标方程化为直角坐标方程，联立，求出A，B的坐标，即可求直线被曲线=4sin所截得的弦长【解答】解：以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系直线的直角坐标方程为y=x，3分曲线=4sin的直角坐标方程为x2+y24y=0 6分由得或8分所以A（0，0），B（2，2），所以直线被曲线=4sin所截得的弦长AB= 10分选修4-5：不等式选讲24求函数的最大值【考点】柯西不等式在函数极值中的应用；三角函数的最值【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最值即可【解答】解：2分由柯