2018-2019学年哈尔滨市三中高一下学期第一模块数学试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市三中高一下学期第一模块数学试题一、单选题1已知向量，则（ ）ABCD【答案】D【解析】由向量的模长公式求模长即可.【详解】因为，所以.故选D.【点睛】本题考查向量的模长.向量的模长.2的内角的对边分别为，若，则（ ）ABCD【答案】A【解析】由余弦定理可求出，再求.【详解】由余弦定理可得，又，所以. 故选A.【点睛】本题考查余弦定理.，对于余弦定理，一定要记清公式的形式.3在等差数列中，若，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由等差数列的性质可得，则答案易求.【详解】在等差数列中，因为，所以.所以.故选B.【点睛】本题考查等差数列性质的应用.在等差数列中，若，则.特别地，若，则.4已知是单位向量，若，则与的夹角为（ ）A30B60C90D120【答案】B【解析】由，结合向量的数量积运算即可得解.【详解】解：因为，所以，则由是单位向量，可得，所以所以所以故选：B.【点睛】本题考查了向量的数量积运算，重点考查了向量的夹角，属基础题.5的内角的对边分别为，若，则的形状一定是（ ）A直角三角形B等边三角形C钝角三角形D等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由已知等式结合正弦定理，可得，再结合三角形中角的范围分析角的关系，进而判断三角形的形状.【详解】由结合正弦定理，可得，则.所以或.所以或.所以是等腰三角形或直角三角形.故选D.【点睛】本题考查解三角形问题，应用正弦定理判断三角形的形状.若已知等式中各项都含有边(或角的正弦)，可以直接利用正弦定理实现边角的转化. 解三角形的问题中经常需要用到三角恒等变换，这就需要牢记并熟练运用诱导公式、和差角公式、二倍角公式等，还要结合三角形内角的取值范围，合理地进行取舍，做到不漏解也不增解.6已知等比数列的各项均为正数，且，成等差数列，则（ ）ABCD【答案】A【解析】易得，于是根据已知条件求等比数列的公比即可.【详解】设公比为.由，成等差数列，可得，所以，则，解(舍去)或.所以.故选A.【点睛】本题考查等比数列、等差数列的基本问题.在等比数列和等差数列中，首项和公比(公差)是最基本的两个量，一般需要设出并求解.7在等比数列中，为数列的前项和，则（ ）ABCD【答案】C【解析】也成等比数列，则易求.【详解】在等比数列中，可得也成等比数列，所以，则，解得.故选C.【点睛】本题考查等比数列前项和的性质,也可以由进行基本量计算来求解.若等比数列的前项和是，则()也成等比数列.8在数列中，已知，且满足，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由已知的递推公式计算数列的前几项的值，发现周期规律，然后求.【详解】由，可得.又，所以，同理可得.于是可得数列是周期数列且周期是.因为，所以.故选B.【点睛】本题考查数列的表示法，递推公式和周期数列.由递推公式判断周期数列时，若递推公式是由前面两项推出后一项，则需要得到连续两项重复才能判定是周期数列.9我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽如图，大正方形是由个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，为的中点，则（ ）ABCD【答案】A【解析】把向量分解到方向，求出分解向量的长度即可得答案.【详解】设，则，在中，可得.过点作于点,则，.所以.所以.故选A.【点睛】本题考查平面向量的基本定理，用基向量表示目标向量.平面内的任意一个向量都可以用一对基向量(不共线的两个向量)来线性表示.10在等差数列中，首项，公差，前项和为有下列命题：若，则；若，则是中的最大项；若，则；若，则其中正确命题的个数是（ ）ABCD【答案】D【解析】方法一：由前项和公式代入各命题判断是否正确.方法二：由等差数列前项和的性质判断各命题是否正确.【详解】方法一：若，则，可得，正确；，则是中的最大项，正确；，正确.若，则，又，故，所以，即，正确.故选D.方法二：若，则，而，则，正确；，正确；若，由可得单调递增，不合题意，故，等差数列的前项和是关于的二次函数，由对称性可得当时，取得最大值，正确. 若，则，又，故，所以，即，正确.故选D.【点睛】本题考查等差数列前项和的有关问题.有关等差数列、等比数列的问题一般都能够使用两种方法求解，一是用首项和公差(公比)进行基本量运算，二是利用有关性质进行解题.11已知锐角的内角，的对边分别为，若，则的取值范围是（）ABCD【答案】C【解析】先由余弦定理得到，再由正弦定理得到，从而对进行化简，最后由角取值范围可求范围【详解】由余弦定理得，因为，则，即；由正弦定理得，所以，即，即.又因为，所以，即.因为，所以，所以.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及两角和与差公式12已知数列与前项和分别为，且,，对任意的恒成立，则的最小值是（ ）ABCD【答案】C【解析】先由与的关系式求的通项公式，于是可得的通项公式，再由裂项相消法求出，于是答案易得.【详解】因为,所以当时，解得；当时，.所以.于是.由，可得，所以是首项为，公差为的等差数列，即.所以.所以.因为对任意的恒成立，所以，即的最小值是.故选C.【点睛】本题考查数列的综合问题，考查与的关系、等差数列的判定、裂项相消法求和、与数列有关的不等式恒成立问题，综合性较强.二、填空题13已知向量，若，则_【答案】【解析】利用向量的坐标运算表示出，再根据向量共线定理得到方程，解得.【详解】解：由，可得又，所以，解得故答案为：【点睛】本题考查向量的坐标运算，以及平面向量共线定理的应用，属于基础题.14已知等比数列满足，则_【答案】【解析】由等比数列的下标性质先求再求.【详解】由等比数列的性质可得，于是，解得.又，所以.【点睛】本题考查等比数列的基本性质. 在等比数列中，若，则.特别地，若，则.15已知数列中，前项和为若 ，则数列的前项和为_【答案】【解析】先由取倒数判断是等差数列，进而求得数列的通项公式，再由裂项相消法求数列的前项和【详解】因为，所以.所以.又，所以是首项为，公差为的等差数列，则.所以.又也满足，所以.所以.所以数列的前项和为.【点睛】本题考查数列的综合问题，考查与的关系、等差数列的判定、裂项相消法求和，综合性较强.已知与的关系式，有两种思路：一是由消掉得到关于通项的关系式；二是把代换成得到关于求和的关系式.16已知是单位圆上的两点，点是平面内异于的动点，是圆的直径若，则的取值范围是_【答案】【解析】由是单位圆的直径，可得，于是需求的取值范围. 由可得点在以为直径的圆上，于是可求出定点到圆上的动点的距离的取值范围.【详解】因为是单位圆的直径，所以.在中，所以，.因为，所以点在以为直径的圆上，其圆心为的中点，半径为.易得，又点异于，所以且.所以且，即且.所以的取值范围是.【点睛】本题考查平面向量数量积的综合问题，考查数量积的取值范围、圆、动点等问题.通过几何意义求取值范围是一种常见的方法.三、解答题17在等差数列中，已知（1）求；（2）若，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】(1)设出公差，由列方程解出即可.(2)表示的项负正相间，可把相邻两项结合起来再求和.【详解】(1)设等差数列的公差为，由题意得解得所以.(2)因为，所以 .【点睛】本题考查等差数列的基本问题，数列的求和.对于通项中含有，即正负相间的数列，可把相邻两项结合起来再求和.18已知,是的三个内角，向量，且（1）求；（2）若，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】(1)由，得，逐步化简可得，可得答案.(2)由正弦定理、三角形内角和把表示为一个角的函数，再求其取值范围.【详解】(1)由，得，则，则，即，故.又，所以.所以.（2）因为，所以由正弦定理得.所以.所以 .其中，则，所以，.所以的取值范围是.【点睛】本题考查三角形中的综合问题，考查向量垂直的条件、正弦定理、三角恒等变换、三角函数的性质等.三角函数、平面向量、解三角形的知识联系紧密，解题时也经常综合在一起应用.19在中，且.（1）求边长；（2）求边上中线的长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用同角的三角函数关系，可以求出的值，利用三角形内角和定理，二角和的正弦公式可以求出，最后利用正弦定理求出长；（2）利用余弦定理可以求出的长，进而可以求出的长，然后在中，再利用余弦定理求出边上中线的长.【详解】（1），由正弦定理可知中：（2）由余弦定理可知：，是的中点，故，在中，由余弦定理可知：【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、同角的三角函数关系、以及三角形内角和定理，考查了数学运算能力.20已知数列满足，设（1）证明数列为等比数列；（2）求数列的前项和【答案】（1）证明见详解；（2）.【解析】(1)由(为非零常数)且可证得为等比数列.(2)可得，则可由错位相减法求和.【详解】(1)证明：由可得.而，所以.又，所以数列为等比数列.(2)由(1)得为首项是，公比是的等比数列，所以.由可得.所以，则.以上两式相减得，所以.【点睛】本题考查等比数列的证明和错位相减法求和.若数列满足，其中分别是等差数列和等比数列，则可由错位相减法求数列的前项和.21数列前项和为，已知（1）求数列的通项公式；（2）证明【答案】（1） ；（2）证明见详解.【解析】(1)由已知结合可得，变形得，利用叠加法可求.(2)由可得，用放缩法证明不等式.【详解】(1)由,得，以上两式相减得，则.两边同除以，可得.，以上个式子相加得，又，则，所以.(2)证明：因为，所以.所以.记，则，当时，可得，所以.所以.【点睛】本题考查求数列的通项公式，不等式的证明.求数列通项公式时一般需要构造等差数列或等比数列.放缩法是证明数列不等式的一种常用方法，有时需要保留前面的若干项，只把后面的各项放缩.22设数列的前项和为，且（1）若，求；（2）若数列为递增数列，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】(1)令，求出，然后可求出.(2)同(1)的方法求出，由解得的取值范围，由可