第八章.位移法.ppt

第八章位移法 2 8 1位移法基本概念 一 位移法基本概念 1 位移法基本未知量 取结构内部结点的角位移或线位移作为基本未知量 上图示连续梁 取结点B的转角 B作为基本未知量 这保证了AB杆与BC杆在B截面的位移协调 3 2 位移法步骤 4 3 杆端弯矩表达式 由结点B平衡可得 4 建立位移法方程并求解 5 5 作弯矩图 将求得的代入杆端弯矩表达式得到 M图 6 小结 1 位移法的基本未知量是结构内部结点 不包括支座结点 的转角或线位移 2 选取内部结点的位移作为未知量就满足了变形协调条件 位移法方程是平衡方程 满足平衡条件 3 位移法的基本结构可看作为单跨超静定梁的组合体系 为顺利求解 必须首先讨论单跨超静定梁在荷载及杆端位移作用下的求解问题 7 二 位移法基本未知量 位移法的基本未知量是结构内部结构结点 不包括支座结点 的转角 和线位移 不把支座结点的可能位移作为位移法的未知量是因为 1 减少未知量的数目 2 单跨超静定梁的杆端弯矩表达式中已经反映了支座可能位移 转角 线位移 的影响 如下图示 8 在确定结构的基本未知量之前 引入如下假设 对于受弯构件 忽略轴向变形和剪切变形的影响 9 1 结点转角未知量 结构有几个刚结点就有几个结点转角未知量 10 从两个不动点 无线位移的点 引出的两根无轴向变形的杆件 其交点无线位移 若一个结构需附加n根链杆才能使所有内部结点成为不动点 无线位移 则该结构线位移未知量的数目就是n 2 结点线位移未知量 用附加链杆的方法确定结点线位移未知量 不动点如右图示 11 附加链杆 12 8 2等截面直杆的刚度方程 一 符号规则 1 杆端弯矩 规定顺时针方向为正 逆时针方向为负 杆端弯矩的双重身份 1 对杆件隔离体 杆端弯矩是外力偶 顺时针方向为正 逆时针方向为负 2 若把杆件装配成结构 杆端弯矩又成为内力 弯矩图仍画在受拉边 13 2 结点转角 顺时针为正 逆时针为负 杆件两端相对侧移 其与弦转角 的正负号一致 而 以顺时针方向为正 逆时针方向为负 3 杆件两端相对侧移 14 1 两端固定梁 二 等截面直杆的刚度方程 15 式中系数4i 2i 6i l称为刚度系数 即产生单位杆端位移所需施加的杆端力矩 由上图可得 可写成 上式就是两端固定梁的刚度方程 16 2 一端固定 一端辊轴支座的梁 17 3 一端固定 一端滑动支座的梁 18 4 等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同 则相应的杆端力也相同 1 19 2 3 20 1 两端固定梁 三 固端弯矩 q 单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称为固端弯矩 固端弯矩以顺时针方向为正 逆时针方向为负 21 2 一端固定 一端辊轴支座的梁 22 3 一端固定 一端滑动支座的梁 各种单跨超静定梁的固端弯矩可查教材附表 23 四 正确判别固端弯矩的正负号 24 8 3无侧移刚架和有侧移刚架的计算 一 无侧移刚架的位移法求解 建立位移方程有两种方法 1 直接利用平衡条件建立位移法方程 2 利用位移法基本体系建立位移法方程 25 解 令 例8 3 1用位移法求图示刚架的M图 各杆EI相同 1 利用平衡条件建立位移法方程 26 2 列出杆端弯矩表达式 27 3 建立位移法方程并求解 由结点B和结点D的平衡条件可得 28 4 作弯矩图 将求得的 B D代入杆端弯矩表达式得 29 2 利用位移法基本体系建立位移法方程 1 求刚度系数 解 30 k11 k21 2i 4i 2i 4i A B C D E 31 32 F1P 10 67 F2P 32 k11 8i k12 k21 2i k22 8i 2 建立位移法方程 上述刚度系数实质上是刚结点附加转动约束产生的反力矩 由于原结构并没有附加转动约束 各附加转动约束上的反力矩之和应等于零 据此可以建立位移法典型方程 位移法标准方程的物理意义 每个结点附加转动约束的反力矩之和等于零 所以方程右端恒等于零 位移法方程是平衡方程 33 1 利用平衡条件建立位移法方程 二 有侧移刚架的位移法求解 1 未知量 例8 3 2用位移法求图示刚架内力图 解 2 列出杆端弯矩表达式 34 35 3 建立位移法方程并求解 由结点D平衡 B DA柱 作CE梁隔离体 求柱剪力 36 EB柱 CE梁 37 解方程组 得 4 作内力图 38 39 2 利用位移法基本体系建立位移法方程 1 求刚度系数 未知量 B 0 4 2kN m 14kN E A C D F2P F2P 3 40 41 42 2 建立位移法方程并求解 k11 5ik12 k21 0 75ik22 0 75iF1P 14F2P 3 附加转动约束的反力矩之和等于零 附加链杆上的反力之和等于零 3 杆端弯矩 内力图见前图 43 8 4对称结构的计算 结构对称是指结构的几何形状 支座条件 材料性质及各杆刚度EA EI GA均对称 利用结构对称性简化计算 基本思路是减少位移法的基本未知量 一 奇数跨刚架 分析与对称轴相交截面的位移条件 在根据对称性取半边结构时 该截面应加上与位移条件相应的支座 1 对称荷载 44 对称结构在对称荷载作用下 其内力和变形均对称 在取半边结构时 B截面加上滑动支座 但横梁线刚度应加倍 与对称轴相交截面B的位移条件为 45 46 2 反对称荷载 对称结构在反对称荷载作用下 其内力和变形均反对称 47 48 二 偶数跨刚架 偶数跨刚架不存在于对称轴相交的截面 1 对称荷载 49 2 反对称荷载 50 例8 4 1作图示结构M图 三 举例 解 51 M图 FPh 52 例8 4 2作下图示结构M图 解 53 M图 FPl 54 四 对称温度变化时的求解 1 奇数跨刚架 取半边结构求解 55 2 偶数跨刚架 例8 4 3作下图示结构M图 刚架各杆为矩形截面 截面高为0 6m 各杆EI相同 解 56 1 各杆两端相对侧移 杆AB缩短 杆CD伸长 杆BC缩短 则AB BC杆相对侧移为 57 2 求固端弯矩 相对侧移 AB BC产生的固端弯矩为 杆两端温差 t产生的固端弯矩为 58 3 杆端弯矩表达式 4 建立位移法方程并求解 59 5 回代求杆端弯矩并画弯矩图 在温度变化作用下 超静定结构内力与杆件EI的绝对值成正比 60 8 5支座移动 温度变化及具有弹簧支座结构的计算 一 支座移动时的位移法求解 解题思路 1 锁住结点 即令结点位移未知量等于零 2 令结构产生已知的支座移动 此时各杆产生固端弯矩 3 令结构分别产生结点位移 此时各杆产生杆端弯矩 4 叠加2 3 的结果就求得各杆最终的杆端弯矩 61 例8 5 1作下图示结构M图 解 1 杆端弯矩表达式 62 2 建立位移法方程并求解 3 作弯矩图 63 在支座移动作用下 超静定结构内力与杆件EI的绝对值成正比 M图 结构弯矩图如下图示 思考题 下图示刚架结点B C有向右位移动 作结构内力图 64 二 弹簧支座的处理 增加未知量 根据弹簧支座所在的位置 有时需要增加位移法未知量 不增加未知量 未知量 65 例8 5 2求下图示结构M图 1 未知量 解 2 杆端弯矩表达式 杆端弯矩由三部份组成 66 67 3 建立位移法方程并求解 取BC杆作为隔离体 求剪力FQBA FQCD 68 在弹簧支座A处补充平衡方程 解方程组 得 69 4 作弯矩图 70 例8 5 3作下图示连续梁的M图 1 未知量 解 令 71 2 杆端弯矩表达式 72 3 建立位移法方程并求解 取BC杆作为隔离体 求剪力FQCB 73 解方程组 得 4 作弯矩图 74 三 温度变化时的计算 在温度变化影响下 杆件轴向变形不能忽略 例8 5 4作右图示刚架M图 解 1 未知量 2 杆端弯矩表达式 75 杆BA伸长 杆BC伸长 杆BA相对侧移 杆BC相对侧移 76 由相对侧移产生的固端弯矩 由杆两侧温差产生的固端弯矩 77 总的固端弯矩为 杆端弯矩表达式为 78 3 建立位移法方程并求解 取隔离体 求剪力FQBA 79 解方程组 得 4 作弯矩图 80 8 6斜杆刚架的计算 解带斜杆的刚架 关键是如何确定斜杆两端的相对侧移 确定斜杆两端的相对侧移需要画位移图 其思路是 根据已知两个结点线位移的大小和方向确定第三个结点的线位移 如下页图示装置 已知结点A B线位移的大小和方向 求结点C的线位移 81 多边形为所求位移图 82 B 右图即为所求的位移图 作位移图具体步骤 2 过A 作AC垂线 过B 作CB垂线 两垂线交点为C 83 例8 6 1作图示刚架M图 1 未知量 解 2 画位移图 确定各杆相对侧移 84 4 建立位移法方程并求解 结点B 3 杆端弯矩表达式 85 取AB杆为隔离体 求剪力FQBA 考虑BC部分平衡 86 解方程组 得 5 作弯矩图 M图 87 例8 6 2作图示结构M图 解 1 未知量 88 2 画位移图 确定各杆相对侧移 3 杆端弯矩表达式 4 建立位移法方程并求解 89 考虑ABC部分平衡 取杆BD为隔离体 求剪力FQBD 90 5 作弯矩图 91 注意带滑动支座单跨斜梁固端弯矩及刚度系数的求解 a b q 92 e 93 8 7剪力分配法 1 横梁抗弯刚度EI 的刚架 EA总认为趋于无穷大 2 铰接排架中 横梁EA 的结构 用位移法求解时 若结构的结点位移未知量只有线位移 而没有角位移 则适用于无剪力分配法 下列两类结构可能满足上述条件 94 95 一 水平结点荷载作用的情况 例8 7 1作图示结构M图 1 未知量 解 2 杆端弯矩表达式 96 3 建立位移法方程并求解 求各柱剪力 k1 k2 k3称为柱的侧移刚度 在数值上等于该柱两端产生相对侧移 1时柱的剪力值 97 考虑ACE部分平衡 98 4 求各柱剪力并画弯矩图 i称为剪力分配系数 且有 1 可见 总剪力FP按剪力分配系数确定的比例分配给各柱 99 各柱端弯矩为 M图 100 剪力分配法解题步骤 为层总剪力 1 求各柱侧移刚度k 2 求剪力分配系数 3 求各柱剪力并作M图 101 例8 7 2作图示刚架M图 1 求各柱侧移刚度 解 令 102 2 求剪力分配系数 3 求各杆剪力并作弯矩图 将剪力标在反弯点 弯矩零点即柱中点 作弯矩图 见右图 M图