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结构力学 STRUCTUREMECHANICS 本章主要内容 9 1位移法的基本概念 9 2等截面直杆的物理方程 9 3位移法基本结构和基本未知量数目的确定 9 4位移法典型方程和算例 9 5用位移法分析具有剪力静定杆的刚架 9 6对称性的利用 9 7直接按平衡条件建立位移法方程 9 8用位移法计算结构由于支座位移和温度变化引起的内力 9 9混合法 已有的知识 2 静定结构的内力分析和位移计算 1 结构组成分析 回顾力法的思路 1 解除多余约束代以基本未知力 确定基本结构 基本体系 2 分析基本结构在未知力和 荷载 共同作用下的变形 消除与原结构的差别 建立力法典型方程 3 求解未知力 将超静定结构化为静定结构 核心是化未知为已知 5 a b 一般情况下结构上一个自由刚结点在平面上有三个位移分量 互相垂直的两个线位移和一个转角位移 见图 a 对受弯直杆应用轴向刚度条件 刚架的位移未知量变化见图 b 位移法也是计算超静定结构的基本方法之一 力法计算 9个基本未知量 位移法计算 1个基本未知量 结构在一定的外因作用下 内力和位移间恒有一定的关系 因此 也可把结构的某些位移作为基本未知量 求出这些位移 再据以确定结构的内力 三 解题思路 以图 b c d 分别代替图 b c d a 原结构 b 基本体系 1 基本体系 2 平衡条件R11 R1P 0 因为 R11 r11 Z1 见下图 所以 r11 Z1 R1P 0Z1 R1P r11 四 解题步骤 1 选取位移法法基本体系 2 列位移法基本方程 3 绘单位弯矩图 荷载弯矩图 4 求位移方程各系数 解位移法方程 五 解题示例 12 六 小结 9 2等截面直杆的物理方程 转角位移方程 一 为什么要研究等截面直杆的转角位移方程 1 位移法是以等截面直杆 单跨超静定梁 作为其计算基础的 2 等截面直杆的杆端力与荷载 杆端位移之间恒具有一定的关系 转角位移方程 3 渐近法中也要用到转角位移方程 二 杆端力的表示方法和正负号的规定 2 剪力 QAB表示AB杆A端的剪力 正负号规定同 材力 1 弯矩 MAB表示AB杆A端的弯矩 对杆端而言 顺时针为正 逆时针为负 对结点而言 顺时针为负 逆时针为正 三 两端固定梁的转角位移方程 3 固端弯矩 固端剪力 单跨超静定梁仅由于荷载作用所产生的杆端弯矩称为固端弯矩 相应的剪力称为固端剪力 用MfAB MfBA QfAB QfBA表示 a 推导 已知简支梁两端作用有集中外力偶MAB MBA 同时B支座有支座位移D 用单位荷载法求位移qA qB 然后将杆端力QAB MAB QBA MBA表示成位移的函数形式 推导是对静定梁在荷载和支座移动下 求梁两端转角位移的过程 b c 1 求qA1 qA1见上图 b d e f g 2 求qA2 qA2见图 c 3 叠加得到 由平衡条件得杆端剪力 见图 g 等截面直杆的转角位移方程 或典型单元刚度方程 4 当考虑典型单元上同时也作用荷载时的单元刚度方程 MfBA MfAB 式中 MfAB MfBA 为两端固定梁在荷载单独作用下的杆端弯矩 固端弯矩或载常数 四 一端固定 另一端铰支梁的转角位移方程 五 一端固定 另一端定向支承梁的转角位移方程 28 表9 1等截面单跨超静定梁的杆端弯矩和剪力 29 30 31 32 9 3基本未知量数目的确定 一 基本未知量 二 基本假设 1 结点角位移 2 结点线位移 1 小变形假设 2 不考虑轴力和弯曲内力 弯曲变形之间相互影响 采用上述假设后 图示刚架有3个基本未知量 三 如何确定基本未知量 4 确定线位移的方法 1 由两个已知不动点所引出的不共线的两杆交点也是不动点 1 在刚结点处加上刚臂 2 在结点会发生线位移的方向上加上链杆 3 附加刚臂与附加链杆数目的总和即为基本未知量数目 见上例 2 把刚架所有的刚结点 包括固定支座 都改为铰结点 如此体系是一个几何可变体系 则使它变为几何不变体系所需添加的链杆数目即等于原结构的独立线位移数目 35 4 确定线位移的方法 36 5 确定角位移的方法 如何确定基本未知量举例 9 4位移法典型方程及算例 图 a 中刚架在刚结点B有一个独立角位移 编号为Z1 另外结点A B C有一个独立水平线位移 编号为Z2 基本未知量和基本结构见图 b a图 b图 基本结构在外荷载q单独作用下引起的弯矩图 记为MP图 见图 C 它引起附加刚臂和附加链杆的反力矩和反力 分别用R1P R2P 图C c图 基本结构在Z1 1及Z2 1单独作用下产生的弯矩图 称为单位弯矩图 d e图 用r11 r21 r12 r22表示在相应的附加约束中产生的反力矩及反力 d图 e图 设基本结构在外荷载和独立结点位移Z1及Z2分别作用下 在附加刚臂和链杆中产生的反力矩和反力之和为R1及R2 由叠加法可得其表达式为 要使基本结构在荷载和基本未知量共同作用下的受力和原结构受力相同 故本例中R1和R2应该为零 上式既为二个未知量的位移法典型方程 计算系数和自由项 可根据单位弯矩图 以及荷载弯矩图 取隔离体 由平衡条件求得系数和自由项 计算附加刚臂中由Z1 1 Z2 1及荷载单独作用下产生的反力矩时 取结点B为隔离体 运用力矩平衡方程可求得有关刚臂中的反力矩系数和自由项 计算附加链杆中产生的反力时 取横梁ABC部分为隔离体用投影方程 可求得相应的系数和自由项 将求得的系数和自由项代入典型方程 可得 求解方程组 得基本未知量的值为 在计算位移法典型方程中的系数和自由项时 已经作出单位弯矩图 以及荷载弯矩图 可用叠加法求最后内力和作弯矩图 M M1Z1 M2Z2 MP绘弯矩图 位移法典型方程的物理意义 基本结构在外荷载和结点位移共同作用下 在每一个附加约束中产生的反力等于零 它反映了基本结构受力与原结构是相同的 实质上代表了原结构的静力平衡方程 对于具有n个独立结点位移的结构则可建立n个方程如下 几点说明 1 主系数 副系数 刚度系数 自由项 2 两类系数 附加刚臂上的反弯矩 附加链杆上的反力 3 位移法的实质 以结点未知位移表示的静力平衡条件 在位移法典型方程中 每个系数都是单位结点位移所引起的附加约束的反力 它的大小与结构刚度有关刚度愈大则反力也愈大 故把系数称为结构的刚度系数 把典型方程称为刚度方程 把位移法也叫刚度法 无论刚架 连续梁 铰接排架还是组合结构 也无论结构形式有多大差异 也不管基本未知量的类型有什么不同 只要结构的位移法基本未知量数目相同 位移法方程形式都是相同的 用位移法的典型方程方法计算各外部因素 载荷 支座位移等 作用下的各类结构内力的步骤归纳如下 1 确定原结构的基本结构和基本未知量 2 列位移法的基本方程 典型方程 3 计算系数和自由项 首先作图和图 然后用平衡条件计算系数和自由项 典型方程法的计算步骤 4 解联立方程组求基本未知量 5 求结构内力 并作内力图 6 校核 用位移法分析超静定结构时 把只有角位移没有线位移结构 称无侧移结构 如连续梁 又把有线位移的结构 称为有侧移结构 如铰接排架和有侧移刚架等 位移法应用举例 例题1试计算图示连续梁 绘弯矩图 各杆EI相同 22 5 5 依M M1X1 M2X2 MP绘弯矩图 例题2试计算图示刚架 绘弯矩图 各杆EI相同 3 绘单位弯矩图 荷载弯矩图并计算各系数 例3 试用位移法分析图示刚架 1 基本未知量 2 基本体系 计算杆件线性刚度i 设EI0 1 则 Z1 Z2 Z3 3 位移法方程 r11Z1 r12Z2 r13Z3 R1P 0 r21Z1 r22Z2 r23Z3 R2P 0 r31Z1 r32Z2 r33Z3 R3P 0 4 计算系数 r11 r12 r13 r21 r22 r23 r31 r32 r33 3 2 4 1 5 3 r11 3 4 3 10 kr12 r21 2 r13 r31 3 4 2 2 1 r22 4 3 2 9 r23 r32 Z3 1 1 2 1 2 9 8 9 8 r33 1 6 9 16 35 48 r31 r13 9 8 r32 r23 1 2 5 计算自由项 R1P R2P R3P 1 8 20 42 40 1 12 20 52 41 7 R1P 40 41 7 1 7 R2P 41 7 R3P 0 6 建立位移法基本方程 7 解方程求结点位移 8 绘制弯矩图 M图 kN m 18 6 42 8 47 8 26 7 23 8 14 9 5 3 6 8 9 3 97 9 校核 结点及局部杆件的静力平衡条件的校核 58 59 60 求得Z1 25 10 Z2 65 40 M1图 M2图 MP图 M图 kN m MBA 3 25 10 0 0 7 5kN m 左拉 MBC 8 25 10 4 65 40 24 2 5kN m 下拉 MCB 4 25 10 8 65 40 24 47kN m 上拉 MCD 0 4 65 40 0 6 5kN m 左拉 MCE 0 4 65 40 60 53 5kN m 上拉 MEC 0 4 65 40 20 26 5kN m 上拉 M M1Z1 M2Z2 MP 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 9 5用位移法分析具有剪力静定杆的刚架 对称结构在对称荷载作用下 其变形曲线 弯矩图和轴力图呈对称形 但剪力图是呈反对称形 对称结构在反对称荷载作用时则相反 在力法中 对于对称结构 已介绍过用半结构来分析 从而使计算得到简化 此方法也适用于位移法 9 6对称性的利用 一 半刚架法用半个刚架的计算简图代替原结构对刚架进行分析的方法 二 对称结构承受正对称荷载 1 奇数跨刚架 用带有定向支承的半刚架代替 2 偶数跨刚架 简化为带有固定端的半刚架 二 对称结构承受反对称荷载 1 奇数跨刚架 简化为带有竖向链杆刚架 2 偶数跨刚架 简化为中间竖柱抗弯刚度减半的半刚架 这一对剪力 将只使两柱分别产生等值反号的轴力而不使其他杆件产生内力 而原刚架中间柱的内力是等于该两柱内力之代数和 因而由剪力 所产生的轴力则刚好相互抵消 故剪力 实际上对原结构的内力和变形均无影响 因此 可将 略去而取原刚架的一半作为其计算简图 三 对称利用举例 第8章 正对称荷载作用下半边结构计算简图 反对称荷载作用下半边结构计算简图 正对称荷载作用下半边结构计算简图 正对称荷载作用下弯矩图是正对称的 反对称荷载作用下半边结构计算简图 反对称荷载作用下弯矩图是反对称的 原结构的最后弯矩图 补充例题试用位移法分析图示刚架 绘制该刚架的弯矩图 已知各杆的抗弯刚度均为EI 力法方程 式中 将r11 R1P代入力法方程 得 四 练习 4kN m 1 利用位移法计算图示结构 绘M图 已知 8m 3m 4m 2m 0 02m A B C D E F 16EI 4EI 5EI 位移法方程 34 86 17 43 73 72 4 4 34 86 17 43 结构弯矩图如下 2 试绘制结构弯矩图 已知 位移法方程 3 利用对称性绘制结构弯矩图 4 利用位移法求图示结构未知结点位移 EI为常数 9 7直接利用平衡条件建立位移法方程 一 新法 与 老法 的概念 1 新法 通过基本结构列位移法方程 进而求解结点未知位移的方法 2 老法 不通过基本结构 直接依据 转角位移方程 由原结构取隔离体 利用平衡条件直接建立位移法方程的方法 二 取隔离体建立平衡方程的解题步骤 举例 例题1试计算图示连续梁 绘弯矩图 各杆EI相同 1 写出杆端力的表达式 2 根据平衡条件列位移法方程 解方程 求得 B MBC MBA C MCD MCB 3 将求得的Z1 Z2代回杆端力表达式 绘弯矩图 例题2试计算图示刚架 绘弯矩图 各杆EI相同 1 写出杆端力的表达式 2 根据平衡条件列位移法方程 即 整理后 得 3 将求得的Z1 Z2代回杆端力表达式 绘弯矩图 解方程 求得 例9 13例9 14 9 8用位移法计算结构由于支座位移和温度变化引起的内力结构在支座位移和温度变化等因素影响下 若采用位移法的基本结构进行分析 其计算原理和计算过程仍和荷载作用下的情况相同 所不同的是典型方程中的自由项 一 由于支座位移引起的内力计算方法一 直接按平衡条件建立位移法方程例9 15已知图示刚架的支座A顺时针转动0 01rad 支座B向下沉陷0 02L 试用位移法绘制弯矩图 解 1 确定该结构的未知位移数目经分析该结构由于支座发生位移会引起刚节点D产生角位移Z1和水平位移Z2会引起铰节点B产生水平位移Z2AD杆的A端转角 AB 0 01 D端转角 DB Z1AD杆的侧位移 AD Z2 旋转角 AD Z2 LCD杆的C端转角 CD 0 D端转角 DC Z1CD杆的侧位移 CD Z2 旋转角 CD CD L Z2 LDB杆的D端转角 DB Z1DB杆的侧位移 DB 0 02L 旋转角 CD DB L 0 02 Z1 Z2 A 0 01 BD 0 02L 解 2 根据等截面直杆的物理方程式9 1或式9 2写出各杆端内力表达式 1 AD杆视为两端固定梁 A端产生转角0 01rad D端产生转角Z1 AD杆两端产生相对线位移 AD Z2MAD 4i A 2iZ1 6iZ2 L 0 04i 2iZ1 6iZ2 L 1 MDA 4iZ1 2i A 6i2Z2 L 4iZ1 0 02i 6iZ2 L 2 VAD 6iZ1 L 12iZ2 L2 0 06i L 3 VDA 6iZ1 L 12iZ2 L2 0 06i L 4 2 CD杆视为两端固定梁 D端产生转角Z1 CD杆两端产生相对线位移 CD Z2MCD 0 2iZ1 6iZ2 L 2iZ1 6iZ2 L 5 MDC 4iZ1 0 6iZ2 L 4iZ1 6iZ2 L 6 VCD 6iZ1 L 12iZ2 L 7 VDC 6iZ1 L 12iZ2 L 8 3 BD杆视为一端固定一端简支梁 D端产生转角Z1 BD杆两端产生相对线位移 BD 0 02LMDB 3iZ1 3i BD L 3iZ1 0 06i 9 VDB 3iZ1 L 3i BD L2 3iZ1 L 0 06 L 11 VBD 3iZ1 L 3i BD L2 3iZ1 L 0 06i L 12 Z1 Z2 解 3 建立位移法方程并求出未知的位移量Z1与Z3 取D结点为隔离体如图示 由 MD 0得MDA MDC MDB 0 4iZ1 0 02i 6iZ2 L 4iZ1 0 6iZ2 L 3iZ1 0 06i 011iZ1 0 04i 0解得Z1 0 04 11 4 1100 1 275Z1 1 275 D MDB MDC MDA VDA VDC D B Z1 Z2 取DB杆为隔离体如图示 由 X 0得VDA VDC 0 6iZ1 L 12iZ2 L2 0 06i L 6iZ1 L 12iZ2 L 024iZ1 L2 0 6i L 0解得Z2 L 400Z1 1 275所得位移均为正值 说明结点D B的实际位移Z2 L 400方向与所假设的位移方向相同 解 4 绘制最后弯矩图与剪力图将前面已求得的位移值Z1与Z3代入前面各杆端弯矩和剪力表达式 求出各杆端内力值 从而绘出该结构在支座移动下所产生的弯矩图与剪力图 MAD 0 04i 2iZ1 6iZ2 L 0 04i 2i 1 275 6i L 400 L 35 5i 1100MDA 4iZ1 0 02i 6iZ2 L 4i 1 275 0 02i 6i L 400 L 21 5i 1100MCD 2iZ1 6iZ2 L 2i 1 275 6i L 400 L 24 5i 1100MDC 4iZ1 6iZ2 L 4i 1 275 6i L 400 L 32 5i 1100MDB 3iZ1 0 06i 3i 1 275 0 06i 54i 1100 54 2 绘制最后剪力图VAD 6iZ1 L 12iZ2 L2 0 06i L 6i 1 275 L 12i L 400 L2 0 06i L 9i 1100LVDA 6iZ1 L 12iZ2 L2 0 06i L 6i 1 275 L 12i L 400 L2 0 06i L 57i 1100LVCD 6i1Z1 L 12iZ2 L 6i 1 275 L 12i L 400 L2 9i 1100LVDC 6i1Z1 L 12iZ2 L 6i 1 275 L 12i L 400 L2 9i 1100LVDB 3iZ1 L 0 06i L 3i 1 275 L 0 06i L 54i 1100LVBD 3iZ1 L 0 06i L 3i 1 275 L 0 06i L 54i 1100L 例9 15已知图示刚架的支座A顺时针转动0 01rad 支座B向下沉陷0 02L 试用位移法绘制弯矩图 方法二 利用位移法典型方程求解解 1 确定该结构的未知位移数目经分析该结构由于支座发生位移 A 0 01 BD 0 02L 会引起刚节点D会产生角位移Z1和水平位移Z2AD杆的A端转角 AB 0 01 D端转角 DB Z1AD杆的侧位移 AD Z2 旋转角 AD Z2 LCD杆的C端转角 CD 0 D端转角 DC Z1CD杆的侧位移 CD Z2 旋转角 CD CD L Z2 LDB杆的D端转角 DB Z1DB杆的侧位移 DB 0 02L 旋转角 CD DB L 0 02 Z1 Z2 2 取基本结构如图b所示 写出位移法典型方程 r11Z1 r12Z2 R1C 0r21Z1 r22Z2 R2C 0式中RiC分别表示基本结构单独在支座位移作用下在附加约束中产生的约束力 3 求方程中的系数rii rij和自由项RiC图b中的基本结构单独在支座位移作用下各杆端产生的固端弯矩值可由表9 1查得 MFDB 0 02L 3i L 3i 50MFDA 2i 0 01 i 50MFAD 4i 0 01 i 25 FDA 0 01 i 3i 50L根据以上结果画出基本结构单独在支座位移作用下MC图b 对结点D由 可得 R1C MFDA MFD R1C i 50 3i 50 i 25对DB杆隔离体由 X 可得 R2C 3i 50L Z2 Z2 MC图 M1图 图d为基本结构单独在Z2 1作用下的M2 对结点D由 可得 r12 6i L 6i L 0对DB杆隔离体由 X 可得 r22 12i L2 12i L2 24i L2 图c为基本结构单独在Z1 1作用下的M1 对结点D由 可得 r11 4i 3i 4i 11i对DB杆隔离体由 X 可得 r21 6i L 6i L 0 M2图 r12 r22 Z2 1 r11 r21 Z1 1 4 将前面求得的主系数rii rij和数项Ric代入典型方程中 求出位移基本未知量Z1和Z2 r11Z1 r12Z2 R1C 0即 11iZ1 0 Z2 i 25 0r21Z1 r22Z2 R2C 0 0 Z1 24i L2Z2 3i 50L 0解得 Z1 1 275Z2 L 4005 求各杆端最后弯矩值方法1 根据叠加原理 M M1Z1 M2Z2 MC方法2 根据等截面直杆的物理方程式9 1至方程式9 4 Z1 Z2 MAD 4i A 2iZ1 6iZ2 L 0 4i 0 01 2i 275 6i L L 400 44 2 4 16 5 1100 35 5i 1100 右侧受拉 式9 1 MDA 4iZ1 2i A 6iZ2 L 0 4i 1 275 2i 0 01 6i L L 400 4 4 1 22 16 5 1100 21 5