振动与波动(习题课)

大学物理习题课 简谐振动和简谐波 机械振动 简谐振动 1 振幅A 2 周期T 3 频率 4 相位 时 为初相位 位移 速度 加速度 简谐振动的判据 1 动力学判据 3 运动学判据 2 能量判据 简谐振动的种类 弹簧振子 单摆 复摆 能量 同方向 同频率简谐振动的合成 其中 阻尼振动 式中 1 阻尼振动 阻尼小 2 过阻尼振动 阻尼较大 3 临界阻尼振动 受迫振动 定态解 暂态解 式中 共振 当 时 B达最大 称位移共振 当 波函数 平面简谐波 波动 弹性模量 切变模量 波的能量和能流 平均能量密度 平均能流密度 体积模量 机械波的几个概念 波的干涉 波的衍射 惠更斯原理 波的反射 折射 相干波的条件 频率相同 振动方向相同 有恒定相位差 驻波 形成条件 半波损失 波疏 波密 波疏 波密 存在 不存在 多普勒效应 一般形式 波的叠加原理 振动与波动的比较 1 符合什么规律的运动是简谐运动 判断下列物体 物理量 的运动是不是简谐运动 1 拍皮球时球的运动 设皮球与地面的碰撞是弹性的 2 如图所示 一小球在半径很大的光滑凹球面上滑动 且假设它经过的弧线很短 提示 简谐运动不是一般的往复运动 要判断一一个物理量是否作简谐运动必须严格按照谐运动的运动学或动力学特征是否得到满足来判定 讨论题 3 质点做匀加速圆周运动 质点在直径上的投影点的运动 4 竖直悬挂的弹簧上挂一重物 将重物拉开一定距离 在弹性限度之内 然后放手任其运动 答 2 4 是简谐振动 2 伽利略曾提出并解决了这样的一个问题 一根很长的细线挂在又高又暗的城堡中 既看不见它的上端 也无法爬到高处去测量它的长度 只能看见它的下端 问如何用简便的方法测量此线的长度 3 波的能量与振幅的平方成正比 两列振幅相同的相干波叠加后加强点的振幅加倍 能量便为分振动的4倍 这是否违反了能量守恒定律 4 设在媒质中有一振源作简谐振动并产生平面余弦波 问振动的频率与波动的频率是否相同 振动的速度与波动的速度数值是否相同 方向是否相同 振动表达式的求解 1 解析法 由初始条件 代入相应表达式联立求解 已知 2 曲线法 已知曲线求 已知某质点作简谐运动 振动曲线如图 试根据图中数据写出振动表达式 3 旋转矢量图示法 1 旋转矢量 作坐标轴OX 自原点作一矢量A 规定 模 振幅 角速度 角频率 与X轴的夹角 相位 初始与X轴的夹角 初相 t t A与X轴夹角为 显然P点的坐标 即P点作简谐振动 2 矢端X轴投影的运动规律 t 0 A与X轴夹角为 3 两点说明 1 旋转矢量法是研究简谐振动的一种直观方法 2 不能把M的运动误认为简谐振动 一 一个沿x轴正向传播的平面简谐波 用余弦函数表示 在t 0时的波形曲线如图所示 1 原点O和2 3各点的振动初位相各是多少 2 画出t T 4时的波形曲线 答 1 O点 2点 3点 由图 A a 2b u 2b 对于坐标原点O有 t t 时相位为 2 解得 t 2 t 2 O点的振动方程及波动方程为 解 二 一平面简谐横波以速度u沿x轴正方向传播 在t t 时的波形曲线如图所示 试写出 1 坐标原点o的振动方程 2 波动方程 三 如图所示 在平面波传播方向上有一障碍物AB 根据惠更斯原理 定性地绘出波绕过障碍物传播的情况 波线 波线 波线 波阵面 四 一个质点同时参与两个同方向 同频率的谐振动 振动方程分别为 试用旋转矢量法求合振动的振动方程 解 五 两个同方向的简谐振动曲线 如图所示 1 求合振动的振幅 2 求合振动的振动方程 解 六 试画出谐振子的动能 振动势能和机械能随时间t而变的三条曲线 设t 0时物体经过平衡位置 T 2 t E 动能 势能 o 机械能 七 设反射波的表达式为 波在x 0处反射 反射点为一自由端 求入射波和反射波合成的驻波的波节位置所在处的坐标 解 入射波的表达式为 驻波表达式为 波节位置 八 一列横波在绳索上传播 其表达式为y1 0 05cos 2 t 0 05 x 4 1 现有另一列横波 振幅也是0 05m 与上已知横波在绳索上形成驻波 设这一横波在x 0处与已知横波同位相 写出该波动方程 2 写出绳索上的驻波方程 求出各波节的位置坐标表达式 并写出离原点最近的四个波节的坐标数值 解 1 2 九 如图 一圆频率为 振幅为A的平面简谐波沿x轴正方向传播 设在t 0时该波在原点O处引起的振动使媒质元由平衡位置向y轴的负方向运动 M是垂直于x轴的波密媒质反射面 已知OO 7 4 PO 为该波波长 设反射波不衰减 求 入射波与反射波的波动方程 P点的振动方程 解 设 处振动方程为 当 时 故入射