插值与拟合专题

数学建模方法 插值与拟合 插值与拟合的关系 在工程中 常有这样的问题 给定一批数据点 它可以是设计师给定 也可能是从测量与采样中得到 需确定满足特定要求的曲线或曲面 对这个问题有两种方法 一种是插值法 要求所求曲线 面 通过所给的所有数据点 另一种方法是数据拟合 曲线拟合与曲面拟合 人们设法找出某条光滑曲线 它最佳地拟合数据 但不必要经过所有数据点 内容提纲 1 插值问题2 数据拟合 1 插值问题 1 1 一维插值插值问题的一般提法 已知y f x 该函数未知 在互异的n 1个点x0 x1 x2 xn处的函数值y0 y1 y2 yn 构造一个过n 1个点 xk yk k 0 1 2 n的次数不超过n的多项式y Ln x 称为插值多项式 使其满足Ln xk yk 称为插值条件 然后用y Ln x 作为准确函数y f x 的近似值 此方法称为插值法 Theorem 满足插值条件的次数不超过n的多项式是唯一存在的 两点一次 线性 插值多项式 三点二次 抛物 插值多项式 1 1 1Lagrange插值法 就是满足插值条件的n次多项式 Lagrange插值多项式 上式称为Lagrange插值基函数 例1 已知数据表 解 基函数为 写出f x 的线性插值函数 并求f 1 5 的近似值 线性插值函数为 且f 1 5 L1 1 5 0 885 Lagrange插值法的缺点 多数情况下 Lagrange插值法效果是不错的 但随着节点数n的增大 Lagrange多项式的次数也会升高 可能造成插值函数的收敛性和稳定性变差 如龙格 Runge 现象 例 在 5 5 上用n 1个等距节点作插值多项式Ln x 使得它在节点处的值与函数y 1 1 25x2 在对应节点的值相等 当n增大时 插值多项式在区间的中间部分趋于y x 但对于满足条件0 728 x 1的x Ln x 并不趋于y x 在对应点的值 而是发生突变 产生剧烈震荡 即Runge现象 1 1 2分段插值法 图中看到 随着节点的增加 Lagrange插值函数次数越高 插值函数在两端容易产生龙格现象 为了改进高次插值的缺陷 就产生了分段插值 分段插值基本思想 将被插函数逐段多项式化 处理过程 将区间 a b 划分 在每个子段上构造低次多项式 然后将其拼接在一起作为整个区间 a b 上的插值函数 这样构造出的插值函数称为分段多项式 改进了多项式插值整体性太强的缺点 可以进行局部调整而不会影响整体 分段线性插值 设插值节点若 分段线性插值 1 1 3三次样条插值 分段线性插值函数在结点的一阶导数一般不存在 光滑性不高 这就导致了样条插值的提出 在机械制造 航海 航空工业中 经常要解决下列问题 已知一些数据点 如何通过这些数据点做一条比较光滑 如二阶导数连续 的曲线呢 绘图员解决这一问题是首先把数据点描绘在平面上 再把一根富有弹性的细直条 称为样条 弯曲 使其一边通过这些数据点 用压铁固定细直条的形状 沿样条边沿绘出一条光滑的曲线 往往要用几根样条 分段完成上述工作 这时 应当让连接点也保持光滑 对绘图员用样条画出的曲线 进行数学模拟 这样就导出了样条函数的概念 三次样条插值问题提出 设在区间 a b 上 已给n 1个互不相同的节点a x0 x1 xn b以及函数y f x 在这些节点的值f xi yi i 0 1 n 如果分段函数S x 满足下列条件 1 S x 在子区间 xi xi 1 的表达式Si x 都是次数为3的多项式 2 S xi yi 3 S x 在区间 a b 上有连续的二阶导数 就称S x 为f x 在点x0 x1 xn的三次样条插值函数 即Si x aix3 bix2 cix dii 0 1 nxi x xi 1 4n个变量 需要4n个方程S xi yii 0 1 n n 1个方程 S xi 0 S xi 0 i 1 n 1在xi连续 n 1个方程 S xi 0 S xi 0 i 1 n 1在xi连续 n 1个方程 S xi 0 S xi 0 i 1 n 1在xi连续 n 1个方程 再加两个条件 可在边界点x0与xn处给出导数的约束条件 称为边界条件 1 S x0 f0 S xn fn 2 S x0 f0 S xn fn 3 S x0 S xn 0自然边界条件 2个方程 可以证明 满足上述4n个线性方程组有唯一解 三次样条插值问题分析 总结 拉格朗日插值 其插值函数在整个区间上是一个解析表达式 曲线光滑 收敛性不能保证 用于理论分析 实际意义不大 分段线性插值和三次样条插值 曲线不光滑 三次样条已有很大改进 收敛性有保证 简单实用 应用广泛 1 2二维插值 二维插值是基于一维插值同样的思想 但是它是对两个变量的函数Z f x y 进行插值 求解二维插值的基本思路 构造一个二元函数Z f x y 通过全部已知结点 即f xi yi zi i 0 1 n 再利用f x y 插值 即Z f x y 二维插值常见可分为两种 网格结点插值和散乱数据插值 网格结点插值适用于数据点比较规范 即在所给数据点范围内 数据点要落在由一些平行的直线组成的矩形网格的每个顶点上 散乱数据插值适用于一般的数据点 多用于数据点不太规范的情况 第一种 网格节点 已知m n个节点 注意 最邻近插值一般不连续 具有连续性的最简单的插值是分片线性插值 二维或高维情形的最邻近插值 与被插值点最邻近的节点的函数值即为所求 1 2 1网格节点插值法 最邻近插值 将四个插值点 矩形的四个顶点 处的函数值依次简记为 f xi yj f1 f xi 1 yj f2 f xi 1 yj 1 f3 f xi yj 1 f4 1 2 1网格节点插值法 分片线性插值 插值函数为 第二片 上三角形区域 x y 满足 插值函数为 注意 x y 当然应该是在插值节点所形成的矩形区域内 显然 分片线性插值函数是连续的 分两片的函数表达式如下 第一片 下三角形区域 x y 满足 双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成 双线性插值函数的形式如下 其中有四个待定系数 利用该函数在矩形的四个顶点 插值节点 的函数值 得到四个代数方程 正好确定四个系数 1 2 1网格节点插值法 双线性插值 第二种 散乱节点 1 2 2散乱数据插值法 在T a b c d 上散乱分布n个点 一般采用反距离加权平均法 基本思想 在非给定数据的点处 定义其函数值由已知数据按与该点距离的远近作加权平均决定 记则二元函数 曲面 定义为 如此定义的曲面是全局相关的 对曲面的任一点作数据计算都要涉及到全体数据 这在大量数据中是很慢的 但因为这种做法思想简单 人们对它进行了种种改进 2 1一维插值函数 yi interp1 x y xi method nearest 最邻近插值 linear 线性插值 spline 三次样条插值 cubic 立方插值 缺省时 分段线性插值 注意 所有的插值方法都要求x是单调的 并且xi不能够超过x的范围 2 用MATLAB解插值计算 解在命令窗口输入 例1在一天24h内 从零点开始每间隔2h测得的环境温度为 12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13 单位 推测在每1s时的温度 并描绘温度曲线 t 0 2 24T 129910182428272520181513 plot t T ti 0 1 3600 24T1i interp1 t T ti plot t T ti T1i r T2i interp1 t T ti spline plot t T ti T1i r ti T2i g 例2在飞机的机翼加工时 由于机翼尺寸很大 通常在图纸上只能标出部分关键点的数据 某型号飞机的机翼上缘轮廓线的部分数据如下 x04 749 051938577695114133 y05 238 111 9716 1517 116 3414 6312 166 69 x152171190 y7 033 990 x 04 749 051938577695114133152171190 y 05 238 111 9716 1517 116 3414 6312 169 697 033 990 xi 0 0 001 190 yi interp1 x y xi spline plot xi yi 要求x0 y0单调 x y可取为矩阵 或x取行向量 y取为列向量 x y的值分别不能超出x0 y0的范围 z interp2 x0 y0 z0 x y method nearest 最邻近插值 linear 双线性插值 cubic 双三次插值缺省时 双线性插值 2 2用MATLAB作网格节点数据的插值 插值函数griddata格式为 cz griddata x y z cx cy method 要求cx取行向量 cy取为列向量 nearest 最邻近插值 linear 双线性插值 cubic 双三次插值缺省时 双线性插值 2 3用MATLAB作散点数据的插值计算 例海底曲面图 例 在某海域测得一些点 x y 处的水深z由下表给出 在矩形区域 75 200 50 150 内画出海底曲面的图形 海底曲面图程序 x 129140103 588185 5195105157 5107 57781162162117 5 y 7 5141 52314722 5137 585 5 6 5 81356 5 66 584 33 5 z 48686889988949 plot3 x y z o holdon 原始数据点 插值cx 75 0 5 200 cy 70 0 5 150 cz griddata x y z cx cy cubic 三次插值meshz cx cy cz 海底曲面图结果 曲线拟合的一般提法 已知一组 二维 数据 即平面上n个点 xi yi i 1 n 寻求一个函数 曲线 y f x 使f x 在某种准则下与所有数据点最为接近 即曲线拟合得最好 常采用的方法是最小二乘拟合法 y f x i为点 xi yi 与曲线y f x 的距离 3 数据拟合 用Matlab解最小二乘拟合 多项式拟合 方法 在线性最小二乘拟合中 用的较多的是多项式拟合 则Matlab中有现成的函数a polyfit x0 y0 m 其中输入参数x0 y0为要拟合的数据 m为拟合多项式的次数 输出参数a为拟合多项式系数多项式在x处的值y可用下面的函数计算y polyval a x 例某乡镇企业1990 1996年的生产利润如下表 年份1990199119921993199419951996利润 万元 70122144152174196202试预测1997年和1998年的利润 解作已知数据的的散点图 x0 1990199119921993199419951996 y0 70122144152