第三章流体运动学和流体动力学基础3

第三章流体运动学和流体动力学基础 3 1研究流体运动的方法 3 2流动的分类 3 3迹线 流线 流束 过水断面和流量 3 4连续性方程 3 5理想流体的运动微分方程 3 7动量方程及其应用 3 8动量矩方程 3 6伯努利方程及其应用 用向量表达 或 理想 欧拉 流体运动微分方程式 适用范围 可压缩 不可压缩流体 当dv dt 0时即为流体平衡微分方程 理想流体运动微分方程式 称为理想流体微元流束的伯努利方程 该方程的适用范围 理想不可压缩均质流体在重力作用下作定常流动 并沿同一流线 或微元流束 若1 2为同一条流线 或微元流束 上的任意两点 则 在特殊情况下 绝对静止流体V 0 可以得到静力学基本方程 图3 16总水头线和静水头线 1 实际流体总流的伯努利方程式2 实际流体总流的伯努利方程的适用条件 a 不可压缩流体 constant b 恒定流动 c 只在重力作用之下 质量力只有重力 d 沿流程流量保持不变 qv1 qv2 qv3 e 所选用的过流断面必须是缓变过流断面 实际流体总流的伯努利方程式 V B A Z Z 皮托管测速原理 测压管 测速管 皮托管 将测速管的一端正对着来流方向 另一端垂直向上 这时测速管中上升的液柱比测压管内的液柱高h 这是由于当液流流到测速管入口前的A点处 液流受到阻挡 流速变为零 则在测速管入口形成一个驻点A 驻点A的压强PA称为全压 在入口前同一水平流线未受扰动处 例如B点 的液体压强为PB 速度为V 应用伯努利方程于同一流线上的 两点 则有则 只要测量出流体的运动全压和静压水头的差值h 就可以确定流体的流动速度 由于流体的特性 以及皮托管本身对流动的干扰 实际流速比计算出的要小 因此 实际流速为式中 流速修正系数 一般由实验确定 0 97 如果测定气体的流速 则无法直接用皮托管和静压管测量出气柱差来 必须把两根管子连接到一个 形差压计上 从差压计上的液面差来求得流速 如图所示 则 考虑到实际情况 文特里 Venturi 流量计文特里流量计主要用于管道中流体的流量测量 主要是由收缩段 喉部和扩散段三部分组成 它是利用收缩段 造成一定的压强差 在收缩段前和喉部用 形管差压计测量出压强差 从而求出管道中流体的体积流量 以文特里管的水平轴线所在水平面作为基准面 列截面1 1 2 2的伯努利方程由一维流动连续性方程 所以 上式表明 若 液 A2 A1已知 只要测量出h液 就可以确定流体的速度 流量为 考虑到实际情况式中Cd为流量系数 通过实验测定 有一贮水装置如所示 贮水池足够大 当阀门关闭时 压强计读数为2 8个大气压强 而当将阀门全开 水从管中流出时 压强计读数是0 6个大气压强 试求当水管直径d 12cm时 通过出口的体积流量 不计流动损失 解 当阀门关闭时 根据压强计的读数 应用流体静力学基本 方程求出 值 则 当阀门全开时列1 l 2 2截面的伯努利方程 水流通过如所示管路流入大气 已知 形测压管中水银柱高差 h 0 2m h1 0 72mH2O 管径d1 0 1m 管嘴出口直径d2 0 05m 不计管中水头损失 试求管中流量qv 解 首先计算1 1断面管路中心的压强 因为A B为等压面 列等压面方程得 列1 1和2 2断面的伯努利方程 由连续性方程 将已知数据代入上式 得 管中流量 在许多工程实际问题中 可以不必考虑流体内部的详细流动过程 而只需求解流体边界上流体与固体的相互作用 这时常常应用动量定理直接求解显得十分方便 例如求弯管中流动的流体对弯管的作用力 以及计算射流冲击力等 由于不需要了解流体内部的流动型式 所以不论对理想流体还是实际流体 可压缩流体还是不可压缩流体 动量定理都能适用 3 7动量方程及其应用 一 定常流动的动量方程根据动量定理 流体系统动量的时间变化率等于作用在系统上的外力矢量和 即 设不可压缩流体在管中作定常流动 取有效截面1 1和2 2之间的流段作为研究对象 两流段在质量力 两截面上的压强和管壁的作用力的作用下 经过dt时间后从位置1 2流到1 2 流段的动量发生了变化 其变化等于流段在1 2 和1 2位置时的动量之差 于是在dt时间内流段的动量变化就等于2 2 段的动量和1 1 段的动量之差 考虑到平均流速和实际流速计算的误差 引入一个动量修正系数 加以修正 实验测定值约为1 02 1 05 近似于l 所以为计算方便 在工程计算中通常取 1 根据不可压流体一维流动总流的连续性方程 流过截面1 1的流量和流过截面2 2的流量相等 即 不可压缩流体定常流动的动量方程 写成分量形式为 管流的定常动量方程常用于求解作用在管道上的动水反力等问题 在定常流动中 可以有某一段流体进 出口的流速变化 而不需要知道这一流段的内部情况 就可以求出流体所受外力的合力 即管壁对流体的作用力 从而求出流体对管壁的作用力 由于动量方程是一个矢量方程 所以应用投影方程比较方便 应用时应注意 适当地选择控制面 完整地表达出控制体和控制面上的外力 并注意流动方向和投影的正负等 二 动量方程应用举例 例 水平放置在混凝土支座上的变直径弯管 弯管两端与等直径管相连接处的断面1 1上压力表读数p1 17 6 104Pa 管中流量qv 0 1m3 s 若直径d1 300 d2 200 转角 600 如图所示 求水对弯管作用力F的大小 解 水流经弯管 动量发生变化 必然产生作用力F 而F与管壁对水的反作用力R平衡 取管道进 出两个截面和管内壁为控制面 如图所示 坐标按图示方向设置 管道水平放置在xoy面上 将R分解成Rx和Ry两个分力 1 根据连续性方程可求得 则得 2 列管道进 出口的伯努利方程 3 所取控制体受力分析 壁面对控制体内水的反力Rx Ry 其方向先假定 进 出口控制面上得总压力 4 写出动量方程 选定坐标系后 凡是作用力 包括其分力 与坐标轴方向一致的 在方程中取正值 反之 为负值 沿x轴方向 则 沿y轴方向 则 管壁对水的反作用力 水流对弯管的作用力F与R大小相等 方向相反 3 8定常流动的动量矩方程 应用动量方程可以确定液流与边界之间总作用力的大小和方向 但不能给出作用力的位置 如要确定其位置 可参照力矩平衡方程求合力作用点的方法 用动量矩方程求得 水流通过水轮机或水泵等流体机械时是在叶片所形成的通道内 这时水流与叶片之间有力的作用 受水流作用的转轮叶片本身又绕一固定轴转动 在分析这类流动时也需要了解水流的动量矩变化与外力矩之间的关系 在一般力学中的动量矩 一个物体单位时间内对转动轴的动量矩的变化 等于作用于此物体上所有外力对同一轴的力矩之和 这就是动量矩定理 设有一水泵的叶轮如所示 液流从叶轮外周进入 入流的方向与圆周切线方向成一夹角 1 其绝对速度为 1 液流从内周流出 出流方向与圆周切线方向成夹角