两角差的余弦公式片段教学设计(.doc

两角差的余弦公式片段教学设计（人教A版必修4 第三章 第3.1.1节）一、教材分析本节课是高中数学必修4（人教版）第三章3.1.1两角差的余弦公式的内容，教学安排是1课时。在学习本章之前我们刚刚学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为本章基础，运用向量知识论证，即降低了难度，使学生容易接受。又为学习后续三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决奠定了坚实基础。二、教学目标分析理解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；理解两角差的余弦公式。1知识与技能通过对两角差的余弦公式的推导，使学生体会应用向量解决数学问题的技能。2过程与方法以“问”为本，序列问题导入，利用两角差的余弦公式推导过程，使学生体会向量在代数几何方面运用的方式方法。3情感态度与价值观通过引导学生主动参与、大胆猜想独立探索、激发学生学习兴趣，形成探究、证明、应用的获取知识的方式。三、教法分析利用引导探究的方法，在课程开始之初，提出问题，引发学生求知欲望。利用启发式为主的教学方法全面深入分析两角差的余弦公式的论证过程。并用例题与课后练习巩固所学内容。四、学法分析积极主动参与两角差的余弦公式的论证过程，重点理解利用向量数量积论证公式的过程。采用“创设情境-提出问题-探索尝试-启发引导-解决问题”的过程，探究归纳出两角差的余弦公式。五、教学重点、难点分析重点：两角差的余弦公式的推导.难点：在单位圆中利用向量数量积的定义与坐标运算公式，推导出两角差的余弦公式。解决难点的关键是，搞清向量夹角的范围，运用数形结合的思想，使角的关系变得形象直观，容易找到与向量的夹角之间的等量关系，从而降低难度，化解难点。六、教学用具分析多媒体课件七、教学过程分析1、以境激情(引入)教师：引入兴宁最新景点熙和湾花灯塔布置彩带，如何计算彩带长度。教师投影出熙和湾花灯塔图片【设计意图】提高学生的家乡自豪感，激发他们的数学学习兴趣。2、研探论证（1）结合花灯塔实际问题，提出：我们已经知由此我们能否得到的值呢？对于你们同意这个观点吗？说说理由？教师：提出问题：究竟该如何计算？对于求角的余弦值这种问题，我们有哪些方法？学生：回忆三角函数定义、三角函数线以及平面向量数量积运算等相关知识。复习两个向量数量积的定义与坐标运算公式：定义式：；坐标式：【设计意图】通过熟知的特殊角余弦值引入问题，引发认知冲突，引出本节课题。使学生明确数学是一门严谨的科学，激励学生探索新知。通过带有指向性的问题，使学生意识到，向量方法可能是解决问题的工具，引导学生建立向量使用的数学环境，培养学生自主探索和数形结合的能力。（2）问题1：设向量，试分别计算及比较两次计算的结果，你能发现什么？教师：引导学生尝试用向量数量积两次计算来探究如何计算.学生：通过两次计算发现（3）问题2：如果将两个向量对应的角换成其他的角，同样两次计算 ，你会有什么发现？ 教师：让学生进一步明晰两角差的余弦公式的“型”.学生：通过两次计算又发（4）问题3：向量对应的角为任意角，向量对应的角为，结果又如何？教师：通过问题3 ，可以把公式的特殊性到一般性过度学生：通过两次计算再发现（5）问题4：如果向量对应的角也为任意角，同样有所发现，这个发现与你期待的结果一致吗？教师：引导学生顺利总结出两角差的余弦公式。学生：通过两次计算再发现（6）问题5：请你给出它的证明。 在平面直角坐标系中作单位圆，以轴非负半轴为始边作角，它们的终边与单位圆的交点分别为、，则，；试用、两点的坐标表示的余弦值。教师：引导学生经历用向量方法探索求，结合图形，明确应选择哪几个向量，它们怎么用坐标表示？怎样利用数量积计算公式得到推导结果？学生：一方面，计算坐标公式，另一方面，从定义式计算得出结论（7）问题6：这里的与向量的夹角有什么关系？结合计算机图形语言和三角函数诱导公式对公式的严密性进行论证。根据终边相同的角的性质，教师：引导学生思考,的范围，完善公式的推导。学生：提出的任意性，而向量夹角为 ，学生产生疑惑：与向量之间的夹角有什么关系呢？（1）当时如图， 则 又 （2）当时思考：上面图中向量的夹角是怎样的？，范围是怎样的？（，且）正与向量夹角的范围相符，所以我们自然地列出了表达式，但是的范围可不可能超出呢？ 探究：将OA旋转到下图的位置，显然此时已经不是向量的夹角，在范围内，是向量夹角的补角.我们设夹角为，则 此时， ， 综上，对任意角都有（8）得出公式，总结结构特征教师：引导学生说出两角差的余弦公式的结构特点。学生：发现公式左边是差角的余弦，右边是单角同名三角函数值乘积之和.激发学生的成功欲。3、解决问题【设计意图】解决课前问题，通过应用数学公式，熟悉公式，体验解决实际问题的成功感，提高学习数学的兴趣。4、课堂小结通过本节课的学习你有哪些收获？（1）探索并证明了两角差的余弦公, 经历了，猜想 探究证明 ,利用向量法得出了：在证明公式的过程中，我们利用了向量这一简洁有效的工具，在后面的学习中我们会继续感受它的便利。（2）所涉及的数学思想与方法:猜想、化归与转化、数形结合、分类讨论。【设计意图】让学生在课堂小结中进行自我评价，回顾当堂所学，交流学习体会.注意公式特征，正用，逆用和角的拼凑！在探究问题时，结合所学知识，要大胆猜想，细心证明。八、评价分析1、本节课采用“创设情境-提出问题-探索尝试-启发引导-解决问题”的过程来实现教学目标。有利于知识产生、发展、解决这一认知过程的完整体现。 2、通过本堂课的学习，理解两角差的余弦公式论证过程，掌握论证过程中分类讨论思想的运用，能够初步运用两角差的余弦公式进行简单的运算。九、教学设计分析教学的最高的目标，是把一个复杂的问题，处理得通俗易懂。两角差的余弦公式，有多种证明方法，在教材改革过程中也经历过不同的尝试。这是因为在教学过程中，教法和学法的选择往往是上位的，它直接决定了问题处理起来的难易程度。本书采用的“向量数量积”的方式，是较简单的一种方式，而难点也由此产生，要根据向量夹