线性习题答案线性代数答案北京邮电大学出版社戴斌祥主编.doc

word格式整理版线性代数习题及答案习题一（A类）1. 求下列各排列的逆序数.(1) 341782659； (2) 987654321；(3) n(n-1)321； (4) 13(2n-1)(2n)(2n-2)2.【解】(1) (341782659)=11;(2) (987654321)=36;(3) (n(n-1)321)= 0+1+2 +(n-1)=;(4) (13(2n-1)(2n)(2n-2)2)=0+1+(n-1)+(n-1)+(n-2)+1+0=n(n-1).2. 求出j，k使9级排列24j157k98为偶排列。解：由排列为9级排列，所以j,k只能为3、6.由2排首位，逆序为0,4的逆序数为0，1的逆序数为3，7的逆序数为0，9的为0，8的为1.由0+0+3+0+1=4，为偶数.若j=3,k=6，则j的逆序为1，5的逆序数为0，k的为1,符合题意；若j=6,k=3,则j的逆序为0，5的逆序数为1，k的为4，不符合题意.所以j=3、k=6.3. 写出4阶行列式中含有因子的项。解：D4=由题意有：故D4中含的项为：即为：4. 在6阶行列式中，下列各项应带什么符号？（1）；解：因为，所以该项带正号。（2）解：因为，所以该项带正号。5. 用定义计算下列各行列式.(1)； (2). （3）【解】(1) D=(-1)(2314)4!=24; (2) D=12.（3）由题意知：所以6. 计算下列各行列式.(1)； (2) ；(3)； (4) .【解】(1) ;(2) ;7. 证明下列各式.(1) ；(2) ； (3) (4) ；(5) .【证明】(1) (2) (3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故(4) 对D2n按第一行展开，得据此递推下去，可得(5) 对行列式的阶数n用数学归纳法.当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n-1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立.按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：但由归纳假设从而有8. 计算下列n阶行列式.(1) (2) ；(3). (4).【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n-1),得将第一行乘（-1）后分别加到其余各行，得(2) 按第二行展开(3) 行列式按第一列展开后，得(4) . 即有 由 得 .9. 计算n阶行列式.【解】各列都加到第一列，再从第一列提出，得将第一行乘（-1）后加到其余各行，得10. 计算阶行列式（其中）.【解】行列式的各列提取因子,然后应用范德蒙行列式.11. 已知4阶行列式D中第3列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次为8，7，2，10，求行列式D的值。解：D=，12. 用克拉默法则解方程组.（1） （2）(3) (4) 【解】（1）因为D=；D1=；D2=所以（2）因为D=D1=D2=D3=所以(3)方程组的系数行列式为故原方程组有惟一解，为13. 满足什么条件时，线性方程组有唯一解？解：D= =要使方程组有唯一解，必须D，于是：解得：当不等于1，时，方程组有唯一解。14. 和为何值时，齐次方程组有非零解?【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式即故或时，方程组有非零解. 15. 求三次多项式，使得【解】根据题意，得这是关于四个未知数的一个线性方程组，由于故得于是所求的多项式为（B类）1. 已知n阶行列式D的每一列元素之和均为零，则D= 。解： 令D=2.D3. 写出行列式D4=的展开式中包含和的项。解：令D4=比较可得：只有当时，才能出现项，当时，为项，故中含项为：含项为：。4. 已知4阶行列式D4=，试求，其中为行列式D4的第4行第j列的元素的代数余子式。解：因为D4=所以5. 解方程解：因D=+故由D=0可得：因为=所以6. 求出使一平面上三个点位于同一直线上的充分必要条件.【解】设平面上的直线方程为ax