大学物理电磁学典型习题

部分习题解答第一章 静止电荷的电场1、10 解：（一定要有必要的文字说明）在圆环上与角度相应的点的附近取一长度，其上电量 =，该电荷在O点产生的场强的大小为 的方向与有关，图中与电荷 对O点的径矢方向相反。其沿两坐标轴方向的分量分别为 整个圆环上电荷在圆心处产生的场强的两个分量分别为所以圆心处场强为 E = Ey j = j 1、11 解：先将带电系统看成一个完整的均匀带电圆环计算场强，然后扣除空隙处电荷产生的场强；空隙的宽度与圆半径相比很小，可以把空隙处的电荷看成点电荷。 空隙宽度，圆半径，塑料杆长杆上线电荷密度 一个均匀带电圆环，由于电荷分布关于圆心对称，环上对称的二电荷元在圆心处产生的场强互相抵消，因而整个圆环在圆心处的场强E1= 0空隙处点电荷设为q/，则q/ =，他在圆心处产生的场强 方向由空隙指向圆心。空隙处的电荷实际上不存在，因此圆心处场强等于均匀带电圆环在该点产生的场强与空隙处电荷在该点产生的场强之差，故 负号表示场强方向从圆心指向空隙。1、12 解：设想半圆形线CAD与半圆形线ABC构成一个圆形如图，且圆上线电荷密度均为。在角处作角，在半圆形线CAD和直线CM上分别截出线段和，上电荷在圆心O处产生的场强 由图可知。 故 上电荷在O点处产生的场强 这里有 可见=，且二者的方向也相同，故上电荷在O点产生的场强等效于上电荷在O点产生的场强。由此可推出半圆形线CAD中的CD段（占二分之一）上的电荷在O点产生的场强等效于直线CM上电荷在O点产生的场强，DA段上的电荷在O点产生的场强等效于直线AN上电荷在O点产生的场强。总之图中所示电荷系统在O点产生的场强等效于均匀带电圆形线在圆心O处产生的场强，由于均匀带电圆形线上电荷分布相对于圆心是对称的，圆心处场强为零，因此该电荷系统在O点产生的场强为零。 1、17 解：（本题电荷分布具有对称性，故应运用高斯定律求解）（第一步应首先进行对称性分析，明确电场的分布特点）。在无限长均匀带电薄壁圆筒上电荷分布具有轴对称性，从而决定了电场分布也具有轴对称性，表现在与圆筒轴线等远处的场强大小相等，各点场强的方向都与轴线垂直。 考虑圆筒外一点P（该点应为电场所在空间具有一般代表性的任意一点）， 该点至轴线的距离为r。为求P点的场强，过P作一与带电圆筒共轴的圆柱形闭合高斯面，柱高为h，底面半径为r (如图），在圆柱面的侧面上各点场强的大小相等，方向与侧面垂直，所以通过侧面的电通量为圆柱两底面上各点的场强方向与底面平行，故通过两底面的电通量均为零。因此通过整个高斯面的电通量 高斯面所包围的带电薄壁圆筒的面积为，所包围的电量为 ，根据高斯定律 可得P点的场强为 如果P点在圆筒内，有同样的分析，在圆筒内的高斯面的电通量仍可表示为，但高斯面内无电荷，据高斯定律可得E=0。1、20解：（解题思路：将带电厚壁分割成无限多个连续带电薄平面，总电场的分布为各个带电平面产生的场强的叠加）。在厚壁内取一厚为且与壁面平行的薄壁，这就是一个无限大均匀带电平面，其面电荷密度（因，而）。它壁外右侧的任意点P1（如图）产生的场强是 整个带电厚壁是由无限多平行均匀带电薄层连续组成的，每一带电薄层在点P1产的电场方向相同，根据场强叠加原理，点P1的场强大小为 由此可知，在厚壁外右侧的电场是均匀电场。根据同样的讨论可知，在厚壁外左侧场强大小和右侧相同，只不过方向相反。 在厚壁内部坐标为x处作一平面与x轴垂直，这一平面将厚壁分为左、右两部分。 根据前面的讨论，左部电荷在平面上任意点的场强，右部电荷在平面上同一点的场强 ，二者方向相反，该点的合场强为 E = E1E2 =，当x0时E与x轴同向；当x0时E与x轴反向。1、22 解：（本题应根据其特点采用下述的巧妙方法。注意培养学生发散思维能力） （说明解题思路）球形空腔中体电荷密度为零，因而空腔中的电场可归结为一个半径为R、体电荷密度为的均匀带电球体和一个半径为r、体电荷密度为的均匀带电球体所产生的电场的叠加。 设空腔内任意点P对大球中心O的径矢为c，对空腔中心O/ 的径矢为b，O/ 对O的径矢为a （如图）。已知大球在P点产生的场强为E1c ；小球在P点产生的场强为E2b 。P点的合场强为 E = E1 + E2 =（c b）=a。 E与P点的位置无关，因此，空腔内的电场是均匀的。 第三章 电 势3、6解：（1）沿杆长方向作x轴，杆的一端作原点（如图），在杆上坐标x处取一杆元，所带电量=。此电荷元在距杆的另一端为a的点P处产生的电势为 整个带电杆在点P产生的电势为 （2）类似的讨论可得细杆中垂线上任意点的电势 3、9 解：（1）无限长均匀带电圆柱的电场具有轴对称性，为求柱内某点P（与轴线距离为r如图）的场强，过P点作一共轴闭合圆柱面，其底面半径为r，高为h。由于电场方向与轴线垂直，只有圆柱面的侧面有电通量，其值为 闭合柱面所包围的电量 据高斯定律有 得 应用高斯定律同样可求得带电圆柱体外一点的场强，不同的是，所作闭合圆柱面内的电量为。因此圆柱外距轴线为r的一点处的场强为 （2）若以轴线为电势零点，则圆柱内距轴线为r处的电势 圆柱外距轴线r处的电势 3、14 解：(1)以均匀带电圆环轴线上距圆心x处产生的电势为因此在图中所示双环轴线上距对称中心x处的电势为(2)(略)第四章 静电场中的导体4、2 解：（思路：要知道各处的电势分布，应先了解导体各表面的电荷分布，而本题给出了内球电势和外球所带的电量，故应设法利用这些条件先球得内球表面所带电量）设导体球面上的电量为,根据高斯定律可知，导体壳内表面感应电荷为，外球所带总电量为Q，因此球壳外表面上电量为 (+Q)。于是这个电荷系统可认为上由三个半径分别为R1、R2、R3，电量分别为、(+Q)的共心均匀带电球面所组成。对内球来说，其电势 由此方程可解得 据此可求得此系统各处的电势和电场分布内球内（ R1）：= =0内外球之间 （）：， 外球内（）； 4、3 解：在球壳B内作一包围内腔的高斯面，由于球壳内场强处处为零，此高斯面的电通量为零。根据高斯定律，球壳B的内表面上所带电量与球A所带电量等值异号，所以 球壳B总电量为，因此其外表面上电量为 球A的电势为 将球壳B接地时，其电势变为零。因为与等量异号，它们在球壳B产生的电势之和为零，所以球壳外表面不再有电荷。球壳B与地断开后，再将球A接地时，电荷将重新分布。设球A、球壳B内表面、球壳B外表面上电量分别为、 。因此= 0，于是有 注意到这时仍有 而且 于是得到 解此方程得到 ， 金属球A接地，电势= 0，球壳B的电势为 4、5 解：（必要的文字说明）从上到下设各导体板表面上面电荷密度分别为、，相邻两板距离分别为 、（如图），在上板和中板之间电场方向垂直面板。作底面为单位面积的闭合圆柱面，二底面分别位于二导体板内，圆柱面的轴线与板面垂直，则此闭合圆柱面电通量为零。根据高斯定律可得= -同理 = -，忽略边缘效应，则导体板可看成是无限大的，具有屏蔽性，在相邻导体板之间的电场只由相对二表面上的电荷决定。因此，上板和中板之间的场强、中板和下板之间的场强分别为 和上班和下板相连接，因此相邻两板的电势差相等，即=由此可得=，设中板总面电荷密度为，则+= 据此可解得 在上板内任意点场强均为零，它是6个无限大均匀带电平面在该点产生的场强的叠加的结果，故有（符号问题：注意各面对会产生的场强的方向均以垂直板面指向外为参考正方向）结合前面的同理可推知=，上下两块导体板原来是不带电的，根据电荷守恒定律，二导体板表面出现感应电荷后，总电量仍为零。因此有+= 0这样便得到=4、6 解：由于静电屏蔽的原因，点电荷和不能在点电荷所在的空腔内产生电场。因此，受到的作用力为零。同理受到的作用力也为零。 在导体内作一闭合曲面包围所在空腔，导体内场强处处为零，因此闭合曲面的电通量为零，根据高斯定律，空腔壁上有电量-。同理在所在空腔壁上也有电量-。这导体本身的总电量为零，可见在导体球外表面上电荷的电量为（+）。由于距导体球很远，忽略它对导体球外表面电荷分布的影响，在电荷在外表面上时均匀分布的。它在所在处产生的场强受到的作用力为显然这个力的计算是近似的。 4、7 解：在处于静电平衡的导体表面外侧一点，场强为（方向指向外法线方向） 这是空间所有电荷在该点产生的合场强。就这点所邻近的表面上面积为上电荷而言，它在该点所产生的场强为，因此其他电荷在该点产生的场强为 。这也是其他电荷在面积处产生的场强。该面积上电荷所受电场力。单位面积受的力为 显然无论为何种电荷其方向总是垂直表面指向外。第五章 静电场中的电介质5、2 解：（1）两个薄金属球壳和两层电介质将空间划分为四个区，由于电荷分布具有球对称性，且内球壳带负电，所以各区D和E的方向都与场点对球心的径矢方向相反。各区D和E的大小分布情况如下：内球内（ R1）：D=0， E=0 第一层介质内 (R）：由于电场具有球对称性，在半径为r的与球壳同心的球面上的电位移通量为 根据高斯定律 因此 第二层介质内（RrR2）： ，（2）内、外球壳之间的电势差为 （3）第一层介质内表面上面束缚电荷密度为 5、3 解：如图是共轴导体圆筒的纵剖面图。过内层介质内与轴线相距r的一点作一闭合共轴圆柱面，其底面半径为r，高为h。两筒带电后，电场具有轴对称性，闭合圆柱面上只有侧面部分存在电位移通量。因此这一闭合圆柱面的电位移通量为 设内筒上线电荷密度为，根据D的高斯定律有 因此 ， （R1 r r 0 ） 同理，在外层介质内的场强为 （r 0 r R2） 在两层介质内，最大场强分别为 所以E1max E2max当电压升高时，外层介质内表面先击穿。两筒间的电势差 电介质不被击穿的条件是E2max Emax，即代入电势差表达式中得到5、12 解：设盖革计数管所带电量为Q，管长为，则线电荷密度 在金属丝与同轴圆筒之间的场强 设金属丝与圆筒的直径分别为和，则它们的电势差故电容 5、14 解：设平行板电容器每个板的面积为S，两板距离为，两板到盒子上下底面的距离均为。在电容器放进盒子以前，其电容设为C0；放进盒内后，电容器的上方平板与金属盒的相对表面具有电容，相当于一个电容器，设电容为C1；电容器下方平板与金属盒的相对表面具有电容设为C2。C1 和C2是串联组合关系，这个串联组合和C0是并联组合。这个的电容为 式中 ，所以 如果一个板和盒子用导线连接起来，则整个系统就是C0和C1（或C2）的并联，其电容为5、15 解：作垂直与电容器宽边的截面图，沿电容器下板长度方向作x轴。设两板之间的夹角为，由图可知，在下板坐标x处取长为、宽为b的窄条，它与上板位于它的正上方的相应窄条的距离为 这两块相对的窄条形金属板可看成是一个电容器，当电容器充电时，这两块条形板之间电场近似均匀，且电场方向近似垂直于二板面。它们不同于独立存在的二平行相对导体板，不存在电场的边缘效应。因此，它们所构成的电容器的电容为 整个电容器的电容 5、16 解：设两平行板间距离为d ，介质板厚度为d / ，插入前电容器电势差为U，插入后电势差为U/。电容器上面电荷密度为。插入介质板前，电容器内场强 电势差插入介质后，电容器内空气中场强仍为E，介质内场强两板间电势差 而 U/ = 0.60U因此有解此方程得5、21 解：已知一球形电容器的电容为 它也可看成是两个半球形电容器的并联组合，因此半球形电容器的电容 ， 未充油时 当该电容器下半部充油时，它是一个未充油的半球形电容器和一个充油的半球形电容器组成的并联。其电容充油后和充油前电容的相对变化量为第六章 恒定电流6、8 解：（1）在绝缘层内距轴线处作一半径为、厚为、长为L同轴圆柱形薄壳，此薄壳沿径向的电阻，电缆沿径向的电阻则为 电缆沿径向的电流6、9 解：在电容器内作一半径为、厚为的同心球壳，此球壳的径向电阻为球形电容器的漏电阻即为6、14 解：由图可知 ， 右回路的电压方程为 左下回路的电压方程为 外围大回路的电压方程为 联立以上方程即可解得第七章 磁 力7、4 解：电子的动能 故 在横向地磁场的作用下，电子沿弧形轨道运动，规定半径为设电子抢到屏的距离为，则电子到达屏时它的偏转距离为7、9 解：（1）交流电源的频率应和电子回旋频率相等，即 （2）氘核由加速器射出时的速度 其能量7、13 解：设。硅片的电阻 因此电流 ，硅片的霍耳电压 由此可得7、15 解：设管道横截面二边长沿电流方向为a，沿磁场方向为b，管内电流强度为 ，所受磁场作用力为方向导电液体的流动方向。 因此段两端由磁力产生的压力差为（2）由上式可得 第八章 磁场的源8、4解：环中心O位于直线电流的延长线上，电流的直线部分在该点不产生磁场。设铁的优弧长为，电流为；劣弧长为，电流为。因为优弧与劣弧电压相等，所以，。铁环粗细均匀，电阻率一定，因此电阻与长度成正比，优弧上电流在O点产生的磁场方向垂直于纸面向外。设为铁环半径，则磁感应强度大小为， 同理劣弧上电流在O点产生的磁感应强度 方向垂直于纸面向内。O点的总磁感应强度8、5 解：（1）两导线在该点产生的磁场方向都是垂直纸面向外。磁感应强度，该点总的磁感应强度 （2）在斜线面积上距为处取长为、宽为的条形面积，该面积上的磁感应强度为方向与面积垂直，故该面积上的磁通量，斜线面积上的磁通量即为 8、6 解：取半圆形的圆心O为原点，轴线方向为X轴，半径方向为Y轴，垂直于半径指向弧线方向为Z轴正方向建立空间直角坐标系，P为轴线上任意一点，在半圆形的任意点A取一电流元，设OA与Z轴夹角为，AP =，为AP与X轴之间的夹角。根据毕奥-萨法尔定律，此电流元在P点产生的磁感应强度为，根据方向关系可知其大小为 方向与AP垂直，且在AOP平面上。沿X轴的分量为与X轴垂直的分量的大小为 ，方向与OA的方向相反。沿Y轴和Z轴的分量分别为8、8 解：（1）设圆柱半径为，圆柱横截面的圆周上线电流密度为（A）圆柱外的磁场分布考虑圆柱外一点P，取OP方向为Z轴方向。在圆周上角处的A点取线元，过此点的长直电流，此电流在P点产生的磁感应强度大小为 式中为P点到线元的距离，方向可由右手螺旋定则确定。由于电流分布相对于Z轴是对称的，所以中只有与Z轴垂直的分量是有效的，与Z轴平行的分量相应的分量所抵消。（为AP与Z轴间的夹角） 。 所以对上式求积分即可求得磁感应强度（B）圆柱内的磁场分布与上述类似的讨论可得 B=0 （注意rR）（2）P是电流平面外任意点，从点P向电流平面作垂线，以垂足O为原点建立坐标系。考虑坐标为，宽为的直线电流，其电流强度为。此电流在P点产生的磁感应强度为。因为电流相对于Y轴对称分布的z分量将被抵消只有x分量是有效的，对上式积分可得8、10 解：长直螺线管的磁感线集中于管内，平行于管轴。垂直于管壁在管内外取一矩形回路，管外部分处处B=0，在管内与磁感线垂直的线段上，磁感线的线积分为零，唯有管内与磁感线平行的线段a上B为恒量，且B的方向与回路方向相同，因此B沿回路的线积分。设螺线管单位长度上的匝数为n，则矩形回路所包围的电流为naI，根据安培环路定理 ，故8、13 解：应用安培环路定理可以证明此螺绕环外部磁场为零；内部的磁场强度为 。在内部截面上距轴线r处取一宽为、长为h的条形面积，面积上磁通量为整个截面上的磁通量8、15 解：无限长导体圆柱内、外的磁场分布分别为， 在剖面上距轴线r处取一长为、宽为的条形面积，该面积上磁场方向与面积垂直，磁感应强度为。该面积的磁通量 圆柱内环绕轴线的磁通量为8、18 解：圆盘上面电荷密度，考虑圆盘上半径为、宽为的同心圆环，环上电量为。当盘以角速度转动时，环上电流 它在盘心处的磁感应强度为 。故盘心处的总磁感应强度 8、20 解：设金属筒半径为R，面电流密度为，在筒壁上沿电流方向取长为、宽为的条形面积，此面积上电流是直线电流，其大小 在此面积内侧紧邻处无磁场，说明在该处此直线电流的磁场与筒壁上其它电流的磁场大小相等，方向相反。因此，在此面积外侧紧邻处，此直线电流的磁场与筒壁其他电流的磁场大小相等方向相同。该处合场强的大小为。又已知该处磁感应强度大小为，因此小面积上电流方向与的方向垂直，故此面积筒壁受到的磁力大小为。单位面积筒壁受的磁力大小为 方向垂直且指向轴线。8、23 解：（1）作半圆柱面及导线截面，过导线作z轴将半圆弧等分。半圆柱面上面电流密度为，在圆弧上取线元，过的电流为 这里。此直线电流对轴线上的直线电流单位长度的作用力为 。方向沿线元与直线电流连线指向外侧。 由于半圆柱面上电流分布对z轴具有对称性，所以其与z轴垂直的分量将被抵消， 只有与z轴平行的分量是有效的其大小整个半圆柱面上的电流对其轴线上的导线单位长度的作用力大小为 ，方向沿z轴的反方向，即为斥力。 （2）若将一无限长直导线代替半圆柱面，此导线应在z轴上某点通过，设该点坐标为d，则它对轴线上导线单位长度的作用力为 由方程 可得 8、28 解：（1）两极板间的位移电流 （2）沿极板边缘B的积分 根据。由以上关系可得 第九章 磁场中的磁介质9、6 解：（1）管内的磁感应强度 磁场强度 （2）当管内充满均匀磁介质时，在管内 （3）在磁介质内，由导线中电流产生的磁场由磁化电流产生的磁场9、7 解：（1）环内的磁通量密度 （2）环内的磁场强度 （3）磁化面电流密度 （4）环内材料的磁导率 相对磁导率（5）铁心内的磁化强度9、9 解：设无铁心时，使管内产生同样的磁场的电流为，则 未抽铁心时，管内磁场强度，联立以上两式得 由图可查得，当时，H约为，因此得 9、11 解：当导线中存在电流时，由于导线位于磁心的轴线上所以磁心内磁场具有轴对称性。应用关于H的环路定理，H沿环内半径为、轴线与导线重合的圆周的积分为，所以 可见磁心内磁场是不均匀的，外侧磁场最弱。只要电流的峰值在磁心外侧产生的磁场超过矫顽力，磁心的磁化方向就全部翻转。因此，以R表示磁心的外半径，电流的峰值的最小值应为第十章 电磁感应10、1 解：在导线ab上距长直导线处取线元，该处的磁感应强度 方向垂直纸面向内。该线元以速度运动时，其感应电动势方向向左，导线中的感应电动势10、3 解：线圈左侧边处的磁感应强度，方向垂直纸面向内，线圈运动时左边产生的感应电动势，方向为顺时针方向。 同理可得线圈右边的感应电动势，方向为逆时针方向。线圈的上下两边因与速度方向平行，感应电动势为零，因而线圈中总的感应电动势 10、4 解：在矩形线圈面积上与直线电流相距处，取一宽为、长为的的条形面积，该面积上的磁场方向与面积垂直，大小为。该面积上磁通量，矩形线圈的磁通量则为 。感生电动势 10、5 解：设想磁场中存在Oab三角形回路，此回路的面积为此面积的通量为。当磁场变化时，回路中感生电动势。因为磁场在增强，电动