高中数学难题集.doc

高中数学难题集081、在中,角对应的边分别为,为整数,且,若,则的周长为 .解：由已知，消去得：故为的约数，枚举知：，故周长为2、数列各项均为正数,且对于任意,，求证：数列 为等差数列;解：由已知，相减得：，即，故数列为等差数列；注：本题先要用赋值法计算出3、设，均为正数，且， 则的值为 解：设，则两式相除消去得：，解出4、已知为正常数，若对一切非负实数恒成立，求的最大值解：设，则原不等式变形为，故，最大值为5、将一张长8cm，宽6cm的长方形的纸片沿着一条直线折叠，折痕(线段)将纸片分成两部分，面积分别为S1cm2，S2cm2，其中S1S2记折痕长为lcm（1）若l4，求S1的最大值；（2）若S1S212，求l的取值范围解：折痕有下列三种情形：折痕的端点M，N分别在边AB，AD上；折痕的端点M，N分别在边AB，CD上；ABCD（情形）MNABCD（情形）MNABCD（情形）MN折痕的端点M，N分别在边AD，BC上（1）在情形、中MN，故当时，折痕必定是情形设AMcm，ANcm，则所以，即S1的最大值为4（2）由题意知，S116，S232 当折痕是情形时，设AMcm，则当折痕是情形时，设AMcm，则当折痕是情形时，设BNcm，则综上l的取值范围为6、记等差数列的前n项和为（1）若，对任意正整数n，k(nk)，有，求的通项；（2）记(a0)，求证：解：（1）由已知，即数列是等差数列，设公差为，则：，而由使用经验证满足题设条件。（2）显然是正项等比数列记公比为，易证明：其中p，k为正整数，且pk1n从而变形即为：7、如图，一颗棋子从三棱柱的一个顶点沿棱移到相邻的另一个顶点的概率均为，刚开始时，棋子在上底面点A处，若移了n次后，棋子落在上底面顶点的概率记为pn（1）求p1，p2的值；（2）求证：ABCDEF解：（1）（2）因为移了n次后棋子落在上底面顶点的概率为，则可得递推：求出，用数学归纳法即可。注：在用数学归纳法时会出现，可以用二项式定理解决。8、已知为的外心，若，则等于 解：由已知，平方得：9、已知是锐角ABC的外心，若向量，且，则 解：设为中点，则另一方面故，根据知注：对算两次，是处理外心与向量结合问题的重要手段。10、若，且，则的最小值为 解：设，转化为已知，求最小值，答案为注：本题也可以使用条件最值求解11、设，求最大值解：设，等价于已知非负数满足，求的最大值，设，则，故答案为12、已知数列满足：，（1）若，求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，证明：解：（1）若时，所以，且两边取对数得，化为，故数列是以为首项，为公比的等比数列可推出（2）由，得， 当时，相减得：，故与同号由于恒成立，故，故所以，13、已知函数，（1）若函数在其定义域内是单调增函数，求的取值范围；（2）设函数的图象被点分成的两部分为（点除外），该函数图象在点处的切线为，且分别完全位于直线的两侧，试求所有满足条件的的值解：（1）由恒成立，分离参数可得（2）易知切线的方程为，分析知令，则求导变形，若，是单调增函数，符合题意；若，当时，当时，舍去。若，当时，当时，不合题意；若，当时，当时，不合题意综上只有注：本题中其实是函数的拐点，即，这本身也是拐点的一个性质。14、已知直角三角形ABC的三个顶点都在抛物线上，且斜边AB / x轴，则斜边上的高等于 解：设，由已知，故：，故高15、已知平面向量，满足，且与的夹角余弦为，与的夹角余弦为， ，则的值为 解：由已知，代入题设条件中：；三个方程，三个未知数，联立解出16、设，对任意的，不等式，求的取值范围解：已知条件等价于对一切恒成立，由于显然成立，故只需考虑的情况，若不是整数，则当时，必须，即；当时，必须，即综上，画出的图像分析可知若是整数，当时，必须；当时，必须，此时综上注：若题目改为，则只能是17、已知各项均为正数的两个无穷数列、满足（1）当数列是常数列，且时，求数列的通项公式；（2）设，求证：解：（1）由已知，故（2）易知，故，即由知，所以所以18、设函数，其中a，xR，e是自然对数的底数， .（1）求函数的单调增区间；（2）设，讨论关于x的方程的解的个数解：（1）分类讨论知：当时，增区间为；当时，增区间为（2）由（1）知当时，因为，又时，所以的值域为 ，令，当时，所以无解当时，由得，而，此时有两个实数解 .19、对任给的实数a和b，若恒成立，求x的范围。解：分离参数得：，而的最小值等于2. 故，解得 20、设函数，且，其中常数为区间（0，1）内的有理数（1）求的表达式（用和表示）；（2）求证：对任意的正整数，为有理数解：（1）由得： 所以、可以看成方程的两个根，则（2）a为有理数，为整数，为有理数21、如右图，边长为1的正方形的顶点,分别在轴、轴正半轴上移动，则的最大值是_ _.解：设，则22、不等式对恒成立，则a的最小值为 _.解：设，则恒成立，求导知23、公差为,各项均为正整数的等差数列中,若,求的最小值。解：分析知，故，故为的正约数，枚举即可。答案24、如果是函数图像上的点,是函数图像上的点,且两点之间的距离能取到最小值,那么将称为函数与之间的距离.按这个定义，函数和之间的距离是_.解：等价于上的点和半圆上的点的最小距离，数形结合知：当三点共线时距离最小，其中为圆心，可求出此时的最小距离为25、已知.（1）当时,判断的奇偶性,并说明理由；（2）若,b为常数且对任何不等式恒成立,求实数的取值范围。解：（1）,，所以非奇非偶。（2）当时,显然成立, 当,原不等式变为，分类讨论知： 当时,的取值范围是; 当时,的取值范围是;当时,的取值范围是 26、如果存在常数使得数列满足:若是数列中的一项,则也是数列中的一项,称数列是关于常数的“兑换数列”。（1）若数列：是关于的“兑换数列”,求和的值；（2）一个不少于3项各项皆为正整数的递增等比数列是否是“兑换数列”？说明理由。解：（1）由知（2）假设是兑换数列，分析知必为穷数列，且，分析知，故故，矛盾，所以假设不成立。27、已知函数(a1).（1）求证：函数f(x)在（0,1）上是单调增函数；（2）若数列满足，N+ ，证明：解：（1）易知，故f(x)在（0,1）上是单调增函数；（2）由已知，结合在区间上是增函数，使用数学归纳法即可证明结论成立。28、已知实数满足，则的最大值是 .解：设，则：当时取等号，此时注：本题也可以使用拉格朗日乘数法求解，还可以使用均值不等式配凑求解。29、三棱锥中，分别为，的中点，则截面将三棱锥分成两部分与的体积之比为 .解：将三棱锥特殊化，探寻出体积之比为30、在中，是的中点，是的中点，若是（包括边界）内任一点则的取值范围是_.解：建立坐标系之后转化为线性规划求解，答案为31、如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件，设（1）若用一种金属线条对梯形部件镶边，求最少需要准备该金属线条多少米；（2）求梯形部件面积的最大值解：以直径所在的直线为轴，线段中垂线为轴，建立平面直角坐标系，设，过点作于，则，（1）设的周长为，则.令，则，当时，有最大值5.（2），平方求导知当时，有最大值.32、若在数列中，且对任意的，成等比数列，其公比为.（1）若（），求.（2）若对任意的，成等差数列，其公差为，若，试求数列的前项和.解：，是首项为1，公比为4的等比数列，此时.（2），又，变形为，解得或.当时，求出，；当时，求出，.33、已知函数为自然对数的底数）（1）若函数上无零点，求的最小值； （2）若对任意给定的，使得的取值范围.解：（1）分析知等价于对任意的恒成立，即恒成立.多次求导可得出的最小值为（2）易知等价于在时有两个解。画出函数和的图像分析可知：当时符合题意。由于的任意性，故注：画图时注意直线过定点，其实第（1）问也可以画图求解。34、已知是椭圆 的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率为 解：设椭圆的左焦点为，则为的中位线，故则，在中根据勾股定理得：，化简得35、下图都是由边长为1的正方体叠成的图形，第（1）个图形的表面积为6个平方单位，第（2）个图形的表面积为18个平方单位，第（3）个图形的表面积是36个平方单位依此规律，则第个图形的表面积是_个平方单位解：建立递推关系，故36、设是正实数，且，则的最小值是 解：由权方和不等式知，当时取等号。注：本题也可以用柯西不等式求解。37、已知两个不相等的平面向量，()满足|2，且与的夹角为120，则|的最大值是 . 解：等价于在圆上运动，而满足，求最大值。由正弦定理知，故|的最大值为38、已知P,Q分别是曲线,的动点,求P,Q两点距离的最小值。 解：由反函数的性质知只需求出和直线上的点的距离的最小值，而容易求出，故P,Q两点距离的最小值为39、已知函数,其中表示不超过实数的最大整数.则关于的方程有三个不同的实根充要条件是 。解：画出和的图像分析可知40、若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围解：设切点为，对切线斜率算两次得：=，即方程有三个根，画图分析知41、给出30行30列的数表： ，其特点是每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数按顺序构成数列，存在正整数使成等差数列，试写出一组的值。解：易知，由已知整理得，设，则，此时，可设，则，可设，则由于，枚举可得唯一解：注：按照唯一分解定理，若为完全平方数，则质因数的方幂必须为偶数。本题反复使用这个定理，将的范围压缩到的范围，最终枚举破此题。42、已知数集具有性质P：对任意的，使得成立（1）分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由；（2）求证：.解：（1） 不具有性质P.，具有性质P （2）由已知，所以，所以即， 。相加得，故 43、数列满足，设这个数列的前项和为，若可以写成 (且)的形式，则称为“指数型和”问中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由解：当时，有，故只能是不小于3的奇数当为偶数时，故存在正整数，使得，,，所以，即为“指数型和”； 当为奇数时，由于是个奇数之和，仍为奇数，又为正偶数，所以 不成立，此时没有“指数型和” 44、设为平面内四个点，则的值为 解：设，则，由已知可得关于的方程组：，解出，故45、已知函数，.（1）讨论函数的单调区间；（2）若，求证：.解：（1）求导讨论知：若，在单增；若，在单减；若，则在单增；在上单减（2）由已知故，求和便可得证。注：本题使用结论：当时46、已知函数 若，使得成立，则实数的取值范围是 . 解：若，此时先增后减，符合题意；若，则单增，必须使单减才行，即，此时无解。故47、已知椭圆和圆,若上存在点,使得过点引圆的两条切线,切点分别为、，满足，则椭圆的离心率的取值范围是 .解：等