2.1两角差的余弦函数

第三章三角恒等变换 3 1两角和与差的正弦 余弦和正切公式3 2简单的三角恒等变换 熟能生巧 勤能补拙 本章的巧体现在哪些地方呢 请同学们阅读本章章头图部分的文字 从中我们能体会到3 1是三角变换的基本依据 3 1 1两角差的余弦公式 某城市的电视发射塔建在市郊的一座小山上 如图所示 小山高BC约为30米 在地平面上有一点A 测得A C两点间距离约为67米 从A观测电视发射塔的视角 CAD 约为45 求这座电视发射塔的高度 思考 一 新课引入 问题1 cos15 sin75 问题2 cos15 cos 45 30 cos45 cos30 sin75 sin 45 30 sin45 sin30 cos 探究 如何用任意角 的正弦 余弦值表示 思考1 设 为两个任意角 你能判断cos cos cos 恒成立吗 例 cos 30 30 cos30 cos30 因此 对角 cos cos cos 一般不成立 探究1 cos 公式的结构形式应该与哪些量有关系 发现 cos 公式的结构形式应该与sin cos sin cos 均有关系 令 则 令 则 令 令 则 则 思考2 我们知道cos 的值与 的三角函数值有一定关系 观察下表中的数据 你有什么发现 从表中 可以发现 cos 60 30 cos60 cos30 sin60 sin30 cos 120 60 cos120 cos60 sin120 sin60 现在 我们猜想 对任意角 有 cos cos cos sin sin x y P P1 M B O A C 1 1 探究2 借助三角函数线来推导cos 公式 cos cos cos sin sin 又OM OB BM OM cos OB cos cos BM sin sin 探究3 cos 公式我们能否用向量的知识来推导 1 已知OP为角 的终边 求终边与单位圆交点P的坐标 P cos sin 2 两个向量的数量积 cos cos cos sin sin 探究3 cos 公式我们能否用向量的知识来推导 提示 1 结合图形 明确应该选择哪几个向量 它们是怎样表示的 2 怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果 B A y x o 1 1 1 1 cos cos cos sin sin 探究3 两角差的余弦公式有哪些结构特征 注意 1 公式的结构特点 等号的左边是复角 的余弦值 等号右边是单角余弦值的乘积与正弦值的乘积的和 2 公式中的 是任意角 上述公式称为差角的余弦公式 记作 简记 CCSS 符号相反 公式应用 例1求cos15 的值 分析 将150可以看成450 300而450和300均为特殊角 借助它们即可求出150的余弦 cos150 cos 450 300 cos450cos300 sin450sin300 思考 1 本题还有别的求解方法吗 2 你会求吗 所以cos cos cos sin sin 已知sin cos 是第三象限角 求cos 的值 例2 总结 要求cos 应先求出 的正余弦 思考 本例中若去掉的范围 结果如何 练习 cos cos sin sin cos 公式的逆用 两角差的余弦公式