人教B版必修一 函数的最大值、最小值 课件（71张）.ppt

第2课时函数的最大值 最小值 主题1函数的最大值观察下列两个函数的图象 回答有关问题 1 比较两个函数的图象 它们是否都有最高点 提示 图 中函数y f x x2的图象上有一个最高点 图 中函数y f x x的图象上没有最高点 2 通过观察图 你能发现什么 提示 对任意x r 都有f x f 0 结论 最大值的定义一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 1 对任意的x i 都有 2 存在x0 i 使得 那么 称m是函数y f x 的最大值 f x m f x0 m 微思考 1 在最大值的定义中 实数m应满足什么条件 提示 m是一个函数值 即存在一个元素x0 i 使m f x0 2 函数f x 最大值的几何意义是什么 提示 函数最大值的几何意义是对应图象最高点的纵坐标 主题2函数的最小值观察下列两个函数的图象 回答有关问题 1 比较两个函数的图象 它们是否都有最低点 提示 图 中函数y f x x2的图象有一个最低点 图 中函数y f x x的图象没有最低点 2 通过观察图 你能发现什么 提示 对任意x r都有f x f 0 结论 最小值的定义一般地 设函数y f x 的定义域为i 如果存在实数m满足 1 对任意的x i 都有 2 存在x0 i 使得 那么 称m是函数y f x 的最小值 f x m f x0 m 微思考 1 函数f x 对于定义域内的任意元素都有f x m 则m是否是函数的最小值 提示 不一定 若存在f x0 m 则是 否则不是 2 若函数f x 在区间 a b 上是单调递增的 则函数f x 的最大值是 最小值是 提示 f b f a 预习自测 1 函数y 2x 1在 1 2 上的最大值是 a 3b 4c 5d 1 解析 选c 因为y 2x 1为增函数 所以y 2x 1在 1 2 上递增 所以ymax 2 2 1 5 2 函数f x x2 4x 3 x 1 4 的最小值为 a 1b 0c 3d 2 解析 选a 因为f x 在 1 2 上是减函数 在 2 4 上是增函数 所以f x 的最小值为f 2 1 3 函数f x 则f x 的最大值是 最小值是 解析 当1 x 2时 8 2x 6 10 当 1 x 1时 6 x 7 8 所以f x min f 1 6 f x max f 2 10 答案 106 4 函数f x 在区间 2 5 上的图象如图所示 则函数的最大值为 解析 由题图可知 f x 在x 5处取得最大值 故f x 的最大值为f 5 答案 f 5 5 函数f x ax 1 a 0 在区间 1 3 上的最大值为4 则a 解析 因为a 0 所以函数f x ax 1在区间 1 3 上是增函数 所以f x max f 3 3a 1 4 所以a 1 答案 1 6 求函数f x x 在 1 2 上的最大值 最小值 仿照教材p31例4的解析过程 解析 设1 x10 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以f x 在 1 2 上是减函数 从而函数的最大值是f 1 1 4 5 最小值是f 2 2 2 4 类型一利用单调性求函数的最值 典例1 已知函数f x x 3 5 1 判断函数f x 的单调性 并证明 2 求函数f x 的最大值和最小值 解题指南 1 利用定义判断f x 的单调性 2 根据f x 的单调性 求最大 最小值 解析 1 f x 在 3 5 上是增函数 证明如下 任取x1 x2 3 5 且x10 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以f x 在 3 5 上为增函数 2 由 1 知 f x 在 3 5 上为增函数 则f x min f 3 f x max f 5 方法总结 求函数最值的三种方法 1 观察法 对于简单的初等函数 如一次函数 二次函数 反比例函数 可以依据定义域求出值域 观察得出 2 图象法 对于图象较容易画出的函数的最值问题 可借助于图象直观求出 3 单调性法 对于较复杂的函数 可利用单调性的判断方法 判断出函数的单调性 然后求最值 提醒 利用单调性求最值时 一定要先确定函数的定义域 巩固训练 2017 济宁高一检测 求函数y 4 x 2 的最大值和最小值 解题指南 先判断函数在 4 2 上的单调性 再求函数的最大 最小值 解析 设 4 x1 x2 2 因为f x1 f x2 因为x1 1 0 x2 1 0 x1 x2 0 所以 0 所以f x1 f x2 所以f x 在 4 2 上单调递增 所以ymax f 2 2 ymin f 4 补偿训练 1 函数的最大值是 a 1b 2c 3d 4 解析 选d 当x 0时 2x 3 3 当01时 x 5 4 综上可知 当x 1时 y有最大值4 2 已知函数f x x 1 证明 f x 在 1 内是增函数 2 求f x 在 2 4 上的最值 解析 1 任取x1 x2 1 并且x1x1 1 所以x1 x21 所以x1x2 1 0 故 x1 x2 0 即f x1 f x2 所以f x 在 1 内是增函数 2 由 1 知f x 在 2 4 上是增函数 所以当x 2 4 时 f 2 f x f 4 所以f x 在 2 4 上的最大值为 最小值为 类型二二次函数的最值问题 典例2 2017 阜阳高一检测 已知二次函数f x x2 2x 3 1 当x 2 3 时 求f x 的最值 2 当x t t 1 时 求f x 的最小值g t 解题指南 1 根据对称轴与区间的情况求解 2 讨论对称轴与区间的关系求解 解析 f x x2 2x 3 x 1 2 2 对称轴为x 1 开口向上 1 f x 在 2 1 上递减 在 1 3 上递增 所以f x min f 1 2 又因为f 2 f 3 所以f x max f 2 11 2 当t 1时 f x 在 t t 1 上递增 所以g t f t t2 2t 3 当t 1 t 1 即0 t 1时 g t f 1 2 当t 1 1 即t 0时 f x 在 t t 1 递减 所以g t f t 1 t2 2 综上可得g t 延伸探究 1 本例中 2 条件若改为当x t t 1 时f x 有最小值3 求t的值 解析 由解析知f x 的最小值g t 当t 1时 由t2 2t 3 3 解得t 2或t 0 舍去 当0 t 1时 g t 2 3 无解 当t 0时 由t2 2 3 得t 1或t 1 舍去 故当f x 的最小值为3时 t 2或t 1 2 本例中 2 条件不变 求f x 最大值的解析式h t 解析 由f x x2 2x 3 x 1 2 2 对称轴为x 1 当t 1时 f x 在 t t 1 上递增 所以h t f t 1 t2 2 当0 tf t 1 所以h t t2 2t 3 当 t 1时 f t f t 1 所以h t t2 2 当t 0时 f x 在 t t 1 上递减 所以h t f t t2 2t 3 综上可得h t 方法总结 求二次函数f x ax2 bx c a 0 在区间 m n 上的最值的类型 1 若对称轴x 在区间 m n 内 则最小值为f 最大值为f m f n 中较大者 或区间端点m n中与x 距离较远的一个对应的函数值为最大值 2 若 n 则f x 在 m n 上是减函数 最大值为f m 最小值为f n 补偿训练 1 若函数f x 满足f x 1 x x 3 x r 则f x 的最小值为 解题指南 先求f x 的解析式 再利用配方法求f x 的最小值 解析 由f x 1 x x 3 x 1 2 x 1 2 得f x x2 x 2 所以f x 的最小值是 答案 2 2017 银川高一检测 已知二次函数f x x2 2ax 1 a x 0 1 a为常数 求f x 的最大值g a 的解析式 解题指南 根据二次函数f x x2 2ax 1 a的对称轴与区间 0 1 的关系 讨论单调性求解 解析 函数f x x2 2ax 1 a的对称轴为x a 当a 0时 f x 在 0 1 上单调递减 此时f x max f 0 1 a 当0 a 1时 f x 在 0 a 上递增 在 a 1 上递减 所以f x max f a a2 a 1 当a 1时 f x 在 0 1 上递增 所以f x max f 1 a 所以g a 类型三函数最值的应用 典例3 2017 菏泽高一检测 已知a b两城相距100km 在两城之间距a城xkm处d地建一核电站给a b两城供电 为保证城市安全 核电站距两城距离不得小于10km 已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比 比例系数 0 3 若a城供电量为20亿度 月 b城为10亿度 月 1 把月供电总费用y表示成x的函数 并求定义域 2 核电站建在距a城多远 才能使供电总费用最小 解题指南 1 a城供电费用y1 0 3 20 x2 b城供电费用y2 0 3 10 100 x 2 从而得出总费用 由x 10且100 x 10可得x的范围 2 由二次函数的性质求最小值 解析 1 a城供电费用为y1 0 3 20 x2 6x2 b城供电费用y2 0 3 10 100 x 2 3 100 x 2 所以总费用为 y y1 y2 6x2 3 100 x 2 9x2 600 x 30000 又得10 x 90 故x的取值范围是 x 10 x 90 2 y 9x2 600 x 30000 所以当x 时 y取得最小值 答 当核电站建在距a城km时 才能使供电总费用最小 方法总结 解实际应用问题的五个步骤 1 审 审清题意 读懂题 找出各量之间的关系 2 设 从实际问题中抽象出数学模型 恰当设出未知数 3 列 根据已知条件列出正确的数量关系 4 解 转化为求函数的最值或解方程或解不等式 5 答 回归实际 明确答案 得出结论 巩固训练 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元 每生产一台仪器需要增加投入100元 已知总收益满足函数 r x 其中x是仪器的月产量 1 将利润表示为月产量的函数f x 2 当月产量为何值时 公司所获利润最大 最大利润为多少元 总收益 总成本 利润 解析 1 因为月产量为x台 则总成本为20000 100 x 从而f x 2 当0 x 400时 f x x 300 2 25000 所以当x 300时 f x 有最大值25000 当x 400时 f x 60000 100 x是减函数 f x 60000 100 400 20000 25000 所以每月生产300台仪器时利润最大 最大利润为25000元 补偿训练 2017 黄冈高一检测 某服装厂生产一种服装 每件服装的成本为40元 出厂单价为60元 该厂为鼓励销售商订购 决定当一次订购量超过100件时 每多订购一件 订购的全部服装的出厂单价就降低0 02元 根据市场调查 销售商一次订购量不会超过500件 1 设一次订购量为x件 服装的实际出厂单价为p元 写出函数p f x 的表达式 2 当销售商一次订购多少件服装时 该服装厂获得的利润最大 并求出最大值 解析 1 当0 x 100 x n时 p 60 当100 x 500 x n时 p 60 0 02 x 100 62 所以p 2 设销售商一次订购量为x件 工厂获得的利润为y元 则有y p 40 x 当0 x 100且x n时 易知x 100时 y取得最大值 为2000 当100 x 500且x n时 y 22x x 550 2 6050 此函数在1002000 所以当销售商一次订购500件服装时 该服装厂获得的利润最大 为6000元 拓展类型 与最值有关的恒成立问题 典例 当x 1 2 时 不等式x2 mx 4 0恒成立 求m的取值范围 解题指南 分离出m 转化为求函数的最值 进而求得m的范围 解析 当x 1 2 时 不等式x2 mx 4 5 故m 5 方法总结