导数及其应用

第三章导数及其应用复习小结 本章知识结构 导数 导数概念 导数运算 导数应用 函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数单调性研究 函数的极值 最值 曲线的切线 变速运动的速度 最优化问题 曲线的切线 以曲线的切线为例 在一条曲线C y f x 上取一点P x0 y0 点Q x0 x y0 y 是曲线C上与点P临近的一点 做割线PQ 当点Q沿曲线C无限地趋近点P时 割线PQ便无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把直线PT叫做曲线C的在点P处的切线 一 知识串讲 一 导数的概念 1 导数的定义 对函数y f x 在点x x0处给自变量x以增量 x 函数y相应有增量 y f x0 x f x0 若极限存在 则此极限称为f x 在点x x0处的导数 记为f x0 或y 2 导函数 如果函数y f x 在区间 a b 内每一点都可导 就说y f x 在区间 a b 内可导 即对于开区间 a b 内每一个确定的x0值 都相对应着一个确定的导数f x0 这样在开区间 a b 内构成一个新函数 把这一新函数叫做f x 在 a b 内的导函数 简称导数 记作f x 或y 即f x y 3 导数的几何意义 函数y f x 在点x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在P x0 f x0 处的切线的斜率 即曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线斜率为k f x0 所以曲线y f x 在点P x0 f x0 处的切线方程为y y0 f x0 x x0 4 导数的物理意义 物体作直线运动时 路程s关于时间t的函数为 s s t 那么瞬时速度v就是路程s对于时间t的导数 即v t s t 返回 导数的运算法则 法则1 两个函数的和 差 的导数 等于这两个函数的导数的和 差 即 法则2 两个函数的积的导数 等于第一个函数的导数乘第二个函数 加上第一个函数乘第二个函数的导数 即 法则3 两个函数的积的导数 等于第一个函数的导数乘第二个函数 减去第一个函数乘第二个函数的导数 再除以第二个函数的平方 即 返回 当点Q沿着曲线无限接近点P即 x 0时 割线PQ如果有一个极限位置PT 则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线 设切线的倾斜角为 那么当 x 0时 割线PQ的斜率 称为曲线在点P处的切线的斜率 即 返回 1 如果恒有f x 0 那么y f x 在这个区间 a b 内单调递增 2 如果恒有f x 0 那么y f x 在这个区间 a b 内单调递减 一般地 函数y f x 在某个区间 a b 内 定理 f x 0 f x 0 如果在某个区间内恒有 则为常数 返回 2 如果a是f x 0的一个根 并且在a的左侧附近f x 0 那么是f a 函数f x 的一个极小值 函数的极值 1 如果b是f x 0的一个根 并且在b左侧附近f x 0 在b右侧附近f x 0 那么f b 是函数f x 的一个极大值 注 导数等于零的点不一定是极值点 2 在闭区间 a b 上的函数y f x 的图象是一条连续不断的曲线 则它必有最大值和最小值 函数的最大 小 值与导数 返回 五 函数的最大值与最小值 1 定义 最值是一个整体性概念 是指函数在给定区间 或定义域 内所有函数值中最大的值或最小的值 最大数值叫最大值 最小的值叫最小值 通常最大值记为M 最小值记为m 2 存在性 在闭区间 a b 上连续函数f x 在 a b 上必有最大值与最小值 3 求最大 小 值的方法 函数f x 在闭区间 a b 上最值求法 求出f x 在 a b 内的极值 将函数f x 的极值与f a f b 比较 其中较大的一个是最大值 较小的一个是最小值 两年北京导数题 感想如何 例1 已经曲线C y x3 x 2和点A 1 2 求在点A处的切线方程 解 f x 3x2 1 k f 1 2 所求的切线方程为 y 2 2 x 1 即y 2x 变式1 求过点A的切线方程 例1 已经曲线C y x3 x 2和点 1 2 求在点A处的切线方程 解 变1 设切点为P x0 x03 x0 2 切线方程为y x03 x0 2 3x02 1 x x0 又 切线过点A 1 2 2 x03 x0 2 3x02 1 1 x0 化简得 x0 1 2 2x0 1 0 当x0 1时 所求的切线方程为 y 2 2 x 1 即y 2x 解得x0 1或x0 k f x0 3x02 1 当x0 时 所求的切线方程为 y 2 x 1 即x 4y 9 0 变式1 求过点A的切线方程 例1 已经曲线C y x3 x 2和点 1 2 求在点A处的切线方程 变式2 若曲线上一点Q处的切线恰好平行于直线y 11x 1 则P点坐标为 切线方程为 2 8 或 2 4 y 11x 14或y 11x 18 1 正确理解导数的概念和意义 导数是一个函数的改变量与自变量的改变量的比值的极限 它反映的是函数的变化率 即函数值在x x0点附近的变化快慢 所以只有与变化率有关的问题都可以用导数来