《控制工程基础》第二章

第二章系统的数学模型 2 1概述2 2系统的微分方程2 3拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换2 4系统的传递函数2 5系统的传递函数方框图及其简化2 6考虑扰动的反馈控制系统的传递函数 本章教学大纲 教学重点 微分方程建立 传递函数概念与求法 典型环节传递函数 方框图等效变换 1 掌握机械 电气系统微分方程的建立方法 2 了解非线性方程的线性化 3 熟悉拉氏变换及反变换 线性定常微分方程的解法 4 掌握传递函数基本概念及典型环节传递函数 5 掌握系统传递函数方框图的化简 第二章系统的数学模型 本章教学大纲 第二章系统的数学模型 2 1概述 一 数学模型1 定义2 种类3 研究领域 定量地描述系统的动态性能 揭示系统的结构 参数与动态性能之间关系的数学表达式 微分方程 差分方程 统计学方程 传递函数 频率特性 各种响应式等 时间域 微分方程 差分方程 状态方程 复数域 传递函数 脉冲传递函数 频率域 频率特性 离散系统 连续系统 离散系统 2 1概述 连续系统 二 建立数学模型 建模 的方法一个 合理 的数学模型应该以最简化的形式 准确地描述系统的动态特性 第二章系统的数学模型 2 实验法 建模方法 1 分析法 解析法 根据系统或元件所遵循的有关定律来建立数学模型的方法 列写数学表达式 根据实验数据进行整理 并拟合出比较接近实际的数学模型 2 1概述 第二章系统的数学模型 三 线性系统与非线性系统1 定义 能用线性微分方程描述的系统为线性系统 否则为非线性系统 2 分类 线性定常系统 线性时变系统 非线性系统 2 1概述 第二章系统的数学模型 3 特性线性系统满足叠加原理 非线性系统不满足叠加原理 叠加原理 线性系统在多个输入的作用下 其总输出等于各个输入单独作用而产生的输出之和 和的响应等于响应之和 2 1概述 第二章系统的数学模型 2 2系统的微分方程 微分方程 在时域中描述系统 或元件 动态特性的数学模型 或称为运动方程 利用微分方程可得到描述系统 或元件 动态特性的其他形式的数学模型 如 2 2系统的微分方程 第二章系统的数学模型 一 列写微分方程的一般方法 1 确定系统的输入量和输出量 给定输入量 扰动量 2 按信号传递的顺序 从系统输入端出发 根据各变量所遵循的物理定律列写系统中各环节的动态微分方程 牛顿第二定律 克希荷夫电流 电压 定律等 3 消除中间变量 得到只包含输入量和输出量的微分方程 4 整理所得到的微分方程 将与输出有关的项放在方程的左侧 与输入有关的项放在方程的右侧 各阶导数项按降幂方式排列 如 2 2系统的微分方程 二 系统微分方程的列写1 机械系统 遵循的定律 牛顿第二定律 c c 粘性阻尼系数 k 弹性系数 元素 质量m 弹簧k 粘性阻尼器c 质量元件 阻尼元件 弹性元件 2 2系统的微分方程 第二章系统的数学模型 例2 1列写下图所示机械系统的微分方程 解 1 明确系统的输入与输出 输入 f t 输出 x t 2 进行受力分析 列写微分方程 利用 得 3 整理微分方程 得 图2 1 2 2系统的微分方程 第二章系统的数学模型 第二章系统的数学模型 例2 2下图所示为一简化了的机械系统 求其输入x t 与输出y t 之间的微分方程 图2 2 解 在不同的元素之间 可能会有中间变量 设中间变量x1 且假设x x1 y 取分离体阻尼活塞和缸体部分 并进行受力分析 2 2系统的微分方程 第二章系统的数学模型 根据受力分析 列写微分方程组 1 2 消去中间变量x1 t 得 将x1 t 代入 2 整理得系统微分方程为 2 2系统的微分方程 第二章系统的数学模型 2 电网络系统 遵循的定律 克希荷夫电流定律 克希荷夫电压定律 元素 电阻R 电感L 电容C 电阻元件 电感元件 电容元件 2 2系统的微分方程 第二章系统的数学模型 1 克希荷夫电流定律若电路有分支路 它就有节点 则会聚到某节点的所有电流之代数和应等于0 即所有流出节点的电流之和等于所有流进节点的电流之和 如右图所示 2 2系统的微分方程 第二章系统的数学模型 例2 4下图所示为一电网络系统 其输入为电压ui 输出为电压uo 列写该系统微分方程 解 根据克希荷夫电流定律 有 iL iR iC 0 又 以上4个方程联立求解 并整理得 2 2系统的微分方程 第二章系统的数学模型 2 克希荷夫电压定律闭合回路中 电压降的代数和总等于零 例2 5下图所示为一电网络系统 其输入为电压ui 输出为电压uo 列写该系统微分方程 解 根据克希荷夫电压定律 有 1 2 将 2 代入 1 式 整理得 2 2系统的微分方程 例2 6下图所示为一电网络系统 其输入为电压u t 输出为电容器的电量q t 列写该系统微分方程 解 根据克希荷夫电压定律 得 第二章系统的数学模型 消去中间变量i t 并整理得 2 2系统的微分方程 第二章系统的数学模型 例2 7下图所示为一个两级串连的RC电路组成的滤波网络 输入为电压ui 输出为电压uo 分析ui uo与系统之间的动态关系 列写该系统微分方程 解 设中间变量 令 回路中流过R1的电流为i1 令 回路中流过R2和C2的电流为i2 根据克希荷夫电流定律 流过C1的电流为i1 i2 方向朝下 对 回路 根据克希荷夫电压定律 有 对 回路 根据克希荷夫电压定律 有 2 2系统的微分方程 第二章系统的数学模型 消去中间变量i1 i2 整理得 另外 2 2系统的微分方程 第二章系统的数学模型 负载效应 是指对于由两个物理元件组成的系统而言 若其中一个元件的存在 使另一元件在相同输入下的输出受到影响 则有如前者对后者施加了负载 这一影响就称为负载效应 上例中 两个RC电路串联 存在着负载效应 2 2系统的微分方程 第1个RC回路 第2个RC回路 2 3拉普拉斯变换与拉普拉斯反变换 第二章系统的数学模型 2 3拉氏变换与拉氏反变换 一 拉氏变换的定义若f t 为实变数t的单值函数 且t 0时 f t 0 当t 0时 则函数f t 的拉氏变换记作L f t 或F s 并定义为L f t F s 2 3 1 式中 L 拉氏变换的符号 s 复变数 s j 均为实数 F s 是函数f t 的拉氏变换 它是一个复变函数 通常称F s 为f t 的象函数 而f t 为F s 的原函数 第二章系统的数学模型 2 3拉氏变换与拉氏反变换 表1拉氏变换对照表 第二章系统的数学模型 2 3拉氏变换与拉氏反变换 二 拉氏变换的定理 线性定理 和的拉氏变换等于拉氏变换之和 设L f1 t F1 s L f2 t F2 s 则L af1 t bf2 t aF1 s bF2 s 例已知f t 1 2cos t 求F s 2 平移定理 复数域的位移定理 若L f t F s 对任一常数a 实数或复数 则有L f t F s a 例 求L cos t 第二章系统的数学模型 2 3拉氏变换与拉氏反变换 3 延时定理 实数域的位移定理 若L f t F s 且t 0时 f t 0 则L f t T e TsF s 其中 T为任一正实数 函数f t T 为原函数f t 沿时间轴平移了时间T 例求f t 1 t T 的拉氏变换 4 微分定理若L f t F s 则有L sF s f 0 初始状态为0时 L F s 第二章系统的数学模型 2 3拉氏变换与拉氏反变换 5 积分定理若L f t F s 则有L F s L F s 初始状态为0时 L F s sF s f t 6 终值定理 f t sF s 7 初值定理 第二章系统的数学模型 三 拉氏反变换 2 3拉氏变换与拉氏反变换 1 定义 拉氏反变换是指由已知的象函数F s 求解与之对应的原函数f t 的过程 拉氏反变换的符号为 可表示为 F s f t 2 拉氏反变换的数学方法 查表法 有理函数法 部分分式法 通过代数运算 先将一个复杂的象函数化为数个简单的部分分式之和 再分别求出各个分式的原函数 总的原函数即可求得 第二章系统的数学模型 2 3拉氏变换与拉氏反变换 四 用拉氏变换解常微分方程 用拉氏变换解常微分方程的步骤为 对给定的微分方程等式两端取拉氏变换 变微分方程为s变量的代数方程 对以s为变量的代数方程加以整理 得到微分方程求解的变量的拉氏表达式 对这个变量求拉氏反变换 即得在时域中 以时间t为参变量 微分方程的解 微分方程的求解与不足 微分方程是在时间域里描述控制系统动态性能的数学模型 在给定外作用及初始条件下 求解微分方程可以得到系统的输出特性 这种方法比较直观 特别是借助于电子计算机 可迅速准确地求得结果 然而不用计算机 则求解微分方程 特别是高阶微分方程的计算工作相当复杂 在时间域里直接求解微分方程 难于找出微分方程的系数 由组成系统的元件的参数决定 对方程解 一般为系统的输出量 的影响的一般规律 一旦求得的结果不满足要求 便无法从解中找出改进方案 因此这种方法不便于对系统进行分析和设计 传递函数 在拉氏变换的基础上 引入描述线性定常系统 或元件 在复数域中的数学模型 传递函数 不仅可以表征系统的动态性能 而且可以借以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响 在经典控制理论中广泛应用的频率法和根轨迹法 都是在传递函数基础上建立起来的 第二章系统的数学模型 2 4系统的传递函数 2 4系统的传递函数 传递函数是经典控制理论的基础 是一个极其重要的基本概念 是复数域中描述系统特性的数学模型 用传递函数描述系统不仅可以免去求解微分方程的麻烦 并且可以间接地分析系统结构及参数与系统性能的关系 一 传递函数的概念与定义 第二章系统的数学模型 2 4系统的传递函数 1 传递函数的定义 在下 输出的Laplace变换与输入的Laplace变换之比 称为该系统的传递函数G s 零初始条件 线性定常系统 即 零初始条件 t 0时 输入量及其各阶导数均为0 t 0时 输出量及其各阶导数也均为0 第二章系统的数学模型 2 4系统的传递函数 线性定常系统微分方程的一般形式为 在零初始条件下 分别对方程两边进行Laplace变换 有 则 2 传递函数的一般形式 第二章系统的数学模型 2 4系统的传递函数 3 传递函数的主要特点 传递函数是关于复变量s的复变函数 是复数域中系统的数学模型 传递函数的分母反映了系统本身与外界无关的固有特性 传递函数的分子反映系统与外界之间的关系 第二章系统的数学模型 2 4系统的传递函数 当输入确定时 系统的输出完全取决于其传递函数 传递函数分母中s的阶次n不小于分子中s的阶次m 即n m 实际物理系统总存在有惯性 输出不会超前于输入 物理性质不同的系统 可以具有相同类型的传递函数 相似系统 传递函数可以是有量纲的 也可以是无量纲的 第二章系统的数学模型 2 4系统的传递函数 例2 11已知某R L C无源电路网络系统微分方程为 求该系统传递函数 解 在零初始条件下 对已知微分方程左右两端同时进行拉氏变换 有 根据定义 系统的传递函数为 第二章系统的数学模型 2 4系统的传递函数 二 传递函数的零点 极点和放大系数 传递函数的零极点增益模型 传递函数 零点 z1 z2 zm 影响瞬态响应曲线形状 不影响系统的稳定性 极点 p1 p2 pn 决定瞬态响应的收敛性 即影响系统的稳定性 极点也即为系统的特征方程的根 所以极点pi又称为系统的特征根 第二章系统的数学模型 2 4系统的传递函数 放大系数 增益 G 0 决定系统的稳态输出值 准确性 对系统的研究可以转化为对系统传递函数零点 极点 放大系数的研究 第二章系统的数学模型 2 4系统的传递函数 系统的传递函数往往是高阶的 高阶传递函数一般可以化为低阶 零阶 一阶 二阶 典型环节传递函数的组合 三 典型环节的传递函数 环节 控制工程中 常常将具有某种运动规律的元件或元件的一部分或几个元件一起称为一个环节 第二章系统的数学模型 2 4系统的传递函数 表2典型环节传递函数表 第二章系统的数学模型 2 4系统的传递函数 1 比例环节 放大环节 无惯性环节 零阶环节 动力学方程 传递函数 xo t xi t 分别为环节的输出和输入量 K 比例系数或增益 等于输出量与输入量之比 特点 输出量不失真 无惯性地跟随输入量 两者成比例关系 第二章系统的数学模型 2 4系统的传递函数 例2 12如下图所示的运算放大器 其中ui t 为输入电压 uo t 为输出电压 R1 R2为电阻 求系统的传递函数模型 运算放大器 解 节点电流方程为 即传递函数为 对上式两端取拉氏变换 第二章系统的数学模型 2 4系统的传递函数 例2 13如下图所示齿轮传动副 其中 n1 t 输入轴转速 n2 t 输出轴转速 Z1 Z2 齿轮齿数 解 齿轮传动副的运动方程为 对方程取拉氏变换后得 传递函数 齿轮副传动比 相似系统 比例环节 略去弹性的杠杆 测速发电机 输入为转速 输出为电压 第二章系统的数学模型 2 4系统的传递函数 2 惯性环节 一阶惯性环节 动力学方程 传递函数 T 惯性环节时间常数 由系统的结构参数决定 特点 2 在阶跃输入下 输出不能立即达到稳态值 1 含有一个储能元件和一个耗能元件 第二章系统的数学模型 2 4系统的传递函数 例2 14无源滤波电路 例2 15弹簧 阻尼系统 相似系统 第二章系统的数学模型 2 4系统的传递函数 3 微分环节 动力学方程 传递函数 特点 2 反映输入的变化规律 1 一般不能单独存在 5 强化噪声 4 增加系统的阻尼 3 使输出提前 当输入量为阶跃函数时 理论上输出量将是一个幅值为无穷大而时间宽度为零的脉冲 实际上不可能 第二章系统的数学模型 2 4系统的传递函数 例2 16微分运算电路 解 第二章系统的数学模型 2 4系统的传递函数 4 积分环节 动力学方程 传递函数 特点 2 输出滞后 1 输出累加 3 记忆功能 第二章系统的数学模型 2 4系统的传递函数 例2 18水箱Q t 与h t 的关系 解 设 2 4系统的传递函数 第二章系统的数学模型 5 振荡环节 或 为无阻尼固有频率 为阻尼比 为时间常数 特点 1 一般含有两个储能元件和一个耗能元件 2 时 输出存在振荡 且越小 振荡越剧烈 3 时 输出无振荡 非振荡环节 是两个一阶惯性环节的组合 第二章系统的数学模型 2 4系统的传递函数 振荡环节的单位阶跃响应曲线 第二章系统的数学模型 2 4系统的传递函数 例2 19旋转运动的J c k系统 例2 20L R C电路 相似系统 第二章系统的数学模型 2 4系统的传递函数 5 延迟环节 延迟时间 动力学方程 传递函数 特点 输出滞后于输入 但不失真 例2 21轧钢时带钢厚度检测 2 4系统的传递函数 第二章系统的数学模型 延迟环节与惯性环节和比例环节的区别 不同环节的阶跃响应 2 4系统的传递函数 第二章系统的数学模型 强调几点 1 传递函数框图中的环节是根据动力学方程来划分的 一个传递函数环节不一定代表一个物理元件 物理环节或子系统 一个物理元件也不一定就是一个传递函数环节 也许几个物理元件的特性才组成一个传递函数环节 也许一个物理元件的特性分散在几个传递函数环节中 2 注意区别表示物理结构的物理框图和分析系统的传递函数框图 3 同一物理元件在不同系统中的作用不同时 其传递函数可以不同 如测速发电机 当输入为角速度时 是比例环节 当输入为角位移时 是微分环节 2 5传递函数方框图及其简化 第二章系统的数学模型 2 5系统的传递函数方框图及其简化 一 传递函数方框图 定义 将组成系统的各个环节用传递函数方框表示 其间用相应的变量按信号流向联接起来 就构成系统的传递函数方框图 作用 具体而形象地表示了系统内部各环节的数学模型 各变量之间的相互关系以及信号流向 是系统数学模型的一种图解表示方法 提供了关于系统动态性能的有关信息 可以揭示和评价每个组成环节对系统的影响 2 5传递函数方框图及其简化 第二章系统的数学模型 1 方框图的结构要素 传递函数方框 Y s G s X s 相加点 分支点 2 5传递函数方框图及其简化 第二章系统的数学模型 2 系统方框图的建立 1 列写原始微分方程 2 对上述各方程在零初始条件下 分别进行Laplace变换 3 根据因果关系 将各个Laplace变换的结果表示成传递函数方框图的形式 各环节的传递函数方框图 4 按信号的传递与变换过程 依次连接上述各个方框图 构成的传递函数方框图 一般将给定输入放在左边 输出放在右边 2 5传递函数方框图及其简化 第二章系统的数学模型 例2 22建立下图所示液压伺服机构传递函数方框图 教材P 31图2 1 3 解 1 列写原始微分方程 2 Laplace变换 2 5传递函数方框图及其简化 第二章系统的数学模型 3 绘制上述各式传递函数方框 2 5传递函数方框图及其简化 第二章系统的数学模型 P s Y s 4 连接各个环节 2 5传递函数方框图及其简化 第二章系统的数学模型 二 传递函数方框图的等效变换 1 串联环节的等效变换规则 变换前后输入输出之间的数学关系保持不变 各环节的传递函数方框一个个顺序连接称为串联 其等效传递函数 结论 环节串联时 其等效传递函数等于各串联环节传递函数的乘积 2 5传递函数方框图及其简化 第二章系统的数学模型 2 并联环节的等效变换规则 各环节输入相同 输出相加减的连接形式称为并联 其等效传递函数 结论 环节并联时 其等效传递函数等于各并联环节传递函数的代数和 2 5传递函数方框图及其简化 第二章系统的数学模型 3 方框图的反馈联接及其等效变换规则 2 反馈通道 反馈通道传递函数 1 前向通道 前向通道传递函数 3 开环传递函数 输出信号 输入信号 偏差信号 反馈信号 4 闭环传递函数 有别于开环系统传递函数 单位反馈 无量纲 第二章系统的数学模型 2 5传递函数方框图及其简化 3 方框图的反馈联接及其等效变换规则 说明 1 前向通道 反馈通道 开环传递函数都只是闭环系统部分环节 或环节组合 的传递函数 而闭环传递函数才是系统的传递函数 2 相加点B s 处的符号不代表闭环系统的反馈是正反馈还是负反馈 2 5传递函数方框图及其简化 第二章系统的数学模型 4 分支点的移动规则 法则 分支点移动前后 必须保持分支信号不变 1 分支点前移 2 分支点后移 2 5传递函数方框图及其简化 第二章系统的数学模型 3 分支点的交换 结论 分支点前乘后除 两个分支点之间既没有函数方框也没有相加点时 可以互换位置 2 5传递函数方框图及其简化 第二