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新课标人教版课件系列 高中数学 选修2 2 1 1 1 变化率与导数 变化率问题 教学目标 了解函数的平均变化率教学重点 函数的平均变化率 无论x 或x 函数的极限 当自变量x取正值并无限增大时 函数的值无限趋近于0 即 y 0 可以变得任意小 函数的极限 函数的极限 函数的极限 函数的极限 函数的极限 当时 趋近于 函数的极限 2 解 当时 的值保持为1 即 当时 的值保持为 1 即 1 1 1变化率问题 研究某个变量相对于另一个变量变化 导数研究的问题 的快慢程度 变化率问题 微积分主要与四类问题的处理相关 一 已知物体运动的路程作为时间的函数 求物体在任意时刻的速度与加速度等 二 求曲线的切线 三 求已知函数的最大值与最小值 四 求长度 面积 体积和重心等 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减 变化快慢 最大 小 值等问题最一般 最有效的工具 1 1 1变化率问题 问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程 可以发现 随着气球内空气容量的增加 气球的半径增加越来越慢 从数学角度 如何描述这种现象呢 气球的体积v 单位 l 与半径r 单位 dm 之间的函数关系是 如果将半径r表示为体积v的函数 那么 我们来分析一下 当v从0增加到1时 气球半径增加了气球的平均膨胀率为 当v从1增加到2时 气球半径增加了气球的平均膨胀率为 显然0 62 0 16 思考 当空气容量从v1增加到v2时 气球的平均膨胀率是多少 问题2高台跳水 在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度h 单位 米 与起跳后的时间t 单位 秒 存在函数关系h t 4 9t2 6 5t 10 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态 请计算 请计算 h t 4 9t2 6 5t 10 平均变化率定义 若设 x x2 x1 f f x2 f x1 则平均变化率为 这里 x看作是对于x1的一个 增量 可用x1 x代替x2同样 f y f x2 f x1 上述问题中的变化率可用式子表示 称为函数f x 从x1到x2的平均变化率 思考 观察函数f x 的图象平均变化率表示什么 o a b x y y f x x1 x2 f x1 f x2 x2 x1 x f x2 f x1 y 直线ab的斜率 做两个题吧 1 已知函数f x x2 x的图象上的一点a 1 2 及临近一点b 1 x 2 y 则 y x a3b3 x x 2c3 x 2d3 x d 2 求y x2在x x0附近的平均速度 2x0 x 练习 2 物体按照s t 3t2 t 4的规律作直线运动 求在4s附近的平均变化率 a 小结 1 函数的平均变化率 2 求函数的平均变化率的步骤 1 求函数的增量 f y f x2 f x1 2 计算平均变化
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