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高等弹性理论,Eshelby问题(夹杂问题),Eshelby问题,本征应变椭球核Eshelby张量,本征应变,Eshelby于1957、1959和1961年研究过含椭球核的全空间的弹性力学问题，此问题在复合材料力学、断裂力学中有广泛的应用。,Eshelby思想示意图,Mura提出了本征应变概念定义: 设弹性体应变场为 ，在区域上，由于某些非弹性因素(如热应力、不均匀性、空洞、裂纹、位错等)导致物体有了变形 ，称 为本征应变，并假定 。全部应变 为,几何方程物理方程平衡方程,？,用位移表示的无体力时的平衡方程,体力,有体力时的弹性解（Somigliana公式）其中为Ii 方向给定单位力时的Kelvin基本解,得到分部积分得利用Gauss公式有,简写形式,边界上单位外法向的方向余弦,在本征面力 下所产生的弹性位移场,Eshelby思想示意图,特殊的本征应变,各向同性弹性体,本征应变 产生的位移场,其中,椭球核,设本征应变 所占的区域为椭球体，即令,点(, , )在椭球边界上时，,正实解,其中,圆心(x,y,z)的单位球面,上面积微元,简化得,进一步得,椭球内的应变场,其中,Eshelby公式,Eshelby张量，与形状和材料性质相关,Eshelby张量,I, J 不求和,i, j, k, m 相同表求和,利用Routh公式,得到,课后作业：证明 I1 结果,Eshelby张量改写成,Eshelby张量矩阵形式,特殊的椭球核-球,对于球，Eshelby张量和Eshelby公式,特殊的椭球核-钱币形,外点的应变场不均匀性和空洞裂纹,外点的应变场,位移场已知,令,几何方程,最大正根,=0 Routh公式,Eshelby张量,球,外点的应变场,不均匀性和空洞,(在内)(在外),Eshelby等价核方法,模量差别导致的扰动应力和应变,(在内)(在外),本征应变导致的扰动应力和应变,Eshelby等价核方法,本征应变,核内外应力场,核外应变场,例1：球形空洞附近的局部应力,对于空洞,Eshelby等价核方法,单向拉伸球的Eshelby公式,核外应变场,核外应力场,z向的应力为,例2：钱币形裂纹,钱币形裂纹-扁旋转椭球空洞的极限情况空洞z向拉伸核外应力场,钱币形Eshelby张量,令,得到,三种类型裂纹
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