1.3.1利用导数判断函数的单调性

庄河高中数学组丁长缨 利用导数判断函数的单调性 复习 1 函数的单调性 对于任意的两个数x1 x2 I 且当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么函数f x 就是区间I上的增函数 对于任意的两个数x1 x2 I 且当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么函数f x 就是区间I上的减函数 2 导数的概念及其四则运算 如果函数y f x 在x的某个开区间内 总有f x 0 则f x 在这个区间上是增函数 如果函数y f x 在x的某个开区间内 总有f x 0 则f x 在这个区间上是减函数 用函数的导数判断函数单调性的法则 例1 如图 设有圆C和定点O 当l从l0开始在平面上绕O点匀速旋转 旋转角度不超过90 时 它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数 它的图象大致是下列四种情况中的哪一种 应选D 例2 确定函数f x x2 2x 4在哪个区间内是增函数 哪个区间内是减函数 解 f x x2 2x 4 2x 2 令2x 2 0 解得x 1 当x 1 时 f x 0 f x 是增函数 令2x 2 0 解得x 1 当x 1 时 f x 0 f x 是减函数 例3 找出函数f x x3 4x2 x 1的单调区间 解 f x 3x2 8x 1 令3x2 8x 1 0 解此不等式得 或 令3x2 8x 1 0 解此不等式得 因此 区间为f x 的单调减区间 例4 求函数y x2 1 x 3的单调区间 解 y x2 1 x 3 2x 1 x 3 x2 3 1 x 2 1 x 1 x 2 2 1 x 3x x 1 x 2 2 5x 令x 1 x 2 2 5x 0 解得0 x y x2 1 x 3的单调增区间是 0 令x 1 x 2 2 5x 0 解得x 0或x 且x 1 y x2 1 x 3的单调减区间是 0 1 函数f x cos2x的单调区间是 k k k Z 2 函数y 的单调增区间 0 1 3 证明 函数f x ln cosx 在区间 0 上是增函数 证明 f x cosx tanx 当x 0 时 tanx 0 即f x 0 函数f x ln cosx 在区间 0 上是增函数 4 当x 1时 证明不等式 证明 设f x 显然 f x 在 1 上连续 且f 1 0 f x x 1 0 于是f x 0 故f x 是 1 上的增函数 应有 当x 1时 f x f 1 0 即当x 1时 小结 求函数单调性的一般步骤 求函数的定义域 求函数的导数f x 解不等式f x 0得f x 的单调递增区间 解不等式f x 0得f x 的单调递减区间 定义域为R时可省 庄河高中数学组李天作 二 新课讲解 函数的极值 1 观察右下图为函数y 2x3 6x2 7的图象 从图象我们可以看出下面的结论 函数在X 0的函数值比它附近所有各点的函数值都大 这时我们说f 0 是函数的一个极大值 0是函数的一个极大值点 函数在X 2的函数值比它附近所有各点的函数值都小 我们说f 2 是函数的一个极小值 2是函数的一个极小值点 y 0 二 新课 函数的极值 一般地 设函数y f x 在x0及其附近有定义 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都大 我们说f x0 是函数y f x 的一个极大值 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都小 我们说f x0 是函数y f x 的一个极小值 极大值与极小值统称极值 在定义中 取得极值的点称为极值点 极值点是自变量的值 极值指的是对应的函数值 2 函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 请注意以下几点 1 极值是一个局部概念 由定义 极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 也就是说极值与最值是两个不同的概念 3 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值 如下图所示 x1是极大值点 x4是极小值点 而f x4 f x1 4 函数的极值点一定出现在区间的内部 区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值 最小值的点可能在区间的内部 也可能在区间的端点 可导函数的极值点一定是它导数为零的点 反之函数的导数为零的点 不一定是该函数的极值点 例如 函数y x3 在点x 0处的导数为零 但它不是极值点 原因是函数在点x 0处左右两侧的导数都大于零 因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件 其充分条件是在这点两侧的导数异号 导数值为0的点一定是函数的极值点吗 一般地 求函数y f x 的极值的步骤是 3 1 如果在x0附近的左侧f x 0右侧f x 0 那么f x0 是极小值 2 求方程f x 0的所有实数根 1 求导数f x 四 例题选讲 例1 求y x3 3 4x 4的极值 解 令 解得x1 2 x2 2 当x变化时 y的变化情况如下表 因此 当x 2时有极大值 并且 y极大值 28 3 而当x 2时有极小值 并且 y极小值 4 3 总结 1 设函数y f x 在x0及其附近有定义 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都大 我们说f x0 是函数y f x 的一个极大值 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都小 我们说f x0 是函数y f x 的一个极小值 极大值与极小值统称极值 2 当函数f x 在x0处连续时 判别f x0 是极大 小 值的方法是 1 如果在x0附近的左侧右侧那么 f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧右侧那么 f x0 是极小值 3 理解函数极值的定义时应注意以下几点 1 函数的极值是一个局部性的概念 极值点是区间内部的点而不会是端点 2 若f x 在某区间内有极值 那么f x 在某区间内一定不是单调函数 即在区间上单调的函数没有极值 3 极大值与极小值没有必然的大小关系 即极大值不一定比极小值大 极小值不一定比极大值小 4 函数f x 在某区间内有极值 它的极值点的分布是有规律的 相邻两个极大值点之间必有一个极小值点 同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点 一般地 当函数f x 在某区间上连续且有有限极值点时 函数f x 在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的 5 导数为零的点是该点为极值点的必要条件 而不是充分条件 6 极值只能在函数不可导的点或导数为零的点取到 如何求函数的最大 小 值呢 假设y f x 在闭区间 a b 上的图象是一条连续不间断的曲线 则该函数在 a b 一定能够取得最大值与最小值 函数的最值必在极值点或区间端点取得 由于可导函数在区间 a b 内的极值只可能在使f x 0的点取得 因此把函数在区间端点的值与区间内使f x 0的点的值作比较 最大者必为函数在 a b 上的最大值 最小者必为最小值 求函数y f x 在 a b 的最大 小 值步骤如下 1 求函数f x 在开区间 a b 内所有使f x 0的点 2 计算函数f x 在区间内使f x 0的所有点和端点的函数值 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 例2 求函数y x4 2x2 5在区间 2 2 上的最大值与最小值 解 先求导数 得y 4x3 4x 令y 0即4x3 4x 0 解得x1 1 x2 0 x3 1 导数y 的正负以及f 2 f 2 如下表 从上表知 当x