34基本不等式

3 4 基本不等式 主要内容 基本不等式的应用 基本不等式的推导及其证明 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标 会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的 颜色的明暗使它看上去像一个风车 代表中国人民热情好客 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗 探究 这样 4个直角三角形的面积的和是2ab 正方形的面积为 设直角三角形的两条直角边长为a b 那么正方形的边长为 将图中的 风车 抽象成如图 在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积 我们就得到了一个不等式 当直角三角形变为等腰直角三角形 即a b时 正方形EFGH缩为一个点 这时有 结论1 证明 作差比较a2 b2 2ab a b 2 当a b时 a b 2 0得a2 b2 2ab 当a b时 a b 2 0得a2 b2 2ab 特别地 如果a 0 b 0 我们用 分别代替上面结论中的a b 可得 证明同前面结论1 结论2 如果把看作是正数a b的等差中项 把看作是正数a b的等比中项 那么该定理可以叙述为 两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 基本不等式代数意义 为a b的算术平均数 为几何平均数 那么 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 例1 求证 证明 当且仅当a 即a 1时 等号成立 当且仅当 即a b时 等号成立 证明 由于x y都是正数 根据基本不等式得 例2 已知x y都是正数 求证 x y x2 y2 x3 y3 x3y3 x y x2 y2 x3 y3 x3y3 三式相乘得 当且仅当x y时等号成立 例3设a 0 b 0 且a b 1 求证 4a 1 4b 1 9 16ab 4a 4b 1 9 证 例4 若x 0 y 0 且x y 2 求x2 y2的最小值 解 x2 y2 2xy 2 x2 y2 x y 2 x y 2 x2 y2 2 即x2 y2的最小值为2 当且仅当x y 1时取得最小值 3 已知a b c都是正数 求证 a b b c c a abc 证明 由于a b c都是正数 根据基本不等式得 a b b c c a abc 三式相乘得 当且仅当a b c时等号成立 证明 由a0 b 0 当且仅当 a b即a b时等号成立 小结 1 基本不等式的推导及其意义2 利用基本不等式证明简单不等式 作业 P100练习1P100习题3 4A组1 2 补充作业 基本不等式的应用 第2课时 复习 基本不等式 对于结论2 应把握三点 一正 二定 三相等 例1 1 用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 所用篱笆最短 最短的篱笆是多少 2 一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 解 1 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 则xy 100 篱笆的长为2 x y m 由 可得 分析 对于 1 矩形菜园的面积是确定的 长和宽没有确定 篱笆最短即矩形的周长最短 当且仅当x y时等号成立 此时x y 10 因此 这个矩形的长 宽都为10m时 所用的篱笆最短 最短的篱笆是40m 解 2 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 则2 x y 36 x y 18 矩形菜园的面积为xym2 由 可得 分析 对于 2 矩形菜园的周长是确定的 长和宽没有确定 菜园的面积最大即矩形的面积最大 当且仅当x y时 等号成立 此时x y 9 因此 这个矩形的长 宽都为9m时 菜园的面积最大 最大面积是81m2 1 已知两个正数x y 求x y与xy的最值 1 xy为定值p 那么当x y时 x y有最小值 2 x y为定值s 那么当x y时 积xy有最大值 利用基本不等式求最值的要点 2 在使用 和为常数 积有最大值 和 积为常数 和有最小值 这两个结论时 应把握三点 一正 二定 三相等 例2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池 其容积为4800m3 深为3m 如果池底每1m2的造价为150元 池壁每1m2的造价为120元 问怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少元 分析 此题首先需要由实际问题向数学问题转化 即建立函数关系式 然后求函数的最值 其中用到了基本不等式定理 解 设水池底面一边的长度为xm 水池的总造价为z元 根据题意 得 当 因此 当水池的底面是边长为40m的正方形时 水池的总造价最低 最低总造价是297600元 例3 已知x 1 求x 的最小值以及取得最小值时x的值 解 因为x 1所以x 1 0 当且仅当x 1 x 1 即x 2时 取 号 答 最小值是3 取得最小值时x的值为2 例4已知a b为正常数 且求x y的最小值 例5 求函数的最小值 利用函数 t 0 的单调性 单调递减 单调递增 分析 解 1 下列函数中 最小值为4的是 A B C D C 练习 2 某公司租地建仓库 每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比 而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比 如果在距离车站10公里处建仓库 这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元 那么要使这两项费用之和最小 仓库应建在离车站 A 5公里 B 4公里 C 3公里 D 2公里 A 4 若正数x y满足x 2y 1 求的最小值 3 已知lgx lgy 1 的最小值是 5 已知正数a b满足a b 1 1 求ab的取值范围 2 求的最小值 当且仅当时取 号 即当时 函数的最小值为 解 7 如图 为处理含有某种杂质的矿水 要制造一底宽为2米的无盖长方形沉淀箱 污水从A孔流入 经沉淀后从B孔流出 设箱体的长度为a米 高度为b米 已知流出的水中该杂质的质量分数与a b的乘积ab成反比 现有制箱材料60平方米 问当a b各为多少米时 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小 A B孔的面积忽略不计 A B a b 小结 1 已知两个正数x y 求x y与xy的最值 1 xy为定值p 那么当x y时 x y有最小值 2 x y为定值s 那么当x y时 积xy有最大值 2 在使用 和为常数 积有