2012年中考数学总复习题2

2012年中考数学总复习题2 答案 S与n的关系式为3 n 1 13 3n 1 一类 从特殊到一般通过对给定情况的观察 分析 发现规律 一 数量的统计例1 你喜欢吃拉面吗 拉面馆的师傅 用一根很粗的面条 把两头捏合在一起拉伸 再捏合 再拉伸 反复几次 就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条 如图所示 这样捏合到第次后可拉出128根细面条 7 二 归纳等式的变化规律 例1 给出下列算式 32 12 8 8 152 32 16 8 272 52 24 8 392 72 32 8 4 观察上面一系列等式 你能发现什么律 试用含n n 1的整数 的等式来表示这个规律 2n 1 2n 1 8n 例2 研究下列算式 你会发现什么规律 1 3 1 4 222 4 1 9 323 5 1 16 424 6 1 25 52 观察上面一系列等式 你能发现什么规律 请试用含n n 1的整数 的等式将你找出的规律用公式表示出来 n n 2 1 n 1 2 例3 观察下列算式 12 02 1 0 1 22 12 2 1 3 32 22 3 2 5 42 32 4 3 7 1 通过以上的算式 发现了什么规律 用含n n 1的整数 的等式表示出来 2 用简洁的文字语言表达上述规律 解 1 n2 n 1 2 n n 1 2n 1 其中n为大于等于1的自然数 2 相邻两个自然数的平方差等于这两个数之和 答案 x1 n 2x2 2n 2 三 式的变形 答案 解 例3 观察32 9 4 5则有32 42 5252 25 12 13则有52 122 13272 49 24 25则有72 242 252 请你用含n n 1的整数 的等式表示此规律 解 2n 1 2 2n2 2n 2n2 2n 1 则有 2n 1 2 2n2 2n 2 2n2 2n 1 2 下一页 解 上一页 例5 观察下列各式 你会发现什么规律 1 3 3 而3 22 13 5 15 而15 42 15 7 35 而35 62 17 9 63 而63 82 1 13 15 195 而195 142 1 将你猜想到的规律用含n n 1的整数 的等式表示出来 解 2n 1 2n 1 2n 2 1 其中n是大于1的自然数 或者n n 2 n 1 2 1 其中n表示奇数 例6观察下列等式 13 12 13 23 32 13 23 33 62 13 23 33 43 102 想一想等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有什么关系 猜一猜可以引出什么规律 并把这种规律用等式表示出来 解 13 23 33 n3 1 2 3 n 2 n为自然数 例1 已知数据 试猜想第5个数与第n个数 n是正整数 分别是 四 其它 练习2 观察下面一列数的规律并填空 0 3 8 15 24 则它的第2002个数是 答案 二类 由一般联想到特殊 例1 n条直线最多有几个交点 n条直线最多有1 2 3 4 n 1 个交点 例2 从一个锐角的顶点向锐角的内部作n条射线 共形成多少个角 n 2条射线共组成1 2 n 1 个角 例1如图已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C A 28 1 求 ACM的度数 2 在MN上是否存在一点D 使AB CD AC BC 为什么 A B M C N 解 1 AB是直径 ACB 90 又 A 28 B 62 又MN是切线 ACM 62 2 分析 先假设存在这样的点D 从这个假设出发 进行推理 若能得出结论 假设正确 反之 不存在 证明 过点A作AD MN于D D MN是切线 B ACD Rt ABC Rt ACD AB CD AC BC 存在这样的点D 2 若 A的位置大小不变 B的圆心在x轴正半轴上 并使 B与 A始终外切过M作 B的切线 切点为C 在此变化过程中探究 1四边形OMCB是什么四边形 2经过M N B三点的抛物线内是否存在以BN为腰的等腰三角形 若存在 表示出来 若不存在 说明理由 O 解 1 在Rt AOB中OA 3 Sin OAB AB 5OB 4BP 5 3 2在R 中 in OAB AP 3 AM 5OM 2 点M O 2 BN ON OB BN 点N O 设MP解析式y kx b代入 M O 2 N O 又 NPB AOB 又 NPB AOB b 2 K MP的解析式 y x 2 设过M N B的解析式为 y a x x 4 且过点M O 2 得a 抛物线的解析式为 y x x 4 y x A B M C P N O 例2如图已知圆心A 0 3 A与x轴相切 B的圆心在x轴的正半轴上 且 B与 A外切于点P 两圆的公切线MP交y轴于点M 交x轴于点N 解1 OP OA OAB PAM Rt AOB Rt APM MP OBAM AB又MP MC MC OBOM BC 四边形MOBC是平行四边形 BOM 90 MOBC是矩形 存在 Rt MON Rt BPN BN MN由抛物线的对称性知 点M关于对称轴的对称点M 也满足条件 这样的三角形有两个 MNB与 M NB 例3已知二次函数的图象如图 1 求二次函数的解析式 2 若点N为线段BM上的一点 过点N作x轴的垂线 垂足为Q 当点N在线段BM上运动时 不与点B 点M重合 设NQ的长为t 四边形NQAC的面积为S 求S与 间的函数关系式及自变量的取值范围 3 在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P使 PAC为Rt 若存在 求出所有符合条件的点P的坐标 若不存在 说明理由 解 由图象看出A 1 0 B 2 0 C O 2 设抛物线解析式为 y a x 2 在抛物线上 抛物线解析式为 分析 四边形NQAC的面积可分为S AOC和S梯形OCNQ的两部分来求 问题的关键是利用直线BM的解析式来确定NQ 解 2 设过B 2 0 M 的解析式为 则 直线 的解析式为 Q t 把 代入直线 的解析式 得 S 2 t 即S t2 t 3其中0 t 2 若点N为线段BM上的一点 过点N作x轴的垂线 垂足为Q 当点N在线段BM上运动时 不与点B 点M重合 设NQ的长为t 四边形NQAC的面积为S 求S与 间的函数关系式及自变量的取值范围 例3已知二次函数的图象如图 1 求二次函数的解析式 2 若点N为线段BM上的一点 过点N作x轴的垂线 垂足为Q 当点N在线段BM上运动时 不与点B 点M重合 设NQ的长为t 四边形NQAC的面积为S 求S与 间的函数关系式及自变量的取值范围 3 在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P使 PAC为Rt 若存在 求出所有符合条件的点P的坐标 若不存在 说明理由 解 设P m n 则 当 是以 为斜边时有 即 把 代入得 点 当 以 为斜边时则 即 把 代入得 点 存在符合条件的点 坐标为 海安长途客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李 如果超过规定 则需要购买行李票 行李费用y 元 是行李重量x 千克 的一次函数 其图像如图所示 求 1 y与x之间的函数关系式 2 旅客最多可免费携带行李的重量 问题1 o y 元 X 千克 60 80 6 10 A B 解 1 由图像可知此函数是一次函数 故设此函数的解析式为Y kX b k 0 由已知条件可得 6 60k b10 80k b解之得 k 1 5b 6 此函数的解析式为Y 1 5X 6 2 令Y 0 则X 30 旅客最多可免费携带的重量为30千克 变形题1 如图 x轴表示托运行李的重量 y轴表示托运行李的费用 射线AB CD分别表示甲 乙两航空公司 在相同里程的情况下 托运行李的费用与托运行李的重量之间的函数关系 甲 乙 你从图象中可以得出哪些信息 40 D 150 50 250 A 80 C 0 B Y 元 X 千克 40千克时 甲 乙费用相等 都是50元 80千克时 甲的费用是150元 80千克时 乙的费用是250元 大于40千克时 甲的费用小于乙的费用 小于40千克时 甲的费用大于乙的费用 甲 乙 y甲 y乙 讨论 5x 2 50 5x 150 40千克时 乙费用50元80千克时 乙费用250元 AB过点 40 50 80 150 CD过点 40 50 80 250 40千克时 甲费用50元80千克时 甲费用150元 设甲 乙两航空公司托运行李的费用分别为y甲 y乙 请写出y甲 元 y乙 元 与托运行李重量x 千克 之间的函数关系式 甲 乙两航空公司各可以免费托运行李 千克 讨论 y甲 5x 2 50y乙 5x 150 20 30 讨论 如果你托运行李80千克 应选 航空公司 可节省 元费用 甲 100 80千克时 甲的费用是150元 80千克时 乙的费用是250元 提示 X 千克 讨论 如果你带行李80千克准备出差 乙航空公司的票价 不包括行李托运费 是甲航空公司票价 不包括行李托运费 的90 你认为乘座哪家航空公司飞机划算 甲 解法一 设甲公司票价为m元 则乙公司票价为90 m元 可知 甲公司的费用y甲 150 m乙公司的费用y乙 250 90 m 若y甲 y乙 则m 1000 此时选甲或乙都可以 若m 1000 则y甲 y乙 此时选乙划算 若m 1000 则y甲 y乙 此时选甲划算 因此 当甲公司的票价等于1000元时 乘座甲或乙公司的飞机费用一样 当甲公司的票价大于1000元时 乘座乙公司的飞机划算 当甲公司的票价小于1000元时 乘座甲公司的飞机划算 1000 甲 乙 解法二 设甲公司票价为m元 则乙公司票价为90 m元 甲公司的费用y甲 150 m乙公司的费用y乙 250 90 m 图像法 由于水资源缺乏 两地不得不从黄河的扬水站A处引水 这就需要在A B C之间铺设地下输水管道 现设计了三种铺设方案 如图 1 2 3 图中实线部分表示管道铺设线路 在图 2 中 AD BC于D 在图 3 中 OA OB OC 为减少渗漏 节约水资源 并降低工程造价 铺设线路应尽量缩短 已知 ABC恰好是一个边长为a的等边三角形 请你通过计算说明哪种铺设方案好 研讨 O 3 B C A 议一议想一想 例1已知抛物线C1的解析式是y x2 2x m 抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称 1 求抛物线C2的解析式 C2的解析式为 y x 1 2 1 m x2 2x m C1 C2 1 1 m 1 1 m 议一议想一想 例1已知抛物线C1的解析式是y x2 2x m 抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称 1 求抛物线C2的解析式 2 当m为何值时 抛物线C1 C2与x轴有四个不同的交点 由抛物线C1与x轴有两个交点 得 1 0 即 2 2 4 1 m 0 得m 1由抛物线C2与x轴有两个交点 得 2 0 即 2 2 4 1 m 0 得m 1 当m 0时 C1 C2与x轴有一公共交点 0 0 因此m 0综上所述m 1且m 0 议一议想一想 例1已知抛物线C1的解析式是y x2 2x m 抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称 1 求抛物线C2的解析式 2 当m为何值时 抛物线C1 C2与x轴有四个不同的交点 3 若抛物线C1与x轴两交点为A B 点A在点B的左侧 抛物线C2与x轴的两交点为C D 点C在点D的左侧 请你猜想AC BD的值 并验证你的结论 解 设抛物线C1 C2与x轴的交点分别A x1 0 B x2 0 C x3 0 D x4 0 则AC BD x3 x1 x4 x2 x3 x4 x1 x2 于是AC x3 x1 BD x4 x2 x1 x2 2 x3 x4 2 AC BD 4 例2扬州某公司生产的新产品 它的成本是2元 件 售价是3元 件 年销售量为10万件 为了获得更好的效益 公司准备拿出一定的资金做广告 根据经验 每年投入的广告费是x 万元 时 产品的年销售量将是原销售量的y倍 且y是x的二次函数 它们的关系如下表 1 求y与x的函数的关系式 解 因为y是x的二次函数 所以设y ax2 bx c 根据题意得 1 5 a b c1 8 4a 2b c1 5 25a 5b c 解得 试一试想一想 例2扬州某公司生产的新产品 它的成本是2元 件 售价是3元 件 年销售量为10万件 为了获得更好的效益 公司准备拿出一定的资金做广告 根据经验 每年投入的广告费是x 万元 时 产品的年销售量将是原销售量的y倍 且y是x的二次函数 它们的关系如下表 1 求y与x的函数的关系式 如果将题中y与x的关系表中x 5 y 1 5这一组数据去掉 即问能否求出y与x的函数关系式 想一想 试一试想一想 01 例2扬州某公司生产的新产品 它的成本是2元 件 售价是3元 件 年销售量为10万件 为了获得更好的效益 公司准备拿出一定的资金做广告 根据经验 每年投入的广告费是x 万元 时 产品的年销售量将是原销售量的y倍 且y是x的二次函数 它们的关系如下表 1 求y与x的函数的关系式 2 如果利润 销售总额 成本费 广告费 试写出年利润S 万元 与广告费x 万元 的函数关系式 并求出当广告费x为多少万元时 年利润S最大 解 2 由题意得 S 10y 3 2 x x2 5x 10当x 5 2时 S的最大值为65 4 试一试想一想 例题讲解 例3已知 在直角坐标系中 以M为顶点的抛物线y x2 m 1 x 2m 5 与x轴交于A B两点 点A在点B的左侧 抛物线与y轴正半轴交于点C AB 4 1 求出此抛物线的解析式 解 1 设A点坐标为 x1 0 B点坐标为 x2 0 由AB 4 得x2 x1 4 x1 x2 m 1 x1x2 2m 5 x2 x1 2 x2 x1 2 4x2x1 m 1 2 4 2m 5 16得m 1或m 5 y x2 2x 3 舍去 例题讲解 例3已知 在直角坐标系中 以M为顶点的抛物线y x2 m 1 x 2m 5 与x轴交于A B两点 点A在点B的左侧 抛物线与y轴正半轴交于点C AB 4 1 求出此抛物线的解析式 2 P为线段AM上一点 过点P向x轴作垂线 垂足为Q 若点P在线段AM上运动 能与点M重合 不能与点A重合 设OQ的长为t 四边形PQBC的面积为S 求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围 已知OQ t 则点P的坐标为 t 2t 6 PQ OC OQ OB OC 由点A 3 0 M 1 4 求得直线AM的解析式y 2x 6 1 t 3 于是S S四边形PQOC S BOC 例题讲解 例3已知 在直角坐标系中 以M为顶点的抛物线y x2 m 1 x 2m 5 与x轴交于A B两点 点A在点B的左侧 抛物线与y轴的正半轴交于点C AB 4 1 求出此抛物线的解析式 2 P为线段AM上一点 过点P向x轴作垂线 垂足为Q 若点P在线段AM上运动 能与点M重合 不能与点A重合 设OQ的长为t 四边形PQBC的面积为S 求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围 3 当t为何值时 四边形PQOC是矩形 PQ OC 3 则点P的纵坐标y 3 由y 2x 6 解得x 3 2 t 3 2 例题讲解 例3已知 在直角坐标系中 以M为顶点的抛物线y x2 m 1 x 2m 5 与x轴交于A B两点 点A在点B的左侧 抛物线与y轴的正半轴交于点C AB 4 1 求出此抛物线的解析式 2 P为线段AM上一点 过点P向x轴作垂线 垂足为Q 若点P在线段AM上运动 能与点M重合 不能与点A重合 设OQ的长为t 四边形PQBC的面积为S 求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围 3 当t为何值时 四边形PQOC是矩形 4 以点C为圆心 以R为半径的 C 问R取何值时 C与直线AM相交 相切 相离 当0 R 时 C与直线AM相离 点C到直线AM的距离 当R 时 C与直线AM相交 当R 时 直线与 C相切 折叠型问题在 大小 方面的应用 通常有求线段的长 角的度数 图形的周长与面积的变化关系等问题 一 在 大小 方面的应用 1 求线段与线段的大小关系 例1如图 AD是 ABC的中线 ADC 45 把 ADC沿AD对折 点C落在点C 的位置 求BC 与BC之间的数量关系 练习1如图 有一块直角三角形纸片 两直角边AC 6 BC 8 现将直角边AC沿直线AD折叠 使它落在斜边AB上 且与AE重合 则CD等于 A 2 B 3 C 4 D 5 例2如图 折叠矩形的一边AD 点D落在BC边上点F处 已知AB 8 BC 10 则EC的长是 解设EC x 则DE 8 x 由轴对称可知 EF DE 8 x AF AD 10 又因AB 8 故BF 6 故FC BC BF 4 在Rt FCE中 42 x2 8 x 2 解之得x 3 B 练习2如图 在梯形ABCD中 DC AB 将梯形对折 使点D C分别落在AB上的D C 处 折痕为EF 若CD 3 EF 4 则AD BC 2 C 2 求角的度数 例3将长方形ABCD的纸片 沿EF折成如图所示 已知 EFG 55 则 FGE 70 练习4如图 矩形ABCD沿BE折叠 使点C落在AD边上的F点处 如果 ABF 60 则 CBE等于 A 15 B 30 C 45 D 60 A 3 求图形的全等 相似和图形的周长 证明 1 B C D 90 又根据题意Rt ADE Rt AFE AFE 90 AFB FEC AFB FEC 解 2 由tan EFC 3 4 设EC 3k 则FC 4k 在Rt EFC中 得EF DE 5k DC AB 8k 又 ABF FCE BF 6k AF 10k 在Rt AEF中 AF2 EF2 AE2 k 1 k 1 取正值 矩形的周长为36k 即36cm 练习5如图 将矩形纸片ABCD沿一对角线BD折叠一次 折痕与折叠后得到的图形用虚线表示 将得到的所有的全等三角形 包括实线 虚线在内 用符号写出来 答案 ABD CDB CDB EDB EDB ABD ABF EDF 答案 矩形的长为10 宽为8 4 求线段与面积间的变化关系 例5已知一三角形纸片ABC 面积为25 BC的长为10 B和 C都为锐角 M为AB上的一动点 M与A B不重合 过点M作MN BC 交AC于点N 设MN x 1 用x表示 AMN的面积S AMN 2 AMN沿MN折叠 设点A关于 AMN对称的点为A A MN与四边形BCMN重叠部分的面积为y 试求出y与x的函数关系式 并写出自变量X的取值范围 当x为何值时 重叠部分的面积y最大 最大为多少 解 2 A MN AMN 设 A MN中MN边上的高为h1 A EF中EF边上的高为h2 EF MN A EF A MN A MN ABC A EF ABC ABC中BC边上的高h 5 h1 x 5 10 h1 x y S A MN S A EF x2 x 5 2 x2 10 x 25 综上所述 当0 x 5时 y x2 当5 x 10时 y x2 10 x 25 当025 4 x 20 3时 y最大 25 3 练习7如图 把一张边长为a的正方形的纸进行折叠 使B点落在AD上 问B点落在AD的什么位置时 折起的面积最小 并求出这最小值 由Rt MOB 得 BM 作NF AB于F 则有Rt MNF FM AE x 从而CN BM FM S梯形BCNM x a 2 2 3 8a2 当x a 2时 Smin 3 8 a2 例6将长方形ABCD的纸片 沿EF折成如图所示 延长C E交AD于H 连结GH 求证 EF与GH互相垂直平分 二 在 位置 方面的应用 由于图形折叠后 点 线 面等相应的位置发生变化 带来图形间的位置关系重新组合 1 线段与线段的位置关系 证明 由题意知FH GE FG HE 又 四边形是 FE与GH互相垂直平分 2 点的位置的确定 在直角三角形AED中 ED AE 故OE 练习8如图 在直角三角形ABC中 C 90 沿着B点的一条直线BE折叠这个三角形 使C点与AB边上的一点D重合 当 A满足什么条件时 点D恰好是AB的中点 写出一个你认为适当的条件 并利用此条件证明D为AB中点 条件 A 30 证明 由轴对称可得 BCE BDE BC BD 在 ABC中 C 90 A 30 BC AB BD AB 即点D为AB的中点 二 折叠后求长度例2 2008年威海市 将矩形纸片ABCD按如图1所示的方式折叠 得到图2所示的菱形AECF 若AB 3 则BC的长为 A 1 B 2 C D 解析 根据折叠的特征可知 AC 2BC 设BC X 则AC 2X 在Rt ABC中由勾股定理得 X2 32 2x 2解得BC的长为故选 D 点评 在矩形折叠中 求折线等长度时 往往利用轴对称转化为相等的线段 再借助勾股定理构造方程来求解 三 折叠后求周长例3 2008年兰州市 如图1 4 把长为8cm的矩形按虚线剪出一个直角梯形 打开得到一个等腰梯形 剪掉部分的面积为6cm2 则打开后梯形的周长是 A B C 22cm D 18cm 解析 从显示的图形中我们不难看出 所剪掉的三角形的一条直角边长为3cm 由题意可知道所剪掉的每个三角形的面积为3cm2 则它的另一直角边为2cm 因此得到的等腰梯形其上底AB 8cm 腰故该等腰三角形的周长为本题选择 A 点评 本例题通过剪折纸片作计算 检验学生对有关数学技能的理解和掌握程度 使考生的自主性