大学数学思想方法与创意PPT课件

1 大学数学思想方法与创意 唐烁 苏化明 潘杰 宁荣健 2 第一部分大学数学思想方法 第一讲 函数思想第二讲 方程思想第三讲 分类思想第四讲 数形结合思想第五讲 构造思想第六讲 类比思想 3 第七讲 反证法第八讲 对称性原则第九讲 RMI原则第十讲 归纳与递推思想第十一讲 逆向思维第十二讲 迭代与逼近第十三讲 发散思维第十四讲 一般与特殊 4 第二部分大学数学创意 0 高等数学研究性 创造性例谈1 变系数线性微分方程线性化的充要条件1 1基础知识 1 1 2背景知识 2 1 3论文创作 5 2 一类二阶变系数线性微分方程的积分因子解法2 1基础知识2 2背景知识2 3论文创作 6 3 函数不等式的积分证法3 1基础知识3 2背景知识3 3论文创作 7 4 Cauchy Schwarz不等式的各种形式与推广4 1基础知识4 2背景知识4 3论文创作 8 5 两个重要极限的再认识及其应用5 1基础知识5 2背景知识5 3论文创作 9 6 中值等式中的 中间点 的渐近性6 1基础知识6 2背景知识6 3论文创作 10 第二讲方程思想 2 1不定积分中的方程思想我们知道 虽然不定积分是导数的逆运算 但是在求导运算和求积运算中 一般而言 不定积分要复杂的多 例如 我们给出某一个区间上的连续函数 我们可以毫无困难的去求出它的导数 反之 给定某一个区间上的连续函数 我们未必能够求出它的原函数 这是由于一方面连续函数的原函数虽然存在 但未必是初等函数 另外一方面 即使原函数是初等函数我们也未必能够求出它的表达式 我们都知道求不定积分方法多 技巧强 需要我们不断的从中掌握好思想与方法 灵活的加以运用 下面我通过例子来说明是如何用方程的思想来解不定积分的 11 求不定积分 解答 12 对于 解答 13 求不定积分解答 14 求不定积分解答 15 2 2定积分中的方程思想 虽然牛顿 莱布尼兹公式把定积分的计算归结为求被积函数的原函数在积分区间两个端的函数值的差 但有些被积函数的原函数不容易求 甚至有些被积函数的原函数不能用初等函数表示出来 对这些定积分的计算 我们可试用换元积分法 分部积分法及定积分性质 将原来需要计算的定积分转化为一元一次方程 从而求出定积分 16 求解答 17 求解答 18 总结 注 对于定积分如果我们想使用方程思想来计算 可以尝试作换元 19 求解答 20 对于求一类含有未知积分的函数 我们可以通过变形 变量代换 求导运算 积分运算等 转化为代数方程或微分方程来处理 下面通过一些实例来说明 21 设求解答 22 注 事实上 这种形式的题目在积分学中经常出现 是一种常见的题型 我们再举一个含有二重积分的题目 就可以完全理解这类题型的实质 23 设闭区域 为上的连续函数 且求解答 24 设在上可导 且有反函数 求 解答 25 求满足等式的可微函数解答 26 2 3多元微积分中的方程思想 以上几例都是将求未知函数归结于解微分方程 这是现代数学中的标准方法 这个方法在科学中的系统应用不在本书讨论之内 在这里我们强调的是方程 微分方程 思想在解题中的特殊应用 它们散见于各个章节 难以规范化 且往往被忽略 下面举几个在多元微分 多元积分 级数理论方面的例子 起抛砖引玉的作用 27 设在内具有二阶导数 且满足等式 1 验证 2 若 求的表达式 解答 28 设函数可微 且满足 求解答 29 设具有二阶连续导数 曲线积分 其中为平面上任一简单封闭曲线 求使 解答 30 设级数的和函数为 求 解答 31 2 4一类函数方程中的方程思想 我们知道函数方程是一个经典的课题 早在18世纪L Euler Lagrange等著名数学家就利用函数方程来解决问题了 1769年D Alembert在讨论力的合成法则时导出了函数方程 32 1773年法国数学家G Monge在研究曲面理论时又再一次的运用了函数方程 并且给出了关于函数方程的一般阐述 同一年Laplace又对另一类广泛应用的函数方程提供了解法 1821年后 Cauchy对一系列的函数方程如 33 等进行了深入的研究 并创造了一种求解函数方程的方法 Caucy法 20世纪初期以Schroder为首的波兰学派对函数方程进行了一些开创性的研究工作 20世纪40年代前后 苏联数学家盖尔谢凡罗夫教授进一步发展了函数方程的某些理论 在这里我们主要是对高等数学中所涉及的函数方程 利用方程或微分方程的思想来处理 34 设是定义在R上的可微函数 满足 求 解答 35 设上可微且 并满足求 解答 36 设在上连续 且满足方程解答 37 设满足方程求的极大值与极小值 解答 38 通过这样代换技巧得到函数方程是解函数方程的方法之一 我们再来看下例 设除 对全体实数都有定义 并满足等式求 解答 39 本节完 40 第十二讲归纳与递推 12 1归纳归纳是一种凝聚型的思维形式 归纳推理是从观察开始 对各个特殊事物进行综合分析 从个别特殊的判断中提炼出对同类事物具有普遍性的判断来归纳的方法 是一种对经验 实验观察结果进行去粗取精 去伪存真的综合处理方法 从数学的发展可以看出 许多新的概念 定理 法则的形成都经历过经验积累的过程 从大量的观察 计算 然后归纳出其共性和本质的东西 这在微积分学中几乎处处可见 诸如极限 连续 导数 微分和积分等概念都是从运动着的客观世界中归纳 抽象出来的 41 例1设证明存在并求 42 分析 我们可以通过前几项的值 来观察的规律 然后来进行证明 且 再看 且 43 归纳可能有数列单调下降有下界1 下面给与证明 证明 44 例2求在处的阶导数 解答 45 例3求级数的和 解答 46 12 2递推 谈到递推 我们首先想到的是递推数列 但是递推法是利用问题本身所具有的一种递推关系求问题解的一种方法 在高等数学中的极限运算 导数运算 积分运算以及级数理论的建立 公式推导等方面都离不开递推思想 47 12 2 1极限运算中的递推 通过已知的递推关系求极限是高等数学中最为常见的题型 我们在此举两个具有代表性的例子来说明 48 例1设求 解答 49 例2如 证明 解答 50 对于函数而言 也有类似的递推 我们来举一个例子来看看是如何处理的 例3已知有界且连续的函数满足关系式求 解答 51 注如果我们直接用的话 所得到的只是一个解 但没有办法解决解的唯一性问题 上面的解法 在求出了解的同时也验证了此解是唯一的 52 例4设函数在连续 对任意正数有 且 求解答 53 12 2 2求导运算中的递推 在求函数的n阶导数时 除了利用定义和常用的n阶导数公式 级数展开以外 另外一种方法就是利用n阶导数的运算法则 尝试建立递推公式来解决 我们以例子来进行说明 54 例1设 求 解答 55 例2设 求 解答 56 12 2 3积分运算中的递推 在积分运算中 如果计算与有关的积分 往往通过建立递推关系来解决 我们来看下面的例子 57 例1求 解答 58 例2求 解答 59 例3设为正整数 计算 解答 60 例4计算积分 解答 61 例5计算积分 为自然数 解答 62 本节完 63 第一讲构造思想 构造思想方法是一种基本而又极其重要的数学思想方法 同时也是一古老而又年轻的思想方法 历史上许多著名的数学家 如 欧几里得 Euclid 约为公元前330年 前275 欧拉 Euler 1707 1783 拉格朗日 Lagrange 1736 1813 康托 Contor 1845 1918 等人 都用构造思想方法解决过数学中的难题 促进了数学的发展 并且至今它仍然在数学教学 数学解题及科学研究中起着重要作用 大家可以回忆一下 在高等数学中 构造的思想比比皆是 如构造函数 构造图形 构造反例 构造结论等等 下面我们列举若干例子 来看看高等数学中的构造思想 64 1 1构造函数 1 1 1在方程根的讨论中 构造函数我们都知道方程的根 就是曲线与轴的交点 也是函数的零点 为此 通过方程来构造相应的函数 去解决方程根的问题是很自然的事情 65 例1证明方程至少有一个正根 它不超过 解答 66 例2证明代数方程至少有一个实根 解答 67 例3讨论曲线与的交点个数 解答 68 1 1 2在证明中值等式 或中值不等式 中 构造函数 对于证明中值等式 或不等式 通过构造辅助函数来证明是最为大家熟悉的方法 但是构造什么样的函数来达到我们的目的 是至关重要的 这就需要大家做一定量的练习 从中领悟真谛 69 例1设函数在上连续 证明存在 使得解答 70 例2设二元函数有连续偏导数 且 证明 在单位圆上至少存在两点和满足解答 71 1 1 3在证明不等式 或等式 中 构造函数 在高等数学中 证明不等式最为常用的方法有 单调性 最值 泰勒中值定理 凹凸性等