第7讲-第4节 向量空间-第五节 内积与标准正交基_第1页
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2020 4 14 1 一 向量空间的定义 定义9设V为一个n维向量的集合 如果适合 1 V是非空集合 2 关于加法运算封闭 3 关于与数的乘法运算封闭 称V为向量空间或线性空间 例1n维向量的全体 是一个向量空间 第4节向量空间 2020 4 14 2 证明 由于是非空集合 对于任 所以是n维向量空间 例2向量集合 不是一个向量空间 2020 4 14 3 例3齐次线性方程组的解集合 是线性空间 称为解空间 例4集合 是线性空间 称为到映射的像空间 2020 4 14 4 二 向量组的生成空间 定义设是向量组 其线性组合的全体 称为向量组A的生成空间 或线性张 性质1生成空间是向量空间 性质2A的生成空间所有向量均可由A线性表示 性质3A的极大无关组是其生成空间L A 的极大无关组 性质5如果 则 性质4如果A可以线性表示B 则 2020 4 14 5 三 线性子空间 定义设有向量空间 如果 称是的线性子空间 2020 4 14 6 四 向量组空间的基 定义设为向量空间 如果存在n个线性无关向量 使得中任何向量均可以由向量组线性表示 称是的一组基 系数称为在这组基下的坐标 称为n维向量空间 注1如果称为0维向量空间 注2如果没有有限个向量构成基 则称为无穷维向量空间 注3基实际上是向量空间的极大无关组 2020 4 14 7 四 求向量 向量组在不同向量空间基下坐标 情形1给定一个列向量 也就是给出向量在一个标准基 下的坐标 即 2020 4 14 8 四 求向量 向量组在不同向量空间基下坐标 情形2已知一个列向量在一组基下坐标为 求它在另一组基下的坐标 2020 4 14 9 2020 4 14 10 2020 4 14 11 2020 4 14 12 2020 4 14 13 2020 4 14 14 2020 4 14 15 2020 4 14 16 2020 4 14 17 一 内积空间 第五节内积与标准正交基 定义12设V是n维向量空间 对于V中向量 引入了内积的向量空间 称为内积空间 有限维的内积空间又称欧几里得空间 1内积空间定义 2020 4 14 18 2内积的运算性质 2020 4 14 19 定义2 向量的长度具有下述性质 二 向量的范数 长度 令 2020 4 14 20 解 三 单位向量及向量间夹角 2020 4 14 21 正交的概念 正交向量组的概念 正交 定义若一非零向量组中的向量两两正交 则称该向量组为正交向量组 四 正交与标准正交基 2020 4 14 22 证明 正交向量组的性质 2020 4 14 23 例1已知三维向量空间中两个向量 正交 试求使构成三维空间的一个正交基 向量空间的正交基 2020 4 14 24 即 解之得 由上可知构成三维空间
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