基础物理学答案.doc

第三篇 波动和波动光学第九章 振动和波动基础思考题9-1 符合什么规律的运动是简谐振动、简谐振动的特征量由什么决定？答：某一物理量在某一量值值附近随时间作周期性往复变化的运动是简谐运动, 或者是描述系统的物理量遵从微分方程, 则该系统的运动就是简谐运动. 其特征量为振幅(由初始状态决定),频率(由做简谐振动系统的物理性质决定),初相位（由振动的初始状态决定）.9-2 说明下列运动是不是谐振动：思考题 9-2 图（1）完全弹性球在硬地面上的跳动；（2）活塞的往复运动；（3）如本问题图所示，一小球沿半径很大的光滑凹球面滚动（设小球所经过的弧线很短）；（4）竖直悬挂的弹簧上挂一重物，把重物从静止位置拉下一段距离（在弹性限度内），然后放手任其运动；（5）一质点做匀速圆周运动，它在直径上的投影点的运动。（6）小磁针在地磁的南北方向附近摆动。 答：简谐振动的运动学特征是：振动物体的位移（角位移）随时间按余弦或正弦函数规律变化；动力学特征是：振动物体所受的合力（合力矩）与物体偏离平衡位置的位移（角位移）成正比而反向。 从能量角度看，物体在系统势能最小值附近小范围的运动是简谐振动。所以： （1）不是简谐运动，小球始终受重力，不满足上述线性回复力特征。 （2）不是简谐振动。活塞所受的力与位移成非线性关系，不满足上述动力学特征。 （3）是简谐振动。小球只有在“小幅度”摆动时才满足上述特征。（4）是简谐振动。（5）是简谐振动。因为投影点的方程符合物体的位移（角位移）随时间按余弦或正弦函数规律变化（6）是简谐振动。小磁针只有在“小幅度”摆动时才满足上述特征。9-3 一弹簧振子由最左位置开始摆向右方，在最左端相位是多少？过中点、达右端、再回中点、返回左端等各处的相位是多少？初相位呢？若过中点向左运动的时刻开始计时，再回答以上各问。答：在最左端相位是9-4 同一弹簧振子，当它在光滑水平面上做一维谐振动和它在竖直悬挂情况下做谐振动，振动频率是否相同？如果它放在光滑斜面上，它是否还做谐振动，振动频率是否改变？如果把它拿到月球上，由频率有什么变化？9-5 做谐振动的弹簧振子，当其（1）通过平衡位置时；（2）达到最大位移时；速度、加速度、动能、弹性势能中，哪几个达到最大值，哪几个为零？答: (1)当弹簧振子通过平衡位置时, 速度和动能达到最大, 加速度和弹性势能为零. (2) 达到最大位移时, 加速度和弹性势能最大, 速度和动能达到最大.9-6 受迫振动的频率与强迫力的频率相同，相位是否相同？从相位看，共振应发生在何值？9-7 什么是波动？振动和波动有什么区别和联系？波动曲线与振动曲线有什么不同？答：波动是振动状态的传播过程, 波动的产生要有激发波动的振动系统, 既波源, 振动是原因, 波动是结果. 波传播过程中各点的振动频率都应与波源频率相同. 振动具有一定的能量, 波动过程伴随能量的传播. 波动曲线是一个点自波源由近及远传播, 振动曲线是表示一个点在最大位移处与平衡位置处的振动. 波动曲线的横轴为波传播的位移, 振动曲线横轴为振动的时间.9-8 试判断下面几种说法，哪些是正确的，哪些是错误的？（1）机械振动一定能产生机械波；（2）质点振动的速度和波的传播速度是相等的；（3）质点振动的周期和波的周期数值是相等的；（4）波动方程式中的坐标原点是选取在波源位置上。答：(1)错误, 还需要弹性媒质(2)错误, 波动的速度由媒质的性质决定, 两者没有必然的联系.(3)对 (4) 不一定9-9 什么是波长、波的周期和频率、波速？它们之间有什么关系？它们各由什么决定？9-10 波动方程 中 表示什么？如果把它写成，则又表示什么？答：表示振动状态从振源传播到某点需要的时间. 表示振动状态从振源传播到某点相位的变化.9-11 关于波长的概念有三种说法，试分析它们是否一致：（1）同一波线上，相位差为2p 的两个振动质点之间的距离；（2）在同一个周期内，振动所传播的距离；（3）横波的两个相邻波峰（或波谷）之间的距离；纵波的两个相邻密部（或疏部）对应点之间的距离。答：三种说法一致（1）首先用波函数来分析，同一波上两质点，其相位分别为，, 所以相位差为 即的两质点间的距离为。（2）在一个周期，振动的质点其位相差为和（1）一致；（3）中只要将某时刻的波形图作出，很显然，相邻的波峰（谷），纵波的相邻密部（疏部）对应点其相位差为，和（1）（3）是一致的；9-12 试讨论波动能量的传输过程；比较波动能量与振动能量。答：由于波动中，传播出去的是介质质元的振动状态和能量，但质量元并未传播出去，而是在各自的平衡位置做往复的振动，由于介质质量元之间的弹性相互作用，质元振动状态和能量才能传播出去。也正是由于介质元之间的相互作用使它们不是孤立系统，因而其振动能量特征与孤立谐振子的振动能量不同。振动能量是振动系统的机械能，对于简谐振动，振动能量，是个恒量。波的能量是指介质元振动时的动能与因形变而具有的势能之和。动能和势能随时间和位置作同步的周期性的变化。波的能量在介质中是连续分布的。因而用能量密度(单位体积介质具有的能量)来反映能量的分布。能量密度随时间和位置周期性变化说明能量是随着波的传播而传播的。9-13 振荡电偶极子辐射的电磁波有什么特点？直线型振荡电路有什么优点？9-14 产生波的干涉的条件是什么？两波源发出振动方向相同、频率相同的波，当它们在空中相遇时，是否一定发生干涉？为什么？两相干波在空间某点相遇，该点的振幅如果不是最大值，是否一定是最小值？答：波的相干条件是频率相同、振动方向相同和相位差恒定。两波源发出振动方向相同、频率相同的波，在空间相遇时不一定发生干涉现象。因为(1)两列波在相遇点引起的振动的相位差不能保持恒定时，相遇区域没有稳定的强弱分布。不发生干涉现象；(2)若两列波振幅差别很大，相遇区域强弱分布不显著，也观察不到干涉现象。9-15 如果两波源所发出的波振动方向相同、频率不同，则它们在空间相遇叠加时，两波在相遇点的相位差与哪些因素有关？叠加后空间各点的振幅是否稳定？9-16 驻波中各质元的相位有什么关系？为什么说相位没有传播？在驻波中任意两相邻波节之间各点振动的振幅、频率、相位是否相同？在一波节两边的点又如何？答：驻波中，相邻两波节间各质元的振动相位相同，同一个波节两侧各质元振动的相位相反。驻波实际上是一种分段振动现象。驻波不象行波那样沿波线后一质元重复前一质元的振动，所以驻波的相位不向前传播。驻波和行波有什么区别？驻波中各质元的位相有什么关系？为什么说位相没有传播？驻波中各质元的能量是如何变化的？为什么说能量没有传播？驻波的波形有何特点？解 行波是振动在媒质中传播，波的传播过程有波形、位相及能量的传播。 驻波的特征如下： （1）波形驻定，位移恒为零的点是波节；位移恒最大处是波腹。相邻两波节（或波腹）之间的距离等于。没有波形的传播。 （2）位相驻定，相邻两波节之间的质点的振动位相相同同起同落；一个波节两侧的质点的振动位相相反此起彼落。故没有位相的传播。 （3）驻波的能量被限制在波节和波腹之间长度为的小区段中，动能和势能相互转化，其总量守恒，因此能量没有传播。9-17 如何理解“半波损失”？答：当波从波疏介质射入波密介质，在介面上发生反射时，就会产生的相位突变，由于位相差与波程差的关系为，意味着波程相差，即波在反射点处，如同多或少传播了半个波长的距离，这就是为什么称这种相位突变为半波损失的原因。习 题9-1 质量为10103kg的小球与轻弹簧组成的系统，按 的规律做振动。式中t以秒计，x 以米计。（1）求：振动的圆频率、周期、振幅、初相以及速度和加速度的最大值。（2）求：最大回复力、振动总能量、平均动能和平均势能。（3）t =1、2、5、10s 等各时刻的周相各是多少？（4）分别画出这振动的x-t、v-t和a-t图线。解:(1) , , , （2） 最大回复力总能量(3) 9-2 一个沿OX轴做简谐振动的弹簧振子，振幅为A，周期为T，其振动方程用余弦函数表示。如果在t =0时，质点状态分别为：（1）；（2）过平衡位置向正方向运动；（3）过处向负方向运动；（4）过处向正方向运动；试求出相应的初相之值，并写出振动方程。解: 其振动方程为 在时, 质点状态为(1) , 则, ,;(2)过平衡位置时, , 则, 或者, 因为其向正方向运动, , , 或者, 或者 (3) 过时, , 或者. 因为向负方向运动, , 可以得到满足条件, ;(4) 过处, , 或者, 因为其向正方向运动, ,可以得到满足条件, .题 9-3 图9-3 如图所示，弹簧振子水平放置，弹簧的劲度系数为k，振子质量为m。假定从弹簧振子原长处开始对振子施加一恒力f，经过一段距离x0 后撤去外力，试问在撤去外力后振子将作何种运动？试求系统的总能量，并写出振子位移函数表达式。假定我们从x0处开始计时。解：以物体的平衡位置为坐标原点，向右的方向为x轴正向建立坐标系，外力撤去后，物体位于x处受弹簧的拉力为，物体的运动方程为，即这是简谐振动的方程，物体将做简谐振动，其振动方程为，其中由题意t=0时，而初速度则，物体位移表达式为，相应的速度为物体的总能量为9-4 有光滑水平面上，有劲度系数分别为k1和k2的两个轻弹簧以及质量为m的物体，构成两种弹簧振子，如图所示。试求这两个系统的固有角频率。题 9-4 图解：由图（b）所示，设弹簧原长分别为、，平衡时弹簧的伸长量分别为和，如不计物体尺寸，则，以平衡点O为坐标原点，x轴向右建立坐标系，当小球向x轴正向移动x时，物体受力，由于，所以，物体的运动方程为，既 物体作简谐振动，振动角频率为周期为（2）由图（c）所示，以物体不受力，弹簧自然伸长时，物体位置为原点建立坐标系。当物体在位移x处时，若弹簧的伸长为，弹簧的伸长为，则，解得，物体受力，物体的运动方程为物体同样做简谐振动，振动角频率为振动周期为9-5 在LC振荡电路中，L=260mH，C=120mH，初始时电容器两端电势差V0=1V，且电流为0。试求：（1）振荡频率；（2）电大电流；（3）电容器两极板间电场能量随时间变化的关系；（4）证明电场能量与磁场能量之和等于初始电场能量。解:(1)振荡频率 ;(2)最大电流 , 库时, , , 可得电流的表达式为 , 最大电流A(3)电场能量的表达式为 (4)磁场能量 既电场能量和磁场能量和为初始电场能量.9-6 一轻弹簧下挂一质量为0.1kg的磕码。砝码静止时，弹簧伸长0.05m。如果再把砝码竖直拉下0.02m，求放手后砝码的振动频率、振幅和能量。讨论振动能量时所说的“振动势能在最小值和最大值之间变化”。在本题情况下，这振动势能是否是砝码重力势能与弹性势能之和？对“零势能”参考位置有无特殊规定？解：取砝码静止时的位置为平衡位置，并令为坐标原点，向下为正方向，则有 当下拉位置时，砝码所受回复力为 因此砝码作简谐振动 将初始条件 代入振幅公式：能量为9-7 如图所示，一根长为l的轻绳上端固定，下端连接一质量为m的小物体就构成一个单摆；一任意形状的刚体，去在通过O点的光滑水平转轴上，就构成一个复摆，设刚体对O轴的转动惯量为J，质心C到O轴的距离为h。试证明：在小角度摆动情况下，单摆和复摆的运动是简谐振动。并求出其振动周期。解：9-8 已知两个平行简谐振动如下：，。式中x以米计，t以秒计。（1）求它们合成振动的振幅和初相；（2）另有一平行简谐振动，式中x亦以米计，t亦以秒计。问为何值时，x1+x3的振幅量大？为何值时，x2+x3的振幅为最小？（3）用旋转矢量图示法表示（1）、（2）两结果。解:(1) 合成振幅为 合成初相为 (2) , 若的振幅最大, 则 若振幅最小, 则两者刚好反相 (3)略9-9 如图所示，C1被充电至100V，而C2未被充电。若C2耐压300V，将开关K与C2接通，C2是否会被击穿？何时操作K方能使C2安全工作？9-10 有两个平行同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20m，周相与第一振动的周相差为，已知第一振动的振幅为0.173m，求第二振动的振幅以及第一、第二两振动之间的周相差。解:作旋转矢量如图所示，有几何关系得再由解得 9-11 一待测频率的音叉与一频率为440Hz的标准音叉并排放着，并同时振动，声音响度有周期性起伏，每隔0.5s听到一次最大的响度音。在待测音叉一端粘上一块橡皮泥，最大响度的音之间的时间间隔便拉长一些。问这一音叉的频率是多少？解：待测频率的音叉与一频率为440Hz的标准音叉并排放着，同时振动，两者的声音产生拍的现象。每隔0.5s听到一次最大的响度音，说明拍的频率为，待测音叉的频率为442Hz或438Hz。在待测音叉一端粘上一块橡皮泥，最大响度的音之间的时间间隔便拉长一些，说明待测频率的音叉与标准音叉之间的频率差减小。粘上一块橡皮泥，阻尼增加，待测音叉频率降低，所以，待测音叉的频率应该为442Hz。9-12 示波管的电子束受到两个相互垂直的电场作用。若电子在两个方向的位移分别为和，求在f =0, 30, 90三种情况下，电子在荧光屏上的方程。解：轨道方程为：，因，当时，得，为一过原点的直线，说明电子沿直线作往返运动。当时，得，为一椭圆，且运动方程为， 当时，电子位于（0，）处，此后瞬间，电子位于第三象限内，表明电子顺时针转动。当时，得，为一圆，且运动方程为，当时，电子位于（A，0）处，此后瞬间，电子位于第四象限内，表明电子仍顺时针转动。9-13 图中所示为显示在2020cm2示波器荧屏上的利萨如图形。已知水平方向（x方向）偏转电压频率为50Hz。t =0时，光点在右上角，试写出荧光点在x、y方向振动的表达式。解：从图形可以读出振幅由于t =0时，光点在右上角，x、y方向振动的初相位都为0.*9-14 火车在铁轨上行驶，每经过铁轨接轨处即受到一次振动，从而使装在弹簧上面的车厢上下振动。设每段铁轨长12.5m，弹簧平均负重5.4104N，而弹簧每受9.8103N的力将压缩1.6mm。试问火车速度多大时，振动特别强？*9-15 下图所示的LC回路，L=1mH，C=10pF，电源电压U=6V。在开始计时时，开关K从图(a)的位置转到图(b)的位置，回路将发生振荡。（1）试写出电容C上电荷q的振荡表达式；（2）如果在回路中串连一个电阻R，以使它不发生振荡，这个电阻至少应为多大？题 9-15 图9-16 一横波沿绳子传播时的波动方程为：，式中各量均用国际单位。（1）求此波的振幅、波速、频率和波长；（2）求绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；（3）求处的质点、在t =1s时的相位，它是原点处质点在哪一时刻的相位？这一相位所代表的运动状态在t =1.25s时到达哪一点？（4）分别图示t =1, 1.1, 1.25, 1.5s各时刻的波形。解: 波动方程可以改写为 可知 (1) 振幅, 波速 频率 , 波长(2) 质点振动速度, 质点振动加速度, (3) 质点的相位为，时, , 原点处, , , 它是原点处时刻的相位.在时, 设达到x点, 则 , (4) 略9-17 一波源做简谐振动，周期为s，经平衡位置向正方向运动时，作为计时起点。设此振动以v =400m/s的速度沿直线传播，求：（1）这波动沿某一波线的波动方程；（2）距波源为16m和20m处的点的振动方程和初周相；（3）距波源为15m和16m的丙点的周相差。解：（1）波源初始时刻的振动状态为经过平衡位置向x轴正方向运动，波源振动的初位相为，波源的振动方程为，振动以v =400m/s的速度沿x轴向前传播，波动方程为（2）处质点的振动方程为初相位处质点的振动方程为初相位（3）处质点的振动方程为初相位，两点振动的相位差为9-18 一列沿x正向传播的简谐波，已知t1=0和t2 =0.25s时的波形如图所示。试求：（1）P点的振动式；（2）波动方程；（3）画出O点的振动曲线。解:振幅, 波速 频率 , 波长(2)速度, 加速度, (3) 时, 质点的相位为 , 相位为原点处, , , 它是原点处(周期)时刻的相位.在时, 设达到x点, 则 , (4)略9-19 设有一很长的弦线，线密度m =0.40kg/m，张力T =5.0103N，现将功率P=300W的简谐振动源作用于弦的一端，振动频率为300Hz。试求：（1）波的波速和波长；（2）波的振幅；（3）先波源初相为0写出波动方程。解：（1） (2 )辐射强度，功率 （3）已知波动方程的一般形式为 9-20 一正弦式空气波，沿直径为0.14m的圆柱形管行进，波的平均强度为1.8102J/(sm2)，频率为300Hz，波速为300m/s。问：（1）波中的平均能量密度和最大能量密度是多少？（2）每两个相邻的、周相差为2p 的同相面之间的波段中有多少能量？解：（1） （2） 9-21 一平面波在无吸收媒质中以速度v =20m/s沿直线传播，如图所示；传播方向沿x轴负方向。已知在传播路径上某点A的振动方程为YA =3cos4p t 。（1）如以点A为坐标原点，写出波动方程；（2）如以距A点5m处的B点为坐标原点，写出波动方程；（3）写出在传播方向上B点、C点和D点的振动方程。解：(1)：(2)B点振动方程为：波动方程为 (3) B点的振动方程C点的振动方程D点的振动方程9-22 一扬声器的膜片，半径为0.1m，欲使它产生1kHz、40W的声辐射，则膜片的振幅应为多大？已知空气密度为1.29kg/m3，声速为344m/s。解: 9-23 为了保持波源的振动不变，需要消耗4W的功率。如果波源发出的波是球面波，且媒质不吸收波的能量，求距波源1m和2m处的能流密度。解: 保持振动不变, 需要消耗4W的功率平均能流 , 能流密度 , 在距离波源1m处 , , 在距离波源2m处 , , 9-24 一平面简谐波的频率为500Hz，在空气（r =1.3kg/m）中以v =340m/s的速度传播，达到人耳时，振幅为A =104cm。试求耳中的平均能量密度、声强和声强级。（这是通常我们听报告的声强）解：平均能量密度 = 6.410-6 Jm-3声强 9-25 真空中，一平面电磁波的电场由下式给出：求：（1）波长和频率；（2）传播方向；（3）磁场的大小和方向。【分析】因为E、H及电磁波的传播方向三者相互垂直构成右手螺旋关系，电场矢量E在y方向振动，电磁波以波速c沿x正向传播，因此可判定磁场矢量H在z方向振动。解：(1)由电场强度波函数的，则(2)由电场强度波函数表示式可知电磁波的传播方向为x正向；(3)由，得，9-26 设一发射无线电波的天线可视为振荡电偶极子，电矩振幅为2.26104Cm，频率为800千周。求：（1）无线电波的波长；（2）辐射功率；（3）在偶极子赤道圈上距离偶极子为2km处的平均辐射强度；（4）该处的电场强度和磁场强度的振幅。解:(1)无线电波的波长为: (2)辐射功率: (3)平均辐射强度: , 在赤道上 (4)电场强度的振幅, , 磁场强度的振幅为, , 9-27 一广播电台的辐射功率为10kW，假定辐射场均匀分布在以电台为中心的半球面上。（1）求距离电台r =10km处的坡印庭矢量的平均值；（2）若上述距离处的电磁波可看作平面波，求该处的电场强度和磁场强度的振幅。解: (1) 坡印庭矢量的平均为 （2）若上述距离处的电磁波可看作平面波，变化范围不大，电场强度和磁场强度的振幅可认为不变。9-28 S1和S2是两相干波源，相距 l/4 ，S1 比S2的周相超前 p/2。设两波在S1 S2连线方向上的强度相同且不随距离变化，问S1S2连线上在S1外侧各点处的合成波的强度如何？又在S2外侧各点处的强度如何？解: 比的周期超前, 两波的强度相同, 设, 在外侧距离为x处: , , 外侧的合成波振幅为0同时, 外侧处,距离为x处, 为原来的2倍.9-29 波源位于同一媒质中的A、B两点（如本题图），其振幅相等，频率皆为100Hz，B比A的相位超前 p ，若A、B相距30m，波速为400m/s，试求AB连线上因干涉而静止的各点的位置