31_多项式的因式分解

因式分解 第3章 多项式的因式分解 3 1 1 21等于3乘哪个整数 21 3 7 2 x2 1等于x 1乘哪个多项式 因为 x 1 x 1 x2 1 所以x2 1 x 1 x 1 对于整数21与3 有整数7使得21 3 7 我们把3叫做21的一个因数 类似地 对于多项式x2 1与x 1 有整式的乘法有多项式x 1使得x2 1 x 1 x 1 成立 我们把多项式x 1叫做x2 1的一个因式 同理 7也是21的一个因数 同理 x 1也是x2 1的一个因式 一般地 对于两个多项式f与g 如果有多项式h使得f gh 那么我们把g叫做f的一个因式 此时 h也是f的一个因式 把x2 1写成 x 1 x 1 的形式叫做把这个多项式因式分解 一般地 把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式 称为把这个多项式因式分解 x2 1 x 1 x 1 为什么要把一个多项式因式分解呢 每一个大于1的正整数都能表示成若干个素 质 数 的乘积的形式 例如 12 2 2 3 30 2 3 5 有了 式和 式 就容易求出12和30的最大公因数为 2 3 6 进而很容易把分数约分 分子与分母同除以6 得 12 2 2 3 30 2 3 5 同样地 每一个多项式可以表示成若干个最基本的多项式的乘积的形式 从而为许多问题的解决架起了桥梁 例如 以后我们要学习的分式的约分 解一元二次方程等 常常需要把多项式进行因式分解 举例 例1下列各式由左边到右边的变形 哪些是因式分解 哪些不是 为什么 1 a2 2ab b2 a b 2 2 m2 m 4 m 3 m 2 2 解是 因为从左边到右边是把多项式a2 2ab b2表示成了多项式a b与a b的积的形式 1 a2 2ab b2 a b 2 2 m2 m 4 m 3 m 2 2 解不是 因为 m 3 m 2 2不是几个多项式乘积的形式 例2检验下列因式分解是否正确 1 x2 xy x x y 2 a2 5a 6 a 2 a 3 3 2m2 n2 2m n 2m n 分析检验因式分解是否正确 只要看等式右边的几个多项式的乘积与左边的多项式是否相等 解因为 a 2 a 3 a2 5a 6 所以因式分解a2 5a 6 a 2 a 3 正确 1 x2 xy x x y 解因为x x y x2 xy 所以因式分解x2 xy x x y 正确 2 a2 5a 6 a 2 a 3 3 2m2 n2 2m n 2m n 解因为 2m n 2m n 4m2 n2 2m2 n2 所以因式分解2m2 n2 2m n 2m n 不正确 1 求4 6 14的最大公因数 答 因为4 2 26 2 314 2 7 所以最大公因数是2 2 下列各式由左边到右边的变形 哪些是因式分解 哪些不是 为什么 1 x 1 x 2 x2 3x 2 2 2x2y 4xy2 2xy x 2y 答 是因式分解 3 x2 2 x 1 x 1 1 4 4a2 4a 1 2a 1 2 答 是因式分解 解不是 因为x2 3x 2不是几个多项式乘积的形式 解不是 因为 x 1 x 1 1不是几个多项式乘积的形式 3 检验下列因式分解是否正确 1 2a2 4a 2a a 2 2 x3 x2 x x x2 x 解因为 2a a 2 4a2 4a 2a2 4a 所以因式分解 2a2 4a 2a a 2 不正确 3 m2 3m 2 m 1 m 2 解因为x x2 x x3 x2 x3 x2