3-3 晶格振动量子化与声子

3 3晶格振动量子化与声子 问题的提出 在简谐近似下 晶体中存在3NS个独立的简谐格波 晶体中任一原子的实际振动状态由这3NS个简谐格波共同决定 那么 晶格振动的系统能量是否可表示成3NS个独立谐振子能量之和 2 2 一 晶格振动和谐振子 1 系统能量的普遍表示一维单原子链中 平衡时距原点为na的原子 t时刻的绝对位移是q所有可能的N个值的特解的线性叠加 其中Aq t Aqe i t 按经典力学 系统的总能量为动能和势能之和 该表示式中有 Un 1 Un 的交叉项存在 对建立物理模型和数学处理都带来困难 用坐标变换的方法消去交叉项 2 坐标变换 变量置换 设 3 51 式中Qq t 称为简正坐标 容易证明 3 52 证明要点 q q 时 显然成立 q q 时 为对比级数求和 亦可证 由式 3 51 3 52 可得 3 51 3 53 3 系统能量的重新表示 由式 3 51 3 53 可得系统势能 3 54 式中 2q 不含交叉项了 类似地 系统的动能也可写为 于是系统总能量可写成不含交叉的标准式 3 56 复习 经典谐振子能量E T W m kx2 所以 3 56 式相当于m 1 k q2的以Qq为自变量的谐振子能量 可见由N个原子组成的一维晶体 其晶格振动能量可看成N个谐振子的能量之和 二 能量量子和声子 量子力学修正 把上述经典谐振子的能量用量子力学的结果来表示 量子力学告诉我们 频率为 的谐振子 其能量为 n 0 1 2 3 57 这表明谐振子处于不连续的能量状态 当n 0时 它处于基态 E0 称为零点能 相邻状态的能量差为 它是谐振子的能量量子 称它为声子 正如人们把电磁辐射的能量量子称为光子一样 3NS个格波与3NS个量子谐振子一一对应 因此式 3 57 也是一个频率为 的格波的能量 频率为 i q 的格波被激发的程度 用该格波所具有的能量为 i q 的声子数n的多少来表征 1 声子是玻色子 一个模式可以被多个相同的声子占据 和q相同的声子不可区分 自旋为零 满足玻色统计 除碰撞外 不考虑它们之间的相互作用 则可视为近独立子系 则玻色统计与玻尔兹曼统计一致 讨论 2 声子是一种准粒子 粒子数不守恒 例如温度升高后声子数增加 声子与声子 声子与其它粒子 准粒子互作用 满足能量守恒 不具有通常意义下的动量 常把 q称为声子的准动量 3 准动量选择定则 准动量的确定只能准确到可以附加任何一个倒格矢Gh q q Gh Ex 二声子作用 q1 q2 q3 Gh简写成 q1 q2 q3 Gh 各个格波可能具有不同的声子数 在一定温度的热平衡态 一个格波的平均声子数有多少呢 由于声子间相互作用很弱 除了碰撞外 可不考虑它们之间的相互作用 故可把声子视为近独立子系 这时玻色 爱因斯坦统计与经典的玻尔兹曼统计是一致的 三 平均声子数 在确定的温度T下 频率均为 的N个格波的平均能量 这里的N并不是晶体的格波总数 其中 N 频率为 的格波总数Nn 频率为 能量为En 即声子数为n 的格波数 的声子在同 的格波间均可存在 某一 的格波具有声子数n的状态 满足一定的几率分布 可理解为声子在格波间可跳跃 Nn N 温度为T 频率为 能量为En 即n为某确定值 的格波出现的几率 由玻尔兹曼统计 其中 分母为配分函数gn 能量为En的相格数 即能量En的简并度 设 gn 1 因为 与上式比较可得 利用等比级数求和公式 求导 整理可得 KBT2 3 58 3 58 其中