chap2第3节 差商及Newton插值多项式

3差商及Newton插值多项式 一 差商及其性质 Lagrange插值多项式的优点是格式整齐规范 但其缺点是 当需要增加节点时 其基函数都要发生变化 需要重新计算 这在实际计算中会影响效率 下面介绍的Newton插值法会弥补这一不足 1 差商的定义 设y f x 在n 1个互异点x0 x1 xn处的函数值为 一般地 称k 1阶差商的一阶差商 为f x 关于点的k阶差商 可以求得 2 差商的性质 其中 证明 以k 2进行证明 由 得到 由 得到 从而 证明 以k 1为例 性质2 差商具有对称性 即k阶差商f x0 x1 xk 1 xk 中 任意调换xi xj的次序 其值不变 以k 2为例 所以 性质3 若f x 为n次多项式 则f x x0 为关于x的n 1次多项式 证明 已知 故 类似的可以得到 也就是说 对多项式求一次差商 次数降低一次 由于是的根 所以 3 差商的计算 为构造Newton插值多项式方便起见 计算差商时 采用列表的方式进行 例2 2已知函数y f x 的如下离散数据 1 0 2 2 4 12 5 20 6 70 试求其各阶差商 解 列差商表计算 2 5 8 50 1 1 21 0 5 1 二 Newton插值多项式 对于区间 a b 内的离散点及相应的函数值 计算如下差商 可以求得 依次类推得到 令 则可以将函数f x 表示成 容易验证 因此Nn x 满足插值条件 是一个n次插值多项式 并称 为n次Newton插值多项式 如果f x Nn x 则误差为 验证 验证 因 所以 依此类推 证毕 关于Newton插值多项式 有以下几个特点 1Newton插值多项式与同次Lagrange插值多项式相同 因而误差相同 因为Newton插值多项式与Lagrange插值多项式满足相同的插值条件 由插值多项式的存在唯一性知 因此 Newton插值多项式与Lagrange插值多项式的误差相同 这样 由 Nn x Ln x 得到 这个表达式给出了n 1阶差商与n 1阶导数之间的关系式 解 由差商与导数的关系式 得到 2 Newton插值多项式具有递推式 由 可知 所以 具有递推公式 由此可知 当求出n次插值多项式后 再增加一个节点时 只需要增加一项的计算即可 由Newton插值多项式的结构可以看出 在构造Newton插值多项式时 必须首先计算各阶差商 3 Newton插值多项式的构造 例4已知f x 的五组数据 1 0 2 2 3 12 4 42 5 116 求N4 x 如果再增加一个节点 6 282 求出N5 x 并计算N4 1 5 N5 1 5 解 先由前五组数据列差商表 10223124425116 2103074 41022 24 0 5 得到 如果 再增加一点 6 282 就在上表中增加一行计算差商 6282 166 46 8 1 0 1 由Newton公式的递推式得到 得到 练习题 已知离散数据 1 0 2 2 4 12 5 20 求三次Newton插值多项式 增加一点 6 70 后 再求出四次Newton插值多项式 本节 3 要点 1 掌握差商及其性质 导数与差商的关系2 掌握Newton插值多项式的构造方法及具体结构3 掌握Newton插值多项式的误差结果4 编写Newton插值多项式计算程序进行实际计算 思考题 如何实现差商表和Newton插值